本书是现代数学基础丛书之一，论述了椭圆与超椭圆曲线公钥密码学的基本理论及实现，并针对这一重要的数学领域与研究方向，作较系统的介绍。既注意该领域的基础知识，又反映其新发展，力求深入浅出，简明扼要，注重创新。可作为信息安全、数论及相关专业的研究人员、高等学校的教师和高年级学生的参考书，其部分内容也可做为信息安全、数论等专业的研究生的教材使用。

本书论述了椭圆与超椭圆曲线公钥密码学的基本理论及实现，其中包括：椭圆曲线公钥密码体制介绍，椭圆和超椭圆曲线的基本理论，定义在有限域上椭圆和超椭圆曲线的有理点的计数，椭圆和超椭圆曲线上的离散对数，椭圆和超椭圆曲线离散对数的初等攻击方法、指标攻击方法、代数几何攻击方法及代数数论攻击方法。本书的特点之一，内容涉及面广，在有限的篇幅内，包含了必要的预备知识和较完备的数学证明，尽可能形成一个完整的体系；特点之二，用较为系统和统一的方法总结了大部分有限域上椭圆和超椭圆曲线有理点的有效计数方法；特点之三，用系统的数学方法讲述了椭圆和超椭圆曲线离散对数攻击的主要有效方法；特点之四，我们总是从算法数论的角度进行论述，对每个重要的理论结果，总是尽可能给出其可编程的实际算法。本书的部分较初等的内容曾多次在中国科学院研究生院信息安全重点实验室及广州大学和湖南大学作为研究生教材使用。

本书可作为信息安全、数论及相关专业的研究人员、高等学校的教师和高年级学生的参考书，其部分内容也可做为信息安全、数论等专业的研究生的教材使用。

第一部分 椭圆曲线密码体制

第一章 椭圆曲线密码体制

§1.1有限域上的椭圆曲线

§1.2椭圆曲线公钥密码体制

§1.3基于双线性对的密码方案

第二部分 提升到整体域上的点数计算算法

第二章 复数域上的椭圆曲线

§2.1 Weierstrass函数和椭圆曲线

§2.2椭圆曲线的同构

§2.3 同种椭圆曲线

§2.4除子多项式

§2.5模多项式

第三章 一般域上的椭圆曲线

§3.1椭圆曲线的群结构

§3.2除子类群

§3.3同种映射

§3.4 Tate模和Weil对

§3.5有限域上的椭圆曲线

§3.6 p挠元点和自同态环

第四章 复乘理论与算法

§4.1椭圆曲线的复乘理论

§4.2利用复乘生成椭圆曲线

§4.3算法综述

第五章 椭圆曲线的SEA算法

§5.1算法的概述

§5.2等价模多项式

§5.3计算同种曲线

§5.4：计算除子多项式的因子

§5.5 Atkin算法

§5.6计算tmodln

§5.7算法汇总

第三部分 提升到局部域上的点数计算算法

第六章 p-adie数

§6.1p-adic数的引入

§6.2赋值

§6.3完备化

§6.4 Hensel引理

第七章 椭圆曲线的形式群

§7.1在无穷远点展开

§7.2形式群

第八章 局部域上的椭圆曲线

§8.1极小Weierstrass方程

§8.2约化映射及其性质

§8.3有限阶点

§8.4：坐标赋值有限的点集

第九章 Satoh方法的理论基础

§9.1引论

§9.2多项式的因子的提升

§9.3典范提升的构造

§9.4应用到点数的计算

第十章 Satoh的算法及其实现

§10.1局部域及其上一些算法的实现

§10.2 Frobenius同态及典范提升

§10.3提升的算法

§10.4计算迹

第十一章 Mestre的AGM算法

§11.1典范提升的j不变量的计算

§11.2计算Frobenius映射的迹

§11.3范数的快速算法

§11.4改进的AGM算法

§11.5改进的Satoh算法

第十二章 Harley算法

§12.1广义牛顿算法

§12.2提升域多项式与Harley算法

第十三章 Kedlaya算法

§13.1 de R=ham复形与上同调

§13.2上同调空间的基

§13.3 Frobenius提升

§13.4算法综述

§13.5推广到Superelliptic曲线

第十四章 IF2上超椭圆曲线的Kedlaya算法

§14.1 F2上超椭圆曲线的上同调

§14.2算法综述

第四部分 椭圆曲线密码体制的攻击方法

第十五章 椭圆曲线离散对数的初等攻击

§15.1椭圆曲线公钥密码

§15.2小步一大步法

§15.3家袋鼠和野袋鼠

§15.4 MOV约化

§15.5 FIt，约化

§15.6 SSSA约化

§15.7有限域上离散对数的计算

第十六章 超椭圆曲线离散对数的指标计算法

§16.1超椭圆曲线的.Jacobian

§16.2虚2次代数函数域

§16.3小亏格超椭圆曲线离散对数的指标计算方法

§16.4大亏格超椭圆曲线离散对数的指标计算方法

第十七章 椭圆曲线离散对数的代数几何攻击方法

§17.1Weil下降与Weil攻击

§17.2特征2的GHS攻击

§17.3奇特征的GHS攻击

§17.4 Weil限制与低次扩域上的椭圆曲线离散对数攻击

第十八章 离散对数的代数数论攻击方法

§18.1Brauer群和Galois上同调

§18.2 Brauer群及有限域中的离散对数问题-

§18.3不变量映射的局部计算

§18.4不变量映射的整体计算

§18.5数域筛法

§18.6函数域筛法

§18.7(超)椭圆曲线离散对数，Tate对和Brauer群

第五部分 椭圆曲线密码体制的实现

第十九章 椭圆曲线的倍点计算

§19.1基域和曲线的选择

§19.2椭圆曲线上点的表示和运算

§19.3椭圆曲线的倍点运算

§19.4 Frobenius展开

参考文献

索引