本教材讲述的是高等数学的基础内容--数学分析，其核心内容是微积分学，全书共分三册。本书为第三册，共分七章：多元函数及其极限、连续，多元函数的微分学（一），多元函数的微分学（二），含参变量的积分，重积分，曲线积分与曲面积分，各种积分之间的联系、场论初步。本书是有作者在北京大学数学科学学院多年教学所使用的讲义基础上修改而成，内容丰富、深入浅出。对较难理解的定理、定义以及可深入探讨的问题，本书以加注的形式予以解说，以利于读者更好地接受新知识。本书在每一章的末尾还附有注记，意在为读者更清楚地了解知识背景，更迅速地提高数学能力创造条件。本书选用了适量有代表性、启发性的例题，还选入了足够数量的习题和思考题。习题和思考题中，既有一般难度的题目，也有较难的题目，供读者酌情选做。本教材可作为大学本科阶段的数学、概率统计、应用数学、力学以及计算机等相关专业的教科书，也可作为广大数学工作及爱好者的参考书。

前言
致读者
绪论 多元函数微积分史简介 1
第13章 多元函数及其极限、连续性 3
13.1 多元函数的概念 3
13.1.1 背景 3
13.1.2 多元函数的定义及其几何表示 3
13.1.3 点集范例、基本性质 6
13.2 多元函数的极限 11
13.2.1 重极限(全面极限)11
13.2.2 累次极限 12
13.2.3 一致极限 14
13.3 多元函数的连续性 15
13.3.1 数值函数的连续性 15
*13.3.2 向量函数的连续性 19
13.3.3 同胚变换 21
第14章 多元函数的微分学(一)24
14.1 偏导数与全微分 24
14.1.1 多元函数的偏导数 24
14.1.2 多元函数的全微分 27
14.2 多元复合函数的偏导数 32
14.2.1 求多元复合函数偏导数的方法 32
14.2.2 齐次函数 35
14.2.3 一阶微分形式的不变性 36
14.2.4 同胚变换的JacoD行列式 37
14.3 高阶偏导数与高阶全微分 39
14.3.1 多元函数的高阶偏导数 39
14.3.2 多元复合函数的高阶偏导数 44
14.3.3 多元函数的高阶全微分 48
14.4 多元隐函数的求导法 50
14.4.1 单个方程的情形 50
14.4.2 方程组的情形 53
14.5 曲线的切线、曲面的切平面 55
14.5.1 由参数方程表示的曲线和曲面的情形 55
14.5.2 由隐函数表示的曲面和曲线的情形 57
14.6 方向导数和梯度 61
14.6.1 多元函数的方向导数 61
14.6.2 多元函数的梯度 63
14.7 中值定理、Taylor公式、凸函数 65
14.7.1 多元函数的中值定理 65
14.7.2 多元函数的Taylor公式 66
14.7.3 凸函数 72
第15章 多元函数的微分学(二)75
15.1 隐函数存在定理 75
15.1.1 一个方程的情形 75
15.1.2 方程组的情形 79
15.2 逆变换(反函数)存在定理 82
15.3 函数的极值 88
15.3.1 一般极值问题 88
15.3.2 条件极值问题 95
*15.3.3 最小二乘法 106
第16章 含参变量的积分 109
16.1 含参变量的定积分 109
16.2 含参变量的反常积分 117
16.2.1 一致收敛的概念及其判别法 117
16.2.2 含参变量的无穷积分的性质 120
16.3 含参变量的积分计算举例 127
16.4 Euler积分——B函数与Γ函数 133
第17章 重积分 141
17.1 重积分的定义 141
17.1.1 曲顶柱体的体积 141
17.1.2 平面点集的面积 142
17.1.3 重积分的定义 145
17.2 重积分的存在性及其性质 146
17.2.1 函数可积的充分必要条件 146
17.2.2 可积函数类 150
17.2.3 可积函数和的性质 151
17.3 化重积分为累次积分 154
17.3.1 化二重积分为累次(定)积分的公式 154
17.3.2 公式的应用举例 156
17.3.3 化三重积分为累次积分 162
17.4 重积分的变量替换 166
17.4.1 二重积分的变量替换公式 166
17.4.2 公式的应用举例 170
17.4.3 三重积分的变量替换公式，例 176
17.5 n重积分简介 184
17.6 反常重积分 189
第18章 曲线积分与曲面积分 203
18.1 第一型曲线积分 203
18.1.1 第一型曲线积分的定义及其存在性 203
18.1.2 计算公式 205
18.2 第二型曲线积分 208
18.2.1 第二型曲线积分的定义及其存在性 208
18.2.2 计算公式 210
18.2.3 两种类型曲线积分之间的联系 213
18.3 曲面面积 217
18.3.1 由显方程表示的曲面 217
18.3.2 由参数方程表示的曲面 219
*18.3.3 连续曲面的面积 222
18.4 第一型曲面积分 223
18.4.1 第一型曲面积分的定义及其计算 223
18.4.2 例与物理应用 225
18.5 曲面的侧 229
18.6 第二型曲面积分 233
18.6.1 第二型曲面积分的定义 233
18.6.2 计算公式 234
18.6.3 例与应用 236
后记 239
第19章 各种积分之间的联系、场论初步 241
19.1 Green公式 241
19.1.1 Green公式 241
19.1.2 例、调和函数 244
19.2 Gauss公式 250
19.2.1 Gauss公式 250
19.2.2 例与物理应用 252
19.3 Stokes公式257
*19.4 Brouwer不动点定理 261
19.5 曲线积分与路径无关性 264
*19.6 场论初步 273
19.6.1 数量场与向量场 273
19.6.2 数量场的梯度 273
19.6.3 向量场的流量与散度 274
19.6.4 向量场的环量与旋度 276
19.6.5 保守场与势函数 278
*19.7 场论的应用 279
19.7.1 在流体力学中的应用 279
19.7.2 在电磁场中的应用 281
19.7.3 Maxwell方程组 285