本书是根据作者在1982—1994年期间先后在华中师范大学为两届高校微分方程教师进修及三届数学系运筹与控制硕士生讲授的“稳定性的数学理论”内容及1995—1998年期间在华中理工大学自控系为三届博士、硕士生主讲的动力系统稳定性的教学内容删繁就简改写而成的。本书用现代数学工具如Dini导数、K类函数、M矩阵、线性矩阵不等式介绍了经典的Lyapunov稳定性理论、方法及一些近代的应用。

本书用现代数学工具如Dini导数、K类函数、M矩阵、线性矩阵不等式介绍了经典的Lyapunov稳定性理论、方法及一些近代的应用。

全书分为六章，第一章为预备知识和近代数学工具的介绍。第二章叙述了定常线性系统稳定性的代数方法、几何方法及Lyapunov函数法。同时，以Cauchy矩阵（和截断Cauchy矩阵）为纲详细地介绍了时变线性系统全体变元稳定性、有界性等多种等价关系及部分变元稳定性和有界性的基本理论。第三章介绍了Lyapunov直接法的基本定理及改进的几个定理。第四章讨论了Lyapunov直接法的各种拓广。第五章是新增加的一章，较全面介绍了时滞线性和非线性系统稳定性的超越特征值法，Lyapunov泛函法，Lyapunov函数加Razumikhin技巧。第六章则是花了全书三分之一的篇幅介绍Lyapunov稳定性理论和方法在多个科学前沿阵地上的应用。绝大部分是介绍作者与合作者近几年来的最新研究成果。

本书的前三章可作为自动控制系、数学系本科微分方程的选修课内容。全书可作为自动控制系、电力系、数学系硕士生的学位课或选修课教材。略加增删也可作为其他理工科专业的研究生教材或参考书。还可供有关教师及科技人员参考。

本书数学符号说明

第一章 预备知识、基本工具

 1.1 常微分方程的基本定理

 1.2 微分、积分不等式

 1.3 李雅普诺夫(Lyapunov)函数

 1.4 楔函数(K类函数)

 1.5 狄尼(Dini)导数

 1.6 判定Hurwitz矩阵、定号矩阵、M矩阵的统一简化形式

 1.7 线性矩阵不等式

 1.8 稳定性、吸引性概念

 1.9 稳定性、吸引性之间的关系与例子

 1.10 稳定性的几个等价命题

第二章 线性系统稳定性理论

 2.1 常系数线性系统稳定性的代数充要条件

 2.2 矩阵A(aij)n×n稳定的代数充分条件

 2.3 周期系数线性系统

 2.4 矩阵A(aij)n×n稳定性的几何判据

 2.5 多项式稳定新的几何判据

 2.6 常系数线性系统Lyapunov函数的构造

 2.7 变系数线性系统稳定性的冻结系数法

 2.8 线性非齐次与齐次方程组稳定性的关系

 2.9 齐次线性方程组稳定性的充要条件

 2.10 线性系统的扰动理论

 2.11 线性方程组谱的估计

 2.12 标准基本解矩阵的表示

 2.13 线性系统部分变元稳定性的充要条件

 2.14 两类线性时变系统的渐近等价性

第三章 Lyapunov直接法基本定理

 3.1 Lyapunov直接法的几何思想

 3.2 Lyapunov稳定性定理

 3.3 一致稳定性定理

 3.4 一致渐近稳定性定理

 3.5 渐近稳定性定理

 3.6 等度渐近稳定性定理

 3.7 指数稳定性定理

 3.8 不稳定性定理

 3.9 Lyapunov一次近似理论

 3.10第一临界情形的稳定性

 3.11第二临界情形的稳定性

第四章 李雅普诺夫直接法的拓广

 4.1 自治系统稳定性定理的推广

 4.2 Krasovaskii-Barabashin渐近稳定性定理

 4.3 Krasovaskii不稳定定理

 4.4 LaSalle不变原理

 4.5 比较原理

 4.6 系统的解的有界性

 4.7 系统的耗散性

 4.8 系统的收敛性

 4.9 系统的鲁棒(Robust)稳定性和有界性

 4.10 系统的实用稳定性

 4.11 限定始值扰动的条件稳定性

 4.12 非常稳定性、相对稳定性

 4.13 李普希兹型(Lipschitz)稳定性

 4.14 部分变元稳定性、有界性

 4.15 分离变量非线性系统的全局稳定性

 4.16 集合的稳定性和有界性

第五章 具有时滞的微分系统的稳定性

 5.1 微分差分方程的基本概念

 5.2 常系数常时滞线性系统

 5.3 常微分方程中V函数法的直接推广

 5.4 Lyapunov函数加Razumikhin技巧

 5.5 Lyapunov泛函法

 5.6 具有分离变量的定常非线性滞后型系统的稳定性

 5.7 时变系数变时滞分离变量系统的稳定性和Robust稳定性

 5.8 变时滞滞后型系统稳定性的一个新的比较方法

 5.9 一类变系数常时滞中立型线性系统稳定的Lyapunov泛函法

第六章 对几类实际的动态系统稳定性的应用

 6.1 综合国力非线性扩散模型稳定性分析

 6.2 市场调节的稳定性分析

 6.3 Lorenz系统族的全局指数吸引集和正向不变集

 6.4 Lorenz混沌系统Lyapunov稳定性简洁的代数充要条件及其应用

 6.5 两个混沌Chua氏电路的全局指数同步

 6.6 汽轮发电机组轴系扭振平衡位置分析与稳定域估计

 6.7 Hopfield神经网络与细胞神经网络

 6.8 具有时滞的神经网络解的全局指数稳定性和周期解的全局指数稳定性

 6.9 一般生态系统的稳定性

 6.10 一些经典的电力系统的同步与稳定性

 6.11 区间定常线性系统稳定性、可控性、可观性的充要条件

 6.12 非线性控制系统的绝对稳定性及著名的Lurie(鲁里叶)问题

 6.13 区间控制系统的Robust绝对稳定性

 6.14 滞后型Lurie控制系统的绝对稳定性

 6.15 中立型Lurie系统的时滞无关与时滞相关绝对稳定性

参考文献