本书从七个方面介绍了计算机程序的数学基础和原理，并以“同构”概念为线索揭示出编程本质上是和数学同构的。这七个方面分别是：数字、递归、对称、范畴、融合、无穷、悖论。第1章“数字”介绍皮亚诺算术公理系统。通过5条公理，构筑了计算机程序大厦的基石。通过单向链表，斐波那契数列等例子，展示了和自然数同构的计算结构。第2章介绍递归。通过欧几里得算法作为开端，把递归的数学原理构建在Lambda演算和Y组合子之上。第3章通过对称介绍群、环、域等抽象代数结构，并解释伽罗瓦理论这一抽象思维的明珠。第4章介绍范畴论。把列表、异常、多态、类型系统、复合数据结构等众多编程概念构筑在范畴论的基础上。第5章介绍融合律。它是进行算法推导和优化的有力工具。第6章介绍无穷。给出了康托尔的无穷集合论和超限数概念，介绍了编程中流的概念和无穷的关系。第7章以罗素悖论、可计算性和哥德尔不完全性定理结束本书。介绍了计算能力的边界和对编程基础哲学的影响。

第1章数字1<br />1.1数的诞生1<br />1.2皮亚诺自然数公理2<br />1.3自然数和计算机程序4<br />1.4自然数的结构6<br />1.5自然数的同构10<br />1.6形式与结构14<br />第2章递归16<br />2.1万物皆数16<br />2.2欧几里得算法18<br />2.2.1欧几里得和《几何<br />原本》19<br />2.2.2欧几里得算法概述19<br />2.2.3扩展欧几里得算法22<br />2.2.4欧几里得算法的意义26<br />2.3λ演算28<br />2.3.1表达式化简30<br />2.3.2λ抽象31<br />2.3.3λ变换规则31<br />2.4递归的定义35<br />2.5λ演算的意义36<br />2.6更多的递归结构38<br />2.7递归的形式与结构39<br />2.8附录：倒水趣题完整程序42<br />第3章对称43<br />3.1什么是对称43<br />3.2群46<br />3.2.1群的定义50<br />3.2.2幺半群与半群52<br />3.2.3群的性质55<br />3.2.4置换群58<br />3.2.5群与对称61<br />3.2.6旋转对称与循环群62<br />3.2.7分圆方程65<br />3.2.8子群66<br />3.2.9拉格朗日定理72<br />3.3环与域82<br />3.3.1环的定义84<br />3.3.2
除环和域86<br />3.4伽罗瓦理论87<br />3.4.1扩域87<br />3.4.2从牛顿、拉格朗日到伽<br />罗瓦89<br />3.4.3自同构和伽罗瓦群95<br />3.4.4伽罗瓦基本定理96<br />3.4.5可解性98<br />3.5附录：伽罗瓦群 100<br />第4章范畴102<br />4.1范畴概述104<br />4.1.1范畴的例子106<br />4.1.2箭头≠函数110<br />4.2函子111<br />4.2.1函子的定义111<br />4.2.2函子的例子112<br />4.3积与和118<br />4.3.1积与和的定义120<br />4.3.2积与和的性质122<br />4.3.3积与和作为函子123<br />4.4自然变换126<br />4.4.1自然变换的例子127<br />4.4.2自然同构130<br />4.5数据类型131<br />4.5.1起始对象和终止对象131<br />4.5.2幂136<br />4.5.3笛卡儿闭和对象算术140<br />4.5.4多项式函子142<br />4.5.5F-代数143<br />4.6小结156<br />4.7扩展阅读158<br />4.8附录：例子代码158<br />第5章融合160<br />5.1叠加-构建的融合161<br />5.1.1列表的叠加操作162<br />5.1.2叠加-构建融合律163<br />5.1.3列表的构建形式164&lt
;br />5.1.4使用融合律化简165<br />5.1.5类型限制167<br />5.1.6用范畴论推导融合律168<br />5.2巧算100171<br />5.2.1穷举法171<br />5.2.2改进173<br />5.3小结和扩展阅读175<br />5.4附录：巧算100问题的代码175<br />第6章无穷177<br />6.1无穷概念的提出179<br />6.1.1无穷的哲学181<br />6.1.2穷竭法与微积分183<br />6.2潜无穷与编程186<br />6.3实无穷的思考191<br />6.3.1无穷王国的花园192<br />6.3.2一一对应与无穷集合194<br />6.3.3可数无穷与不可数无穷200<br />6.3.4戴德金分割203<br />6.3.5超限数和连续统假设205<br />6.4无穷与艺术209<br />6.5附录：例子代码214<br />6.6附录：康托尔定理的证明215<br />6.7附录：巴赫《音乐的奉献》<br />无限上升的卡农216<br />第7章悖论218<br />7.1计算的边界221<br />7.2罗素悖论222<br />7.3数学基础的分歧225<br />7.3.1逻辑主义225<br />7.3.2直觉主义227<br />7.3.3形式主义229<br />7.3.4公理集合论230<br />7.4哥德尔不完全性定理232<br />7.5不完全性定理的证明234<br />7.5.1构建形式系统234<b
r />7.5.2哥德尔配数237<br />7.5.3构造自我指涉238<br />7.6万能的程序与对角线证明239<br />7.7尾声240<br />附录241<br />加法交换律的证明241<br />积与和的唯一性242<br />集合的笛卡儿积和不相交并集构成积<br />与和的证明243&lt