本书为日本数学教育议会创立者远山启的数学教育科普作品。书中通俗解读了数学教育中的重点、难点问题，用直观的方式梳理了“量与数”“集合与逻辑”“空间与图形”“变数与函数”的知识体系，并结合作者多年的教学与研究经验，向读者传授了独创的教学方法与学习技巧，引导学习者掌握具有发展性的思考方法，从原理上理解数学知识，培养自主探索数学世界的兴趣和能力。本书适合数学爱好者阅读学习，也适合作为教师教学、家长辅导的参考指南。

远山启（1909－1979），1938年日本东北大学理学部代数学专业毕业。日本当代著名数学教育家，日本数学教育议会创办人、初代委员长，倡导改革传统的应试数学教育方式，创立“水管式教学法”“瓷砖指导法”等新式的数学教学方法。他在学术方面造诣很深，著述颇丰。著有《数学与生活》《无穷与连续》《现代数学对话》《函数论》等。

序章
0.1 答案相同也“不同”
0.2 教学方法的保守性
0.3 教科书与教学制度的历史
0.4 黑封面教科书
0.5 绿封面教科书
0.6 蓝封面教科书
0.7 生活单元学习法
0.8 如今的制度
第1章 量
1.1 广义的量
1.2 生物与环境
1.3 量是信息
1.4 教学中量的缺失
1.5 量的系统性教学
1.6 离散量和连续量
1.7 集合的个数
1.8 算盘和计算尺
1.9 量词和单位
1.10 外延量和内涵量
1.11 相加性
1.12 重量
1.13 单位的导入
1.14 直接比较
1.15 间接比较
1.16 个别单位
1.17 统一单位
1.18 时间
1.19 内涵量
1.20 密度的三种用法
1.21 从量到数
1.22 乘法的意义
1.23 分数的乘法
1.24 语言差异
1.25 度和率
1.26 高级的量
1.27 多维量
1.28 向量和矩阵
第2章 数
2.1 一一对应
2.2 康托尔的集合论
2.3 序数
2.4 求剩和求差
2.5 数词与数字
2.6 原始社会的数词
2.7 欧洲的数词
2.8 心算和笔算
2.9 汉字数字和算术数字
2.10 数位和
2.11 数数主义
2.12 向心算倾斜
2.13 数学应以笔算为中心
2.14 心算和数学
2.15 0 的含义
2.16 0 的历史
2.17 数位的原理
2.18 方便合并的方块
2.19 三者关系
2.20 加法
2.21 五·二进制
2.22 题目的数量
2.23 题目的分类和排序
2.24 减法
2.25 减减法和减加法
2.26 两步退位
2.27 乘法
2.28 日本的九九乘法表
2.29 除法
2.30 求商
2.31 分数·小数
2.32 比例分数
2.33 量和分数
2.34 分数运算
2.35 分数的乘法
2.36 分数的除法
第3章 集合与逻辑
3.1 集合是什么
3.2 无穷集合
3.3 集合的定义
3.4 要素
3.6 补集
3.7 交集
3.8 并集
3.9 德·摩根定理
3.10 空集
3.11 逻辑
3.12 命题
3.13 真和假
3.14 否定
3.15 联言
3.16 真值表
3.17 0和1的计算
3.18 公路网
3.19 all和some
3.20 否定的模糊性
3.21 谓语和集合
3.22 直积
3.23 概率
第4章 空间与图形
4.1 古典几何学
4.2 方格几何
4.3 几何学与逻辑
4.4 公理的复杂性
4.5 不完全证明
4.6 一般与特殊
4.7 归纳和演绎
4.8 折线几何
4.9 投影图
4.10 球面几何学
4.11 球面过剩
4.12 纬度和经度
4.13 初等数论
4.14 算法
第5章 变数与函数
5.1 字母的含义
5.2 字母的变数含义
5.3 应用题
5.4 龟鹤算
5.5 函数的功能
5.6 自由落体定律
5.7 量的因果定律
5.8 符号
5.9 正比
5.10 函数与正比
5.11 映射
5.12 函数和图像

如今，日本教育的状况
让不少人忧心忡忡。
学校不再是让学生无忧
无虑地学习和成长的场所
，而是逐渐变为整日考试
、推崇竞争，并以成绩定
终生的地方。
学校本该去点燃学生智
慧的火种，现在却成了按
成绩排名、划分学生等级
的竞技场。
更有学校扬言要淘汰跟
不上教学进度的学生。
孩子在真正意义上变聪
明，需要非常长的时间。
与其他动物不同，我们的
孩子需要经历相当漫长的
岁月，才能成长为具备独
立生存能力的成年人。
因此，无论多么急切地
催促孩子“快点、快点”，他
们也不会在一夜之间长大
，否则就是揠苗助长——
也许看上去是长大了，但
在其成长过程中，一定有
许多重要的东西被遗漏了
。
在学校开设的众多课程
里，数学常被当成“筛选”的
工具，数学成绩成为判断
学生聪明或愚笨的标准。
一直从事数学教学研究的
我，对此感到十分痛心。
包括小学低年级的算术
在内，数学绝非筛选工具
。只要教学方法正确，所
有的孩子应该都能理解数
学。
数学其实是一门很单纯
的学问，只要能扎实掌握
重点，那么所有人都能把
它学明白。而算得上重点
的内容并不多，一学年最
多有两三处。教师只要花
时间将这些重点讲透彻，
就无须将所有的知识细节
逐一灌输给学生了。
本书的目的，就是要将
数学这门学科中为数不多
的重点说透彻、讲明白。
当下的教育现状是，家
长和教师不停地催促着孩
子“快点写答案、快点写答
案”，教育环境整体十分浮
躁，孩子在学习的过程中
没有归属感和落脚点。其
实完全不必这么心急，慢
慢来并不晚。
很多学生年级越高就越
讨厌数学、讨厌算术，可
算术明明很受幼儿喜爱。
第一，学习数学可以不
借助他人的力量，仅凭一
己之力就解决问题。这种
成就感是在学习其他学科
的过程中体会不到的。
第二，数学很公平。即
使是所谓的“差生”，只要能
做对所有题目就能得100分
。相反，即使平时是“好学
生”，如果一道题也做不出
来，那么得了0分也不能抱
怨。这是只有数学才能带
来的爽快之感。
所以，刚上小学的孩子
都爱学习数学。而讨厌学
习数学的高年级学生之所
以越来越多，是因为他们
在学习的过程中逐渐学不
明白了。
这无外乎有三个原因。
（1）学生。
（2）教师。
（3）教科书。
如果日本的所有学生都
被同一个数学难点绊住了
，那么可以肯定的是，责
任不在学生也不在教师，
而在于教科书，或者说是
教科书背后的教学大纲出
了问题。
如今，导致日本的学生
学不好算术和数学的主要
原因就在于教科书。若要
追究更具体的责任，市面
上那些针对教科书的试题
集也脱不了干系。
试题的意义在于，教师
可以用它来确认学生对课
堂内容的掌握程度，并以
此为依据来制定次日的教
学计划，而学生也可以通
过试题来了解自己对知识
的掌握程度。所以试题应
该是“手工制作的”，需要教
师以学生的情况为基础来
设计。但日本大部分学校
使用的试题都是出版商出
品的印刷成品，这样的试
题自然无法针对学生的具
体隋况。
再者，市面上的试题集
里也有很多错误。用这样
的试题集学习，实在没必
要因为拿了“√”而沾沾自喜
，拿了“×”就垂头丧气。
本书将为读者详细解释
数学这门学科的“根基”，所
以数学学得不错的人可能
会觉得无聊。
不过，根基都是深埋在
地下的，把它们挖出来重
新晒晒太阳，也许会有意
想不到的新发现。所以，
即使您是对数学无所不知
的高手，我也希望本书能
为您带来一些新的发现。
远山启
1972年4月

数学教育，究竟是知识上的机械式灌输，还是思维上的发展性引导？
本书的目的就是要将数学这门学科中为数不多的重点说透彻、讲明白。
本书将为读者详细解释数学这门学科的“根基”，所以数学学得不错的人可能会觉得无聊。
即使您是对数学无所不知的高手，本书也能为您带来一些新的发现。

数学其实是一门很单纯
的学问，只要能扎实掌握
重点，那么所有人都能把
它学明白。数学中算得上
重点的内容并不多，一学
年最多有两三处。教师只
要花时间将这些重点讲透
彻，就无须将所有的知识
细节逐一灌输给学生了。
本书的目的，就是要将数
学这门学科中为数不多的
重点说透彻、讲明白。
——远山启

1.1 广义的量
序章稍微聊了聊本书的背景，下面我们就要进入正题了。首先来说一说“量”。
量具有双重含义——狭义的量和广义的量。在我们常说的“度量衡”中，“度”为长度，“量”为体积，“衡”为重量，此处的量是狭义概念。本章中涉及的量含义更广，除了体积之外，还包括重量、长度、面积、密度、时间等。物理学中的力、运动量、速度、加速度、能量，也都属于广义的量。社会科学中的人口、国土面积、人口密度、国民生产总值(GNP)，以及最近污染问题中经常出现的ppm浓度等，也都可以归纳到量的范畴内。
先学习“量”似乎有悖于算术教学中先学习“数”的常识，但数的背后实则就是量。量的重要性暂且不提，仅让学生理解上述这些种类繁多的量就是一个大工程。所以我们要以最简单的量为基础，逐步过渡到复杂的量。
在从小学升至初中、高中的过程中，学生接触到的量的难度也会逐渐增大。如果量的出场顺序颠倒了，那么就会导致学生不理解甚至混淆这些量。因此，如何系统地讲解“量”是教师必须思考的问题。
小学之前的孩子能区分一些简单的量，再小一些的幼儿也知道在大块点心和小块点心当中选大的。通过比较来知道大小，这就是学习量的出发点。 幼儿学会说话后，很快就会了解“大、小”，这是理解“体积”的萌芽阶段。同样，幼儿也能从“热、冷、凉”这些词中理解什么是“温度”，从“长、短”中理解什么是“长度”。
我们的语言中有大小、冷热、长短、轻重、快慢等多种形容词，这其实也体现了量的多样性。这类形容词产生的前提是比较，这一点在英语中比在日语中体现得更明显。例如，large、larger、largest这三种形式就分别代表了原级、比较级、最高级。
1.2 生物与环境
我们的语言中使用的形容词如此之多，也反映出了对于人类生存而言，量是一种根源性的东西。我认为，人类在了解“数”的概念之前，先产生“量”的概念，这是维持生存的必要条件。选择量较大的食物来储备能量，这是生存的智慧；通过感知冷热了解环境的季节变化，这也是生存的必要之举。生命无法摆脱外在环境而单独存在，所以生命必须去适应这种复杂、多变的环境。
这里的适应有两重含义，它既是同化又是调节(图1-1)。同化是主动适应，调节是被动适应。寒冷时多穿衣服是被动适应，生火提高外界温度则是主动适应。
生物为了维持生命都要或主动或被动地适应环境。有一些适应行为是本能性的生理功能，可以不用通过大脑而有意为之。例如，当处于闷热的环境中时，流汗就是将体内的热量释放出去的一种无意识的适应行为。而人在感到寒冷时蜷缩身体、动物在寒冷环境中毛发变厚也是如此。
生物为了维持生命需要适应环境，而要适应环境就要正确感知外界环境的变化，例如要先感觉到热，然后才能去适应它。
1.3 量是信息
我们用感觉器官感知外界环境，感觉器官所捕捉到的，就是反映外界环境的信息。也就是说，环境向生物传递反映外界环境的信息(图1-2)，生物再根据冷热等信息做出相应的反应或行动。很多时候这些信息都以量的形式呈现，例如“温度”这个量反映的就是环境的冷热程度。
再举一例。当我们正准备过马路时，发现远处有一辆汽车驶来。此时，我们先要估算车离我们有多远，再大致判断车的速度，最后根据马路宽度大致估算出穿过马路所需要的时间。收集到距离、速度、时间这三个量的信息后，我们就能判断此时过马路这一行为是否存在危险。
再比如，当商品的价格变高时，暂时放弃购买商品，这也是一种通过量的信息进行判断的行为，此时的量就是商品的价格。或者当商品价格变低，大量购入商品，这同样是一种通过量的信息去适应环境的行为。
再举个稍微抽象一点的例子。当社会的整体环境变差，例如城市的二氧化硫浓度达到××ppm时，城市的居民就能判断出需要一些制度上的改革来降低有害气体的浓度。
无论例子是直观的还是抽象的，我们都能看到我们是通过“量”来获取外界信息的，并以此为基础来采取相应的适应环境的对策。
从这个角度来看，量对于维持生命、正常生活，甚至保障国民全体的生存质量而言都是非常重要的概念。因此，培养孩子理解各种量的能力，不仅是数学教育的一大目标，更是数学教育的基石。
量很重要，对于孩子而言也很容易理解，所以本书第1章将会反复强调从量出发的数学教学方针。当然，虽说量是数学教学的基础，但我们也绝不能只学习量，其他知识也是不可或缺的。总而言之，量是学习其他知识的出发点和基础。
P12-15