《数学》是“机敏问答”系列丛书中的一本，是面向普通读者的普及型数学读物，书中所涉及的都是一些比较基本的数学知识。本书采用一问一答的形式，简单明了，通俗易懂，并且配有大量的图例和图片，深入浅出地向读者介绍了数学的发展历史、基础知识、基本分支学科与其他学科的联系，以及数学在我们日常生活中的应用等，这是一本将读者带入神奇的数字世界的入门书。

“机敏问答·数学”是一本使你全面了解数字世界的入门书：介绍了数学的漫长历史(和未来的启示)到我们如何在日常生活中使用数学的各种内容。本书中包括了1000多个问题及答案(准确地说是1002个)、100多幅图片、70多个图例和10多个方程式，来帮助解释基本数学定律或为其提供例子。

本书会使你在代数、微积分、几何和三角方面的基础知识，或者在诸如结算支票簿，追踪股市行情，买房，以及计算信用卡花费等现代日常问题方面的知识令人耳目一新。“机敏问答·数学”一书共分十六个章节，每个章节包含了一些类似的题目，使人们能轻而易举地了解数学知识。本书为悖论、定理和数学的基础理论提供了简明清晰的解释，还解释了日常生活中常见的统计学、金融与市场报告、天气预报、房地产评估、游戏和各种测量值中包含的数字。

对于那些希望在数学问题方面得到额外指导的人来说，作者帕利斯·巴尼斯(Patricia Bames-Svarney)和托马斯·斯瓦尼(Thomas E.Svamey)为他们提供了从备受推崇的文字出处到他们最喜欢的一些网址的所有东西。数学与人从未如此的亲近。

简介

鸣谢

历史

数学的历史

 什么是数学？……早期的计数和数学……美索不达米亚数字与数学……埃及数字与数学……希腊数学与罗马数学……其他文化和早期的数学……中世纪后的数学……现代数学

历史上的数学

 “零”和“派”的产生……重量和量度的发展……历史上的时间和数学……历史上的数学和历法

数学基本原理

数学基础知识

 基础算术……关于数字的所有内容……关于数的更多内容……零的概念……基本数学运算……分数

数学的基础

 基础和逻辑学……数理逻辑和形式逻辑……公理系统……集合论

代数

 代数基础知识……代数的说明……代数运算……指数和对数……多项方程式……更多的代数内容……抽象代数

几何与三角

 几何的开始……几何学的基础知识……平面几何……立体几何……测量和转换……解析几何……三角学……其他的几何学

数学分析

 分析学的基础知识……序列和级数……微积分学的基础知识……微分学……积分学……微分方程式……向量分析和其他分析

应用数学

 应用数学基础知识……概率论……统计学……建模和模拟……应用数学的其他领域

科学和工程学中的数学

物理科学中的数学

 物理与数学……古典物理学与数学……现代物理学与数学……化学与数学……天文学与数学

自然科学中的数学

 地质学中的数学……气象学中的数学……生物学中的数学……数学与环境

工程学中的数学

 工程学基础……土木工程学与数学……数学与建筑学……电气工程学与材料科学……化学工程……工业和航空工程学

计算中的数学

 早期的计数和运算工具……机械和电子运算工具……现代计算机与数学……应用

数学无处不在

数学在人文科学中的应用

 数学与美术……数学与社会科学……数学、宗教和神秘论……商业和经济中的数字……医学和法学中的数学

日常数学

 日常生活中的数字和数学……数学和野外活动……数学、数字和身体……数学和消费者的钱……数学和旅游

趣味数学

 数学猜谜……数学游戏……纸牌和骰子游戏……体育运动中的数字……仅供娱乐

数学资源

 教育资源……组织和学会……博物馆……大众资源……网上冲浪

附录1 测量系统和换算系数

附录2 从1-10的以10为底的对数表

附录3 计算圆形的面积和体积的常用公式

译者感言

希腊数学与罗马数学

为什么数学对希腊人如此重要？

拥有了一套适当的数字系统和从巴比伦人那里获得的知识，希腊人成为数学方面的行家。尽管希腊文化在此之前已经存在了很长时间，但大部分数学方面的成就都是在公元前300一公元前200年之间取得的。希腊人改变了数学的本质和方法，并且他们把数学看做是科学中重要的学科之一。他们如此偏爱数学的主要原因是很容易理解的：与其他活动相比，希腊人更喜欢推理。不像许多科学工作那样需要实验和观察，数学是以推理为基础的。

谁是最有影响力的爱奥尼亚和希腊数学家？

爱奥尼亚人和希腊人有一些他们那个时代最富有进取性的数学家，包括像赫伦(Heron of Alexandria)、芝诺(zeno of Elea)、欧多克斯(Eudoxus of Cnidus)、希波克拉底(Hippocrates of Chios)以及帕普斯(Pappus)这样的数学家。下面介绍的只是几位比较有影响力的数学家。

泰勒斯(Thales of Miletus，公元前625-公元前550)，除了是一位哲学流派的创始人和第一位有记载的著名哲学家外，还通过把巴比伦人的数学引入到希腊文化中，对希腊数学做出了巨大的贡献。他作为一名商人所进行的旅行，无疑更有机会接触测量活动中的几何问题。解决像金字塔的高度(用阴影)，船离海岸线的距离以及据说是预测日食这样的问题，最终，他把几何学引入希腊。

喜帕恰斯(Hipparchus of Rhodes，公元前170-公元前125，希腊人也叫Hipparchus of Nicaea)是一位天文学家和数学家。人们认为，是他提出了三角函数的一些基本原理。这在他的包括测量月球和地球之间的距离在内的天文学研究中起了极大的帮助作用。希腊人托勒密(Claudius Ptolemaeus或Ptolemy，公元100-公元170)，是一位不仅在天文学领域，而且在几何学和地图学方面最有影响力的希腊人之一。托勒密的著作以喜帕恰斯的理论为基础，他提出本轮的观点，指出每个星球都绕着一个圆形轨道运行，并且每个轨道又都绕着以地球为中心的宇宙运行。托勒密派解释太阳系的理论(现在我们知道是不正确的)统治了天文学界1000多年。

丢番图(Diophantus，公元210-公元290)，被有些学者看做是“代数之父”。在他的论文《算数》中，他用几种变量解出了我们今天称为“丢番图方程”的方程式的整数解(更多关于这些方程式的内容见“代数”一章)。他还计算出一些方程式的负数结果，但是，他认为这样的答案是荒谬的。

阿基米得对数学的最大贡献是什么？

历史学家们认为，希腊人阿基米得(公元前287-公元前212)是那个杰出时代希腊最伟大的数学家之一。他因为发现了“阿基米得定律”而闻名，他在简单的机械力学方面也同样出色，他通过用圆的内接和外切多边形来逼近圆的周长，计算出了π近似值，推导出了计算球体和锥体容积的公式，对欧多克斯的最终导致积分学诞生的穷竭法加以丰富。他还创造了一种表示任何自然数的方法——不管这个数有多么大，这是用希腊数字不能做到的事情(关于阿基米得的更多内容见“数学分析”和“几何与三角学”两章)。

哪些希腊数学家对几何做出了重大贡献？

希腊数学家欧几里得(Euclid，公元前325-公元前270)，对算数的发展和二次方程式的几何理论做出了较大贡献。尽管除了知道他在埃及的亚历山大市教过书以外，人们对他的生平知之甚少，但是，对于他在几何学方面所做出的贡献却了解很多。我们在中学学习的许多几何基本原理还主要是以欧几里得的理论为基础。他的13本几何著作和其他的数学著作(书名为《几何原本》[Elements，或在希腊文中叫Stoieheion])是他那个时代的经典之作。这部文集的前6卷解释了平面几何的基本原理，其他的书讲述了数字理论，一些算数问题(几何基础上的)和立体几何。他还对一些基本概念做出了定义，像点和线，某些相关的公理和假设，以及许多从定义、公理和假设演绎而来的逻辑表达式(更多关于公理和假设的内容见“数学的基础”一章，更多关于欧几里得的内容见“几何与三角”一章)。

毕达哥拉斯对数学的重要作用是什么？

尽管中国人和美索不达米亚人在1000年前就发现了这个定理，但是，大多数人还是认为，希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos)(公元前582-公元前507年)是第一个证明毕达哥拉斯定理的人。这是一个关于直角三角形的斜边(h)和其他两条边(a和b)的关系的著名几何定理。

换句话说，对于一个直角三角形来说，它的斜边长度的平方等于其他两条边长平方的总和。

毕达哥拉斯的其他贡献是什么？

有趣的是，毕达哥拉斯定理并不是毕达哥拉斯对数学所作的唯一贡献。他被认为是第一位真正的数学家。他还创建了一所学校，这所学校强调知识的四大划分，包括：数字理论(被认为是学校中最重要的学习内容，并且只使用自然数)、音乐、几何和天文学(这些学科在中世纪被称为四大主科)。这些学科与逻辑学、语法和修辞一起构成了被认为是对任何一个受过全面教育的人所必修的知识领域。

毕达哥拉斯不仅教授这些课程，而且还讲授轮回学和神秘学，建立起一个类似于早期的俄卜斯祭礼(Orphic Cult)或受其影响的教团。毕达哥拉斯及其追随者(把毕达哥拉斯作为神来顶礼膜拜)的真实生活情形还有点神秘，因为他们采用一套严格的保密制度，并且把数学研究看做是某种巫术。毕达哥拉斯的基本观点是“一切皆是数”，也就是说，整个宇宙(甚至是像正义这样抽象的伦理概念)都可以以数的形式来解释。但是，他们还有一些非常有趣的与数学无关的观点，包括对豆类的反感。

毕达哥拉斯的信徒们不仅在数学和几何领域具有影响力，还对天文学和医学做出了重要贡献，也是最先传授地球绕着一个固定的点(太阳)旋转这一观点的人。这种观点在几个世纪后由波兰天文学家尼古拉斯·哥白尼(1473-1543)加以普及。到公元前5世纪末期，毕达哥拉斯的信徒们已经成为受社会排挤的人，因为人们对这群人对传统宗教习俗的干涉感到愤怒，所以他们中的许多人被杀。

谁是第一位有史料记载的女数学家？

人们已知的第一位女数学家是希帕提亚(Hypatia of Alexandria，370-415)，她可能受到其身为数学家和哲学家的父亲的教导，并在约400年时成为亚历山大市柏拉图主义学校的校长，教授数学和哲学。人们对她的著作知之甚少，关于她的事情，传说多于事实。人们认为她最后被一群暴徒杀死。

罗马数字的起源是什么？

因为罗马数字的历史没有清楚的文献记载，所以，人们对其起源一直争论不休。人们认为，这些数字形成于大约公元前500年，一部分来自没有并入拉丁文的原始的希腊字母。关于7个标准符号的实际形成原因也成为争论的问题。一些研究人员认为，代表1的符号(Ⅰ)来自一个手指；代表5的符号(V)可能是因为伸出的手在拇指和食指之间形成一个V字形；代表lO的符号(X)可能是两个V的尖连在一起，或者可能是与人们或商人用手来以一种类似于“X”形的方式计数有关。

不管这些符号是怎样形成的，它们被罗马人有效而非常恰当地使用着。与古希腊人不同，罗马人并不真正对抽象几何等“纯”数学感兴趣。相反，他们专注于“应用数学”，将数学和他们的罗马数字用于更实际的地方，例如：修建道路、庙宇、桥梁和沟渠、记录商业账目以及管理军队供给等。

罗马帝国衰落后的几个世纪中，各种文化仍继续使用着罗马数字。即使在今天，这些字符还仍然存在，被用于某些计时、正式文件中以记载年份。

P15-19

我们都曾见过它，也都曾感受到它，但很多时候并没有意识到它的存在。它隐身于奥地利大教堂中间漂亮的彩色玻璃窗的图案中，存在于汽车、电脑或宇宙飞船的大大小小的运转当中，藏在孩子天真的问话当中，“你几岁了？”

现在你可能已经猜到“它”是什么了：数学。

数学无处不在。有时它细微如蝴蝶翅膀的对称，有时又像纽约市国内收入署显示的债务数字那样醒目。

数字已悄悄地进入了我们的生活。它们被用来说明眼镜的验光单，显示血压、心率和胆固醇的水平。人们使用数字，这样你就可以按照公共汽车、火车或飞机时刻表出行，数字还可以帮助你弄清楚你最喜欢的商店、餐馆或图书馆什么时候开门。在家里，数字被用在菜谱中，用来读电表箱的电路图上的伏特数，以及为了铺地毯而测量房间尺寸。可能我们与数字最熟悉的联系是我们每天使用的钱。例如，数字可以让你知道早晨的那杯热牛奶咖啡上的交易是否公平合理。

《数学》是使你进入数字世界的一本入门书，介绍了从数学的漫长历史和未来启示到我们如何在日常生活中使用数字的各种内容。这本书中有1000多个问题及答案(准确地说是1002个)和100多幅图片，70多个图例，以及几千个方程式，来帮助解释数学基本定律或为其提供例子，仅仅通过这一本书，你就可以获得广泛的基础知识！

《数学》分为4个部分：“历史”一章包括了著名的(有时候是不出名的)人物、地点和具有数学重要性的物体；“数学基本原理”一章解释了从基本的算术到复杂的微积分等各种数学分支学科；“科学和工程学中的数学”一章说明了数学是如何与建筑学、自然科学，甚至是艺术这样的领域联系在一起的；“数学无处不在”一章包括了从结算支票簿到在拉斯维加斯玩老虎机的所有事情，表明数学已成为我们日常生活中不可缺少的一部分。

数学的研究课题(及其许多联系)是浩瀚无际的。2000多年前，希腊数学家欧几里得写了13本关于几何和数学的其他领域的书(著名的《几何原本》)。他用了其中的六本来说明基本的平面几何。现在，人们对数学的了解甚至更多，在本书的最后一章你会看到一长串的出处。在这里我们为您提供了从备受推崇的文字出处到我们最喜爱的一些网址，如“数学先生”和“SOS数学”等所有的东西。通过这种方式，《数学》不仅向您介绍了数学的基本知识，而且为您继续进行您的数学探索之旅提供了资料来源。

需要提醒的是：这是一个包罗万象的探索旅程。但是，很快你就会了解到这个旅程处处都令人满意并富有回报。您将不仅理解数学是关于什么的，而且将欣赏到我们日常生活中身边的数学之美。正如它曾使我们大吃一惊一样，我们肯定，您也会为数字、方程式和各种其他的数学构想不仅如何继续解释，而且继续影响我们周围的世界而感到惊奇。

当翻译完最后一页文稿轻轻合上书时，不禁长舒一口气，顿时有一种如释重负的感觉。在经历了100多个日日夜夜的艰苦工作之后，终于完成了这部长达400多页的书稿的翻译工作。虽然在翻译的过程中遇到了许多困难，如数学专业方面的难题，原文中的一些生涩词汇以及数学公式的编辑打印等，但是所有的劳累与辛苦都随着译稿的完成而烟消云散。同时，在翻译的过程中，我也对数学有了更深入的了解，开始喜欢上了数学，这也是一个意外收获，希望它也会带给读者同样的惊喜。

能够完成这样一项艰巨的翻译任务，首先要感谢我的家人在翻译过程中对我工作上和生活上的极大支持。其次要感谢谢军、林芳、高露、贾娜和毕世颖，他们也承担了一部分翻译工作。还要感谢刘玉娥、毕玉珍、刘丹、王春艳和谭增乙对译稿所作的校对工作，谢复茂、冷天水、谢明、王艳艳承担了译稿的打字和编辑工作，还有张丹、谭方道、于淑修为本书的翻译提供了数学方面的指导，没有他们的支持与帮助，就不可能完成《数学》这本书的翻译，在这里也一并表示感谢。虽然在翻译时尽心竭力，但由于专业所限，难免会在译文中出现这样或那样的不足，希望专家和同行给予批评指正。

谭艾菲

2009年元月于沈阳