第1节 数学与音乐的关系
数学和音乐位于人类精神的两个极端，一个人全部创造性的精神活动就在这两个对立点的范围之内展开，而人类在科学和艺术领域中所创造出来的一切都分布在这两者之间，音乐和数学正是抽象王国中盛开的瑰丽之花，它们的美交相辉映。
若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起。在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中。今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断地延伸。
孔子说的六艺“礼、乐、射、御、书、数”，其中“乐”指音乐，“数”指数学。即当时孔子就已经把音乐与数学并列在一起。我国的七弦琴(即古琴)取弦长1，7／8，5／6，4／5，3／4，2／3，3／5，1／2，2／5，1／3，1／4，1／5，1／6，1／8得所谓的13个徵位，含纯率的1度至22度，声音非常自然，是很理想的弦乐器。我国著名古琴家查阜西早就指出，要学好古琴，必须对数学有一定素养。
世界著名的波兰作曲家和钢琴家肖邦很注意乐谱的数学规则、形式和结构，有位研究肖邦的专家称肖邦的乐谱“具有乐谱语言的数学特征”。
1.数学对音乐的影响
乐谱书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域(见图1)。在乐谱上，我们可看到速度、节拍(4／4拍、3／4拍等)、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等。书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应。作曲家创作的音乐在书写的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体。如果对一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数。
2.音乐——数学的另一种表达形式
19世纪数学家约翰-傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点。他证明所有乐声(器乐和声乐)都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和。每一个声音有3个性质，即音高、音量和音质，将某一乐声与其他乐声区别开来。
傅里叶发现声音的这3个性质可以在图形上清楚地表示出来。音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关。你是否曾对大型钢琴为何制作成那种形状表示过疑惑？实际上许多乐器的形状和结构都与各种数学概念有关。指数函数和指数曲线就是这样的概念。指数曲线由具有y=ax形式的方程描述，式中a>0。一个例子是y=2x，它的坐标图如图2所示。
如果不了解音乐的数学特性，在创作音乐和设计乐器方面就不可能有所进展。数学(具体地说即是周期函数)在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的。不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状，许多乐器制造者都把其产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较。如图3中音排笙乐器的形状特别优美，图4所示的大号外形就如同一条指数曲线。
电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关。音乐家和数学家将继续在音乐的产生和复制方面发挥同等重要的作用。图5表示一根弦的分段振动和整体振动，最长的振动决定音高，较小的振动则产生泛音。
音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学是客观事物高度抽象化和逻辑思维的产物，那么“多情”的音乐与“冷酷”的数学也有关系吗？我们的回答是肯定的，甚至可以说音乐与数学是相互渗透、互相促进的。
数学与音乐之间有着某些相似之处，在评判一个音乐家的表演水平以前，首先要确认一个起码的前提：他的音是准的，但仅仅是音准并不能使他成为一个音乐家。就像是对一位历史学家的著作只评判说他没有说瞎话，也是不得要领的。
《春江花月夜》和肖邦小夜曲的旋律并不是先天存在于自然界中的，在大自然中，你绝不会听到类似于人造的、令人着迷的音乐，因为它是你的心声。在数学里，”维空间、无限空间等人造的世界，甚至“2”、“直线”、“平面”也都是人类精神最抽象的产物。
1952年12月在武汉召开的全国聂耳、冼星海作品研讨会上，武汉音乐学院院长曾宣读了一篇引人注目的论文《论<义勇军进行曲>的数列结构》，该文整个建立在数学基础上，从而提出了一种突破传统式结构理论的观点，论文的新颖观点在当时不仅引起轰动，而且引发了音乐工作者的思考，他们都认为数学和音乐之间可能有某种深奥的内在联系。
3.数学与音乐的关系
从希腊时代开始，数学和音乐就紧密相连，到今天，自动作曲软件从数学应用中获得长足进步。令人惊异的是，我们可以运用数学知识来解释音乐的许多规则(其中包括音乐基本元素——乐音)，但许多东西还是无法用数学来解释。不过不必为此沮丧，因为本质上说艺术行为不一定要服从科学道理。
那么数学和音乐有联系吗？表面看，音乐与数学似乎“绝缘”，其实不然。数学与音乐究竟有什么联系呢？为了回答这个问题，我们先介绍一下有趣的“音乐数”。
众所周知，弹三弦或拉二胡时手指要在琴弦上有规律地上下移动，才能演奏出美妙的音乐。假如手指胡乱移动，便弹不成曲调了。那么，手指在琴弦上的移动对发声有什么作用呢？原来声音是否悦耳动听与琴弦的长短有关。长度不同，发出的声音也不同。手指上下移动，不断地改变琴弦的长度，发出的声音便高低起伏、抑扬顿挫。如果是3根弦同时发音，只有当它们的长度比是3：4：6时，发出的声音才最和谐、最优美，于是人们便于人们便把3，4，6称为“音乐数”。最早揭开音乐与数学之间关联这一神秘面纱的，当数2 500年前古希腊著名数学家毕达哥拉斯。
4.数学与音乐都是美的象征
罗素这位数学思想大师就曾毫不掩饰地说过：“数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。”
数学来源于实践，又经过抽象提炼，因此随着数学的产生，美感的一般表现形式——自然美、艺术美就存在于数学之中：直线的刚劲平稳、曲线的柔和光滑，无不充满大自然的诗情画意；而符号的简明、公式的流畅、推理的精炼…使数学和音乐一样充满艺术魅力。数学的美包括简洁美、对称美、统一美、奇异美等，数学的美是具体、形象和生动的。我们不仅要有一双善于捕捉美的眼睛，而且要有一颗感受美的心灵以及追求美的愿望。
数学美与数学知识相比，前者呈“隐性”，后者呈“显性”。但是，很多知识的有效性是短暂的，而美的思想的有效性却是长期的，能使人受益终生；知识存在的形态是呆板的，而美的存在形态是活泼的，能使人的心灵受到召唤。数学发展的历史还表明，数学发现往往起因于思维的乐趣或数学美的召唤。正如法国大数学家彭加勒指出：“能够作出数学发现的人是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。”
因此，就数学教学而言，“知识诚可贵，思想价更高，若为创造故，求美不可抛”。 5.音乐和数学都培养真善美
有人认为，数学属于逻辑思维，音乐是形象思维，它们是两种完全不同的思维方式，绝不能放在一起“说三道四”。这无疑是一种偏见。数学与音乐不仅仅“形似”，而且“神似”。我们知道，有文字的艺术可以骗人，但没有文字的音乐却不能骗人，它是人类心灵深处灵魂的表白和倾诉，没有半点矫揉造作，没有虚伪和掩饰。而数学以它的逻辑严谨和确切无误的推理书写着自己的真实和忠诚，它是如此深刻而又踏实地反映出大自然的规律和法则，在宇宙中垒建起一座令人肃然起敬的科学大厦，美轮美奂而又“遵纪守法”，不会有半点的瑕疵和谬误，这种对真理性的追求堪称各门学科的楷模。
音乐之所以能打动人，是在于它美。当你人在天涯，家乡遥远，夜半时分，万籁俱寂的时候，当马思聪的《思乡曲》或者德沃夏克《新大陆》第二乐章中的慢板飘然而至的时候，那美得令人颤抖的旋律仿佛在轻抚着远离家乡的游子的心灵。人们所感受到的一定是浓郁的乡愁，一种“天阶夜色凉如水，卧看牵牛织女星”的童年的回忆，它是那样的牵扯心魂，拂拭不去，又是那样的含温带热，可触可摸，是一种“无奈归心，暗随流水到天涯”的对家乡刻骨铭心的依恋。音乐，它竟然美得如此温柔，如此热烈，如此浪漫，美得使人遐想联翩。
数字也是动人的。哪怕一个简单的公式，就是几个符号与数学的简单组合，它就美得那么朴实而不张扬，没有故弄玄虚，一切都显得那么平实自然，那么统一，那么生动，那么和谐，就像一幅出色的风景画，哪怕添多一株小草也会破坏画面的协调～样，它给我们带来的同样是一种美的冲击和智力享受的乐趣。数学，它美得深沉，美得冷峻，美得简洁，美得使人毋庸置疑。
数学与音乐其实就是天作之合。它们是人类文明智慧的结晶，是对宇宙万物的和谐与自然的礼赞，是人性中真善美的皈依；它们是人世间一切美好事物中流淌出来的华彩，是人类心灵中那种欲说还休的情感的流露。数学与音乐那种“剪不断，理还乱”的纠缠常常又使我们感动不已，音乐中那绕梁三日的泛音，只有数学能给它以理性的解释，数学中的“黄金分割”又在音乐中找到了广泛的应用；数学与音乐中美的来源几乎都是对称和简洁。我们似乎很难分清什么是数学，什么是音乐了，但数学与音乐给予我们的恰恰就是人类最美好的情感，最真实的语言，最善良的人性，最崇高的道德情操和对真善美锲而不舍的追求！
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