本书是作者多年来在大学生数学竞赛辅导和考研辅导经验的基础上编写而成的．全书共分为13 章，每章包括4 个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练以及深化训练详解．本书编写的目的主要有两个：一是帮助工科类、经管类本科生备考全国大学生数学竞赛，使学生能够在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，提升学生综合分析问题、解决问题的能力；二是为了满足工科类、经管类本科生考研的需要. 在例题和习题选编方面，精选了部分有代表性的数学竞赛真题和考研真题，同时注重例题、习题的创新，按题型分类进行合理编排，使学生能够尽快地适应考研题型，从容应对考试.本书既可以作为普通高等院校工科类、经管类本科生参加全国大学生数学竞赛的辅导用书，也可以作为工科类、经管类本科生考研深化训练用书．

刘强，博士，教授，博士生导师，现任首都经济贸易大学统计学院副院长，兼任全国工业统计学教学研究会常务理事及常务副秘书长，北京应用统计学会常务理事，中国商业经济学会经济数学研究分会常务理事，北京大数据协会理事等；先后入选北京市中青年骨干人才，北京市很好人才，北京市中青年拔尖人才等。长期从事高等教育教学、考研数学、数学竞赛、经济数据分析、复杂数据分析等方面的教学、科研工作。

目 录

章 函数\t1
1.1 知识要点\t1
1.1.1 函数\t1
1.1.2 常用不等式\t1
1.1.3 反函数\t2
1.1.4 复合函数\t2
1.1.5 关于函数表达式的求解\t2
1.1.6 一些常用的三角公式\t2
1.1.7 一些常用的代数公式\t3
1.2 典型例题分析\t4
1.2.1 题型一、函数表达式的求解与证明\t4
1.2.2 题型二、复合函数问题\t6
1.2.3 题型三、函数的四种几何特性\t7
1.3 深化训练\t9
1.4 深化训练详解\t10
第2章 极限与连续\t12
2.1 知识要点\t12
2.1.1 极限的概念与性质\t12
2.1.2 无穷小量与无穷大量\t13
2.1.3 四个极限存在准则与两个重要极限\t14
2.1.4 几个重要的结论\t15
2.1.5 施笃兹（O.Stolz）定理\t15
2.1.6 柯西（Cauchy）定理\t15
2.1.7 关于函数的连续性\t16
2.1.8 求极限的常用方法\t16
2.2 典型例题分析\t16
2.2.1 题型一、利用极限的分析定义求极限\t16
2.2.2 题型二、利用初等变换方法求极限\t18
2.2.3 题型三、利用四个极限存在准则求极限\t19
2.2.4 题型四、利用施笃兹定理求极限\t22
2.2.5 题型五、利用两个重要极限求极限\t23
2.2.6 题型六、利用等价无穷小量替换求极限\t24
2.2.7 题型七、利用中值定理求极限\t25
2.2.8 题型八、利用定积分的定义求极限\t28
2.2.9 题型九、函数的连续性问题\t29
2.2.10 题型十、连续函数的等式证明问题\t32
2.3 深化训练\t33
2.4 深化训练详解\t36
第3章 导数与微分\t44
3.1 知识要点\t44
3.1.1 导数的概念\t44
3.1.2 导数的几何意义\t44
3.1.3 高阶导数\t45
3.1.4 复合函数的求导法则\t45
3.1.5 反函数求导法则\t45
*3.1.6 参数方程所确定的函数的导数\t46
3.1.7 几个重要的结论\t46
3.1.8 达布（Darboux）定理\t46
3.2 典型例题分析\t46
3.2.1 题型一、导数的定义问题\t46
3.2.2 题型二、反函数、复合函数求导问题\t48
3.2.3 题型三、导数的几何意义\t49
3.2.4 题型四、利用导数的定义求极限\t50
3.2.5 题型五、分段函数的导数问题\t51
3.2.6 题型六、高阶导数问题\t51
3.2.7 题型七、隐函数的求导问题\t54
3.2.8 题型八、导数的等式证明问题\t54
3.2.9 题型九、导函数的连续性问题\t55
*3.2.10 题型十、导数的参数方程问题\t56
3.2.11 题型十一、导数的综合问题\t57
3.3 深化训练\t58
3.4 深化训练详解\t60
第4章 微分中值定理\t64
4.1 知识要点\t64
4.1.1 中值定理\t64
4.1.2 一些常用的麦克劳林公式\t65
4.1.3 一些常用的结论或公式\t66
4.2 典型例题分析\t66
4.2.1 题型一、利用中值定理证明等式问题\t66
4.2.2 题型二、利用中值定理证明不等式问题\t69
4.2.3 题型三、利用中值定理证明恒等式\t73
4.2.4 题型四、函数的零点、方程的根的问题\t74
4.2.5 题型五、利用泰勒公式求极限\t75
4.2.6 题型六、利用泰勒公式证明等式\t80
4.2.7 题型七、利用泰勒公式证明不等式\t80
4.2.8 题型八、泰勒公式的其他应用\t82
4.3 深化训练\t82
4.4 深化训练详解\t84
第5章 导数的应用\t89
5.1 知识要点\t89
5.1.1 洛必达法则\t89
5.1.2 函数的单调性\t89
5.1.3 函数的极值与最值\t89
5.1.4 曲线的凹凸区间与拐点\t89
5.1.5 曲线的渐近线\t90
5.1.6 函数图形的描绘\t90
*5.1.7 曲率、曲率圆与曲率半径\t90
5.2 典型例题分析\t91
5.2.1 题型一、洛必达法则的应用\t91
5.2.2 题型二、利用单调性或极值证明不等式\t94
5.2.3 题型三、函数的极值问题\t96
5.2.4 题型四、函数的零点、方程的根的问题\t99
5.2.5 题型五、凹凸性问题\t100
5.2.6 题型六、渐近线问题\t100
5.2.7 题型七、函数图形的描绘\t102
5.2.8 题型八、方程的近似解\t102
*5.2.9 题型九、曲率问题\t103
5.3 深化训练\t104
5.4 深化训练详解\t105
第6章 不定积分\t113
6.1 知识要点\t113
6.1.1 不定积分的定义与性质\t113
6.1.2 换元积分法\t113
6.1.3 分部积分法\t114
6.1.4 有理函数的积分法\t114
6.1.5 三角函数有理式的积分法\t114
6.1.6 简单无理函数的积分法\t115
6.1.7 常用积分公式表\t115
6.2 典型例题分析\t116
6.2.1 题型一、利用换元法、分部积分法求解不定积分\t116
6.2.2 题型二、利用等式求解不定积分\t120
6.2.3 题型三、利用三角替换方法求解不定积分\t121
6.2.4 题型四、求解三角有理函数的不定积分\t123
6.2.5 题型五、递推公式问题\t124
6.2.6 题型六、分段函数问题\t125
6.2.7 题型七、隐函数的积分\t126
6.3 深化训练\t126
6.4 深化训练详解\t128
第7章 定积分\t134
7.1 知识要点\t134
7.1.1 定积分的概念\t134
7.1.2 定积分的基本性质\t135
7.1.3 积分中值定理\t135
7.1.4 变上限积分函数\t136
7.1.5 定积分的计算\t136
7.1.6 反常积分（或广义积分）\t136
7.1.7 函数\t137
7.1.8 定积分的应用\t137
7.1.9 几个重要的结论\t139
7.2 典型例题分析\t140
7.2.1 题型一、定积分的求解\t140
7.2.2 题型二、 变限积分问题\t141
7.2.3 题型三、积分不等式问题\t142
7.2.4 题型四、积分等式问题\t146
7.2.5 题型五、反常积分问题\t148
7.2.6 题型六、积分的应用问题\t149
7.2.7 题型七、定积分的其他问题\t153
7.3 深化训练\t156
7.4 深化训练详解\t158
第8章 多元函数微分学\t166
8.1 知识要点\t166
8.1.1 二元函数的极限与连续性\t166
8.1.2 偏导数\t166
8.1.3 高阶偏导数\t167
8.1.4 全微分\t168
*8.1.5 方向导数与梯度\t168
8.1.6 多元复合函数微分法\t169
8.1.7 隐函数微分法\t169
8.1.8 多元函数的极值\t169
8.1.9 条件极值与拉格朗日乘数法\t170
8.1.10 多元函数的最值\t170
8.2 典型例题分析\t170
8.2.1 题型一、多元函数的极限与连续问题\t170
8.2.2 题型二、偏导数的概念问题\t172
8.2.3 题型三、多元函数的全微分问题\t174
*8.2.4 题型四、多元函数的方向导数和梯度的求解\t176
8.2.5 题型五、多元函数的复合求导与隐函数求导问题\t177
8.2.6 题型六、多元函数的极值和最值问题\t183
8.2.7 题型七、多元函数微分学的综合问题\t185
8.3 深化训练\t187
8.4 深化训练详解\t189
第9章 多元函数积分学\t192
9.1 知识要点\t192
9.1.1 二重积分的概念\t192
9.1.2 二重积分的性质\t192
9.1.3 直角坐标系下二重积分的计算\t193
9.1.4 极坐标系下二重积分的计算\t193
9.1.5 二重积分的对称性原理\t194
*9.1.6 二重积分的换元公式\t194
*9.1.7 三重积分的概念\t195
*9.1.8 三重积分的计算\t195
*9.1.9 三重积分的换元法\t196
*9.1.10 三重积分的对称性原理\t196
9.2 典型例题分析\t197
9.2.1 题型一、二重积分的概念与性质问题\t197
9.2.2 题型二、二重积分的基本计算方法\t198
9.2.3 题型三、分段函数的二重积分\t200
9.2.4 题型四、利用对称性原理计算二重积分\t201
9.2.5 题型五、二重积分的换元积分法\t205
9.2.6 题型六、二重积分的应用问题\t206
9.2.7 题型七、二重积分的相关证明\t207
9.2.8 题型七、二重积分的综合问题\t209
*9.2.9 题型八、三重积分的性质与计算\t214
9.3 深化训练\t218
9.4 深化训练详解\t220
0章 常微分方程\t224
10.1 知识要点\t224
10.1.1 微分方程的基本概念\t224
10.1.2 一阶微分方程的解法\t224
10.1.3 可降阶的二阶微分方程\t225
10.1.4 二阶线性微分方程解的结构\t226
10.1.5 二阶常系数线性微分方程的解法\t226
*10.1.6 高阶线性微分方程\t227
*10.1.7 欧拉方程\t227
10.2 典型例题分析\t228
10.2.1 题型一、可分离变量微分方程与齐次微分方程的求解\t228
10.2.2 题型二、一阶线性微分方程与伯努利方程的解法\t229
10.2.3 题型三、全微分方程的解法\t231
10.2.4 题型四、可降阶的二阶微分方程的解法\t232
10.2.5 题型五、二阶线性微分方程解的结构\t233
10.2.6 题型六、二阶常系数线性微分方程的解法\t234
10.2.7 题型七、微分方程的综合问题\t237
*10.2.8 题型八、微分方程建模问题\t242
10.3 深化训练\t245
10.4 深化训练详解\t247
1章 无穷级数\t252
11.1 知识要点\t252
11.1.1 数项级数的定义与性质\t252
11.1.2 级数敛散性的判别\t253
11.1.3 三个重要的级数\t254
11.1.4 函数项级数的概念\t254
11.1.5 幂级数的有关概念\t255
11.1.6 幂级数的和函数的性质\t255
11.1.7 初等函数展开成x?x0的幂级数\t256
*11.1.8 函数项级数的一致收敛性及性质\t256
*11.1.9 傅里叶级数\t257
11.2 典型例题分析\t259
11.2.1 题型一、正项级数敛散性的判定\t259
11.2.2 题型二、任意项级数敛散性的判定\t265
11.2.3 题型三、函数项级数收敛域的求解\t268
11.2.4 题型四、级数收敛充要条件的应用\t269
11.2.5 题型五、求解数项级数的和\t273
11.2.6 题型六、幂级数收敛半径及收敛域的求解\t276
11.2.7 题型七、求解幂级数的和函数\t278
11.2.8 题型八、函数的幂级数展开\t283
*11.2.9 题型九、傅里叶级数的相关问题\t286
11.2.10 题型十、无穷级数的应用问题\t287
11.3 深化训练\t288
11.4 深化训练详解\t291
*2章 空间解析几何与向量代数\t302
12.1 知识要点\t302
12.1.1 向量的概念及线性运算\t302
12.1.2 平面方程及其相关概念\t303
12.1.3 直线及其表示\t303
12.1.4 曲面及其表示\t304
12.1.5 空间曲线\t304
12.2 典型例题分析\t305
12.2.1 题型一、向量的运算问题\t305
12.2.2 题型二、空间直线、平面方程的求解\t305
12.2.3 题型三、讨论直线与平面的位置关系\t307
12.2.4 题型四、旋转曲面方程的求解\t308
12.2.5 题型五、空间曲线、曲面问题\t309
12.3 深化训练\t310
12.4 深化训练详解\t311
*3章 曲线积分与曲面积分\t313
13.1 知识要点\t313
13.1.1 类曲线积分的概念及计算\t313
13.1.2 第二类曲线积分的概念及计算\t314
13.1.3 格林公式及其应用\t315
13.1.4 类曲面积分的概念与计算\t315
13.1.5 第二类曲面积分的概念与计算\t316
13.1.6 高斯公式与斯托克斯公式\t318
13.2 典型例题分析\t319
13.2.1 题型一、类曲线积分的求解\t319
13.2.2 题型二、第二类曲线积分的求解\t319
13.2.3 题型三、格林公式的应用\t322
13.2.4 题型四、类曲面积分的求解\t328
13.2.5 题型五、第二类曲面积分 的求解\t332
13.2.6 题型六、高斯公式的应用\t332
13.2.7 题型七、斯托克斯公式的应用\t335
13.2.8 题型八、曲线、曲面积分的实际应用\t336
13.3 深化训练\t338
13.4 深化训练详解\t340
第二十四届北京市大学生数学竞赛试题
（经济管理类）\t348
第二十五届北京市大学生数学竞赛试题
（经济管理类）\t350
第五届全国大学生数学竞赛预赛试题
（非数学类）\t352
第六届全国大学生数学竞赛预赛试题
（非数学类）\t353
第二十四届北京市大学生数学竞赛试题
（经济管理类）解答\t354
第二十五届北京市大学生数学竞赛试题
（经济管理类）解答\t358
第五届全国大学生数学竞赛预赛试题
（非数学类）解答\t363
第六届全国大学生数学竞赛预赛试题
（非数学类）解答\t368
参考文献\t372