爱迪生曾说过：“惊奇就是科学的种子。”《少年知本家身边的科学》正是一套让人备感惊奇、超酷超炫的科学书，立足于21世纪的最新科技发展喊果，紧跟时代步饯，以独特的视角、生动的文字、丰富的想象力，书中全面阐述科学知识、揭秘复系的科学现象、洞悉自然科学规徨，让你领略到看似枯燥的科学其实很精彩、很有趣。

这本《走进数学世界》（作者胡郁）是该系列中的一册。

在知识繁荣的今天，数学已经是一门应用范围极广、内容极为丰富、系统极其庞大的学科，是人们认识客观世界的重要工具，也是研究各门学科必不可少的重要工具。所以，作者胡郁编纂了这本《走进数学世界》。

《走进数学世界》是编者精心收集整理大量资料之后汇编而成的，囊括了各个方面的数学知识。希望读者们通过阅读本书，能轻松地掌握许多数学知识，这样编者们编写本书的目的就达到了。

数的发明发现

 最早的数学概念

 人类是如何开始计数的 

  “0”的来历及意义

 分开的数 

 正负数的发现 

 有理数和无理数的发现 

 复数的发现

 虚数的发现

 函数的发现 

 代数式与多项式的发现

 三角函数表的来历

 勾股定理的发现 

 八卦中的数学 

 圆周率的由来

 球体积的证明 

 数学符号的发现和使用 

 三个著名的无理数

 计数和记数

 计数和计量

 进位制

 十进位制和二进位制

 二进数和八进数 

 几何学的产生

 分形几何的发现

 射影几何的发现

 解析几何的发明

 亲和数

 破碎数

 盈不足术

 重差术

生活中的数学

 对数的发现

 e和自然律

 质数的猜想 

 地图四色定理

 手指是最原始的计算机 

 心算速算

 计算时间

 天文与计数法

 自然界中的数学天才

 墓碑上的数学

 抽签与中奖

 怎样购买奖券

 要羊还是要汽车

 号码升位后可增加多少号码

 怎样寻找落料的最优方案

 数字密码锁的安全性

 怎样计算用淘汰制进行的比赛场数  

 怎样计算用单循环制进行的比赛场数

 怎样安排循环制进行的比赛场数

 条形码中的数学奥秘

 与你同生日的有几人

 星期几的算法

 抽屉原则

 奇妙的圆

 高斯等分正17边形

 测量太阳高度

 丈量地球

 经度的测量

 巧算圆木垛

 化圆为方的绝招

 切分蛋糕

 立方装箱与正方装箱

 糕点打包技术

 过桥

 排 座

 分糖

 分牛

 鸡兔同笼

 百鸡问题

 芦苇有多高

 巧分奖金

 分桃子

 瞎子看瓜

 把250个苹果巧装到8个篮子

艺术中的数学

 数学是一门艺术拓扑学

 黄金分割

 克莱因瓶

 《爱丽丝镜中奇缘》的数学奥秘

 正方形的维纳斯

 正20面体上的剪纸艺术

 名画算术题

 蜂房建筑艺术

 回文诗中的数学

故事中的数学

 丢失的钱币

 多赚了一戈比

 马车夫的糊涂账

 换一根短的杠杆

 阿基米德分牛

 阿基米德测王冠

 聪明的王子

 国王赏不起的米

 曹冲称象

 孙膑戏齐王

 夫妻渡河

 巨鼠岛之谜

 喝不到水的乌鸦

游戏中的数学

 猜数字

 玩具金字塔

 火柴棒游戏

 蜘蛛抓苍蝇

 巧解九连环

简单地说，拓扑学就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。

几何拓扑学是19世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在18世纪就出现了。那时候发现的一些孤立的问题，在后来拓扑学的形成中占着重要的地位。

在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。

前面我们在“过桥”一节中详细讨论了“七桥问题”，最后欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置，并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。

在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是，那么它们总有这样的关系：f＋v一e＝2。

根据多面体的欧拉定理，我们可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位做地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878－－1880年，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，做了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种更简洁的书面证明方法。

上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。拓扑学最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。

拓扑学起初叫形势分析学，是莱布尼茨1679年提出的名词。19世纪中期，黎曼在复函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学，从此开始了现代拓扑学的系统研究。

拓扑学是从图论演变过来的，它将实体抽象成与其大小、形状无关的点，将连接实体的线路抽象成线，进而研究点、线、面之间的关系。网络拓扑通过结点与通信线路之间的几何关系来表示网络结构，反映出网络中各个实体之间的结构关系。拓扑设计是建设计算机网络的第一步，也是实现各种网络协议的基础，它对网络性能、可靠性与通信代价有很大影响。网络拓扑主要是指通信子网的拓扑构型。

拓扑性质有哪些呢？首先是拓扑等价。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、；大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。

在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般来说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，它的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。

应该指出，环面不具有这个性质。把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形。对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

其次，直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

我们讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯（1790—1868）在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

拓扑学建立后，由于其他数学学科的发展需要，它也得到了迅速发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的发展。

P163－165

数学是一门有实用意义的学科，它是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。通过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。

数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。

数学就像人们的良师益友，指引人类攀登知识高峰的每一步。数学这门学科有着巨大的实用价值，正如一些数学家所说的那样：“在数学的世界里，甚至还有一些像诗画那样美丽的风景。”加里宁也说过：“数学可以使人们的思想纪律化，能教会人们合理地思维着。无怪乎人们说数学是思想的体操。”

数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求．。

在知识繁荣的今天，数学已经是一门应用范围极广、内容极为丰富、系统极其庞大的学科，是人们认识客观世界的重要工具，也是研究各门学科必不可少的重要工具。所以，我们编纂了这本《走进数学世界》。

这本书是编者精心收集整理大量资料之后汇编而成的，囊括了各个方面的数学知识。希望读者们通过阅读本书，能轻松地掌握许多数学知识，这样编者们编写本书的目的就达到了。