从水龙头滴水到古希腊定理，从繁复的方程式到晦涩的符号，从别人口中的故事到大师“现身说法”……摒弃先入为主的想法，以全新的视角审视它们，你会发现它们在我们的日常生活中无处不在，并且以常见和意外的形式出现。
本书用15章拆解数学的秘密，专家审校，必要脚注，图文结合。
令你与高斯、欧几里得、柏拉图、莱布尼茨等数学大咖亲密接触。
带你进入烧脑、有趣、不枯燥的数学世界！

伊万·柯里奥(Ivan Kiriow)，生于法国，拥有科学博士学位。他还是科学杂志的记者，热衷于与广大公众交流科学精华。其著作《数学的秘密》由世界百科全书出版业的巨头法国拉鲁斯出版社出版，上市后收到很不错的反响。

第一章 数学存在吗
什么是数学
数学真的是一个抽象的世界吗
超越现实的存在：复数
来自另一个世界的完美
数学天堂：柏拉图理想主义
走出洞穴
独一无二的柏拉图学派
反柏拉图的唯物主义数学
数学与现实
但是，为什么会成功
第二章 数学的字母表：数字从何而来
数学史前史：最初的记数系统
从“十五个二十”到“八十”
数字真的是阿拉伯的吗
俄罗斯套娃般的数
符号从何而来
字母与数字的对决
通用语言
第三章 与众不同的数字：零
喧喧嚷嚷只为空
两个零？
于是有了零
可以将零作为除数吗
零让托托头晕目眩
第四章 与众不同的数字：π
遥远的圆周率
违背理性之数？
将数分类会如何
一个无解的……谜团
那欧米伽呢
圆周率的超越性
第五章 与众不同的数字：黄金数
比例小史
斐波那契，从兔子到“神奇”的数列
解释世界的数字
第六章 无穷：过山车式的眩晕
与其跑，不如动身早：无穷悖论
阿喀琉斯与乌龟
不断重复的级数
两个无穷
无穷符号
伽利略与无穷的困境
如何理解无穷
走近无穷，超越无穷
计算无穷
俄罗斯套娃般的无穷
无限的第一个字母
从无穷到超越
无限之星
第七章 质数：不要整除以求最好
了不起的质数
质数究竟是什么
逃脱还是躲避
质数，从原始人到外星人
数学“原子”
一共有多少“质数”
第一个不会是zui后一个
寻找“质数”
最大的谜题
梅森对“质数”的追逐
谜题仍然存在……
是谁藏在质数的背后
第八章 非欧几里得几何的丑闻：空间的颠覆
这显而易见，我亲爱的欧几里得
欧几里得的世界
重获人心的非欧几何
我们的世界是欧几里得式的吗
过时的欧几里得
曲率和维数：当心混淆
非欧几何的开拓者
地图与领土
平行线问题
几何学家与作曲家
爱因斯坦：1- 欧几里得：0：非欧几何的问世
世界的形状
欧几里得几何，信或不信
第九章 不要再增加了！有多少个维度
通往多维空间的大门
我的平面国
寻找第四维度
维数的膨胀
第十章 另一种视角看空间：拓扑学
另一种空间观
清晨的拓扑学
拓扑学的诞生：无法走过的“哥尼斯堡桥”
拓扑学的诞生：团结一致的立体
长久的悬念
拓扑珍奇屋
第十一章 微积分：挑逗极限
定夺胜负：牛顿与莱布尼茨相距一毫
艾萨克·牛顿，一个全能型的天才
牛顿：宇宙的破译者
通过极限解决
与此同时，在欧洲大陆上……
不一样的战斗
德国—英国：平局？
解密宇宙的微小之物
第十二章 混沌理论：方程中的机遇
时钟里的一粒沙
天体之舞
前路为何不可知
可能掌握混沌吗
在混沌中求生？
气候中的混沌：蝴蝶效应
奇异吸引子
第十三章 分形：宇宙的几何形状？
混沌的面貌
分形新世界
分形史前史
分形之形
分形：超越逗号的维度
分形海岸：无穷的海岸线
硅的启示
无处不在的分形
无穷中的无穷
第十四章 永远无法闭合的圆：不完备性
再造乾坤
第一条裂痕：侵蚀逻辑的悖论
说谎者悖论
“我们必须知道，我们终将知道！”
数学幻梦
希尔伯特计划的双重困境
不完备性：机器中的幽灵
阿兰·图灵登场
第十五章 数学机器：数学还存在吗
利用手指、石子及尺子计数
计算机：具象化的数学
真实的机器，梦想中的机器
进步的机器
机器之战及第一批计算机
编（解）码的考验
一个与众不同的苹果
数学家是否怀有人工智能之梦
超越可计算范围？量子计算机
所有这些都是数学
附录

科普著作，尤其是数
学科普不同于其他类型著
作，例如科幻作品可以虚
构，数学则需要考虑读者
必要的专业基础。数学科
普也不同于其他学科科普
作品，因数学所具有的抽
象性，需要作者对一些重
要的数学概念有深入的理
解，才可能深入浅出地诠
释。迄今已有众多优秀的
数学科普作品问世，而法
国著名科普作家伊万·柯
里奥（Ivan Kiriow）所著
《数学的秘密》这本书，
就向广大读者展现了其令
人叹服的特色和深度。
我感觉本书有如下几
个显著的特色。
1．立意新颖。与传统
的数学科普著作相比，本
书力图通过探讨“数学的
秘密”揭示数学的本质，
有令人耳目一新的视角。
2．本书取材服从于作
者设立的目的，因此与传
统方式有所不同。虽然也
包含了数学发展过程的几
乎所有重大事件，但取舍
和详略有很大差别（例如
代数、数论与概率的讨论
相对少很多）。后面几章
侧重于介绍近半个世纪发
展起来的一些新兴学科，
以及一些重要问题的最新
进展。本书增添了一些新
的史料和轶事，从而使得
历史人物和事件更加生动
和饱满。
3．大多数学史和一般
的数学科普作品按时间顺
序展开，本书则是围绕作
者本人对数学的感知和认
识——特别是围绕本书所
设定的主题展开。结合自
己的观点，对数学各个发
展过程中产生的重要思想
分散在每一章讨论。
由于本书涉及的专业
知识以及有时跳跃大的特
点，给读者以下建议：
可以从书中任何地方
开始阅读；不要对严格性
做过多要求，能理解所讨
论的问题即可；对于一些
观点和争论，需要耐心和
思考，主要是弄清问题的
关键。本书不同于标准教
材，特别是不能指望从中
学到严谨的数学知识，但
希望通过阅读此书，能令
你产生对数学的浓厚兴趣
，继而步入数学殿堂。
下面简要介绍本书内
容，读者阅读时要注意作
者在每个章节的讨论中如
何体现他的思想。
第1章是本书破题，直
接提出“数学是否存在”和
“什么是数学”等基本大问
题，围绕这些问题的讨论
贯穿本书。这些问题涉及
哲学、科学、伦理学的一
些最基本的观点。念完这
一章可能还不足以理解作
者的基本想法、意图和本
书特点，但念完本书后回
面重新看这一章无疑会有
更多收获。也可以在念完
本书后再来念这一章。此
外，应当注意到“演绎”“
抽象”“严谨”作为数学的
三个基本特点，作者没有
在这一章深入讨论，而是
分散在后面的章节。
第2—7章，讨论计数
和数的进制，数的分类（
有理数、代数数和超越数
）和结构（质数理论）。
在这儿有两件事值得注意
：一是介绍了计数和数的
进制的完成过程，这是人
类对数学的第一个伟大的
贡献；二是介绍了数学的
第一次危机：“与有理数
的不可共度”和“芝诺悖论
”。前者使得希腊学派由
算术走向几何，并产生了
第一个“公理系统”和“比
例”“穷竭法”两大成果；
后者则对无穷小的理解提
出了挑战。
第8—10章涉及近代几
何与拓扑。作者首先介绍
非欧几何，围绕高斯、波
里耶和罗巴切夫斯基的发
现和轶事介绍几何学中发
生的一场“革命”，之后进
一步介绍黎曼几何，讨论
所产生的不同的公理系统
的科学意义，并延伸到爱
因斯坦的相对论。接着介
绍了由于客观需要而产生
的高于3维的维度，作为
例子介绍卡拉比流形与现
代物理的超弦理论。因此
很自然地在第10章介绍拓
扑的产生以及发展，与传
统几何的本质差别，特别
是拓扑在数学中的重要地
位。
第11章专门讨论微积
分，这是人类继“计数和
数的进制”之后对数学的
第二个伟大的贡献。由于
本章内容在一般数学科普
作品中都有重点介绍，因
此作者没有因循传统写法
，而是按照本书的宗旨着
重介绍下面三点：微积分
产生是因为人类要了解世
界运作需要相应的工具；
其次是围绕牛顿和莱布尼
兹关于发现的优先权给出
自己的看法，为此补充了
一些新的史料和轶事；之
后又简要介绍了推动微积
分发展的代表人物欧拉、
拉格朗日和拉普拉斯的后
继工作，重点介绍柯西关
于极限的工作，由此所建
立的无穷小理论化解了以
伯克利为首攻击“无穷小”
的不严谨产生的第二次数
学危机。
第12—13章介绍20世
纪后期产生的新兴交叉学
科——混沌与分形。从庞
加莱三体问题到洛伦茨吸
引子，讨论中抓住非线性
现象中从“蝴蝶效应”到本
质的“敏感相依性”。与传
统数学不同，分形几何研
究不光滑几何对象，因此
数学的一些重要传统分析
工具在此失效。混沌与分
形的联系在于前者是作用
在后者上面的动力系统。
作者在此对确定性理论提
出怀疑，讨论超出了数学
，回到“数学能做什么”的
讨论。
第14章介绍逻辑形式
化和数学公理化。由康托
尔引入的集论引发的数学
第三次危机直接动摇了数
学基础。公理化和形式化
作为破解此危机的工具成
为20世纪初最为显著的口
号，希尔伯特则是这一运
动的旗手。每次大的危机
和革命都会有大的天才出
现，这次是哥德尔。他的
贡献——不完备性理论使
得希尔伯特的计

数学是折磨与泪水的代名词，是精英进阶的必经之路；数学是刺激、烧脑的迷宫，是让人着迷的思维游戏；数学是绚丽多彩的科学万花筒，是看待世界的新眼光；数学是一片海，它让深入海底的人尽情探索，也能帮助岸边的人开阔视野。
用数学思维探索万物逻辑，推演世界真相。
一本适合所有人阅读的数学科普佳作，轻松洞悉数学的奥秘。
清华大学前数学系主任文志英先生重磅推荐！

数支配着宇宙。
——毕达哥拉斯
数学中的一些美丽定
理具有这样的特性：它们
极易从事实中归纳出来，
但证明却隐藏得极深。
——高斯
每一个新的群体在形
式上都是数学的，因为我
们不可能有其他指导。
——达尔文
上帝有一堆标准的正
弦函数，他任意地挑其中
的一些出来，能组成宇宙
万物。这些正弦函数从最
初就没有变过，我们看到
的变化都是组合的变化。
——约瑟夫·傅立叶

什么是数学
我们知道，数学，或者我们所认为的数学，探讨的是数字和数，是图形、曲线、线段和面，是多边形、体、角、函数、分数、方根和幂，这是公认的事实。但我们所谈的具体是什么呢？你在自然界中遇到过“直线”吗？在街角碰到过“数”吗？在星空中见到过“函数”吗？
首先， “数学”这个词本身能否给我们一些线索，为我们指出一条明路呢？“数学”一词源自古希腊语，这可以说是不足为奇，因为回首校园往昔，我们所有人都会将这一学科与一连串或古怪不已或令人痛苦万分的希腊名字联系在一起，比如：毕达哥拉斯、泰勒斯、阿基米德（Archimedes，前287—前212）、欧几里得（Euclid，约前330—前275）……数学（mathematiques）一词的词根就是“mathema”，意思是“知识”！有点令人失望是吧？或者至少对探索这门知识的准确定义来讲，还是太过于模糊。毕竟，数学在整个科学界，甚至在我们的日常生活中简直是无处不在。因此，或许数学带给我们的是关于世间之物的（特定的？）知识。但同时，我们可以看到，它还有属于且仅属于它自己的东西。
方才我们在复数的不定冠词和单数的阴性冠词之间游移不定。即使在法语中我们更常采用第一种用法，即将数学（des mathematiques）当成复数名词来讲，但有些创作者、数学家、文学作家、哲学家或科普家——并且他们通常都兼具这些身份于一身！——更愿意使用数学的单数形式（la mathematique），以此将数学归为一个不可分割的整体。这两种选择中的任何一种都能公正地反映出数学的一个方面。复数的数学体现其在专业上的多变性，作为工具是如何干变万化，使用范围又是如何丰富多样。我们可以看到，数学可以表现为几何、代数、算术、分析、拓扑、概率这些专业，还可以发展出新近才出现又或是未来还有待开拓的其他专业，但我们也可以把数学当作单数来讲。因为人们可以借助一种语言和一种普适的逻辑将所有现实合为一体，在致力于达成这一目的的同时，加以论证，就能以此为基础创造出一种通用的切入研究的途径。在这一通用途径和成套方法的共同作用下，所有这些单独的切入途径便能得到统一。为了方便起见，我们在这里更倾向于采用最常见的用法，即用复数形式来表示我们所关注的对象——数学。
单数的数学也好，复数的数学也罢，问题都丝毫没有得到解决：数学是一项关于什么的工作？数学对象的性质是那么特别，以至我们都不知该如何去形容。有些人认为数学是一种科学，甚至是“科学的皇后”。无论是涉及小学、中学和大学的课程设置，还是图书馆和书店里的资料分类，数学显然都属于科学的范畴。但是，数学在这里还有两张不同的面孔。一方面，它是一种工具，一种语言，在某种程度上，还是几乎所有科学学科共同“看待世界的方式”——以至哪门科学要是不“说”数学语言或者不转化为数学语言就可能不被重视。然而，另一方面，除了应用数学，我们还发现了研究数学自身的纯粹数学。无论它能否从实际运用中产生，又能否指导实际运用，不会改变的是：数学自有其存在的理由，这个理由与其应用价值无关，涉及的对象也仅仅属于它自身，以至一些数学家、历史学家和哲学家拒绝将其看作“科学”，而更愿意称其为“知识”或“学科”。科学即对自然现象的研究、描述和理性说明。如果从这个原则出发，那么，只有当人们赋予“自然”一词非常广泛而特殊的含义时，才能将数学家研究的实体看作是“自然的”！让我们举几个例子来说明这个问题，同时在数学世界中插上我们的第一面小旗。
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