本书是以高等院校高等数学本科课程教学大纲为依据，以高等数学中的重难点概念、性质分析为基础，以启发学生创新、创造思维为任务,以开阔学生视野，丰富学生的知识结构，培养学生的科学精神为目的编写而成。本书着眼素质教育，注重数学内容、思维之间的内在联系，条理、结构、脉络清晰，注重培养学生数学思维能力，加强课程思政。在教材内容选取和讲述上，本着从简单到复杂、从特殊到一般的原则，力求深入浅出，难易结合，易教易学。本书分上、下两册，共十二章。上册七章，主要内容包括：函数、函数的极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程。下册五章，主要内容包括：空间解析几何与向量代数、多元函数微分学及其应用、重积分、曲线和曲面积分、无穷级数。本书可供普通高等院校理工类、经管类等各专业学生作为教材使用，也可供学生自学使用。

前言
第1章 函数 1
1.1 函数 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 函数的概念 3
1.1.3 具有某种特征的函数 5
习题1-1 7
1.2 初等函数 8
1.2.1 复合酿 8
1.2.2 反函数 9
1.2.3 基本初等函数 10
1.2.4 初等函数 13
习题1-2 14
复习题1 14
附录一 一些常用初等代数公式及结论 15
附录二 一些常用的曲线及其方程 18
课外阅读(一) 25
第2章 函数的极限 27
2.1 数列的极限 27
2.1.1 数列极限的定义 27
2.1.2 单调有界原理 30
2.1.3 数列极限的性质 32
习题2-1 34
2.2 函数的极限 35
2.2.1 当x→∞时，函数f(x)的极限 34
2.2.2 当x→x0时，函数f(x)的极限 37
2.2.3 左极限和右极限 39
习题2-2 40
2.3 函数极限的性质和运算 40
2.3.1 函数极限的性质 40
2.3.2 函数极限的四则运算 42
2.3.3 复合函数的极限 44
习题2-3 44
2.4 两个重要极限 45
习题2-4 51
2.5 无穷小与无穷大 52
2.5.1 无穷小 52
2.5.2 无穷大 53
2.5.3 无穷小与无穷大的关系 54
2.5.4 无穷小的比较 54
习题2-5 57
2.6 连续函数 58
2.6.1 连续函数的概念 58
2.6.2 函数的间断点 60
2.6.3 初等函数的连续性 61
2.6.4 闭区间上连续函数的性质 63
习题2-6 65
复习题2 67
课外阅读(二) 69
第3章 导数与微分 72
3.1 导数的概念 72
3.1.1 导数的引入 72
3.1.2 导数的概念 73
3.1.3 导数的几何意义 77
3.1.4 可导与连续的关系 78
习题3-1 80
3.2 求导法则与导数公式 81
3.2.1 函数四则运算的求导法则 81
3.2.2 反函数的求导法则 83
3.2.3 复合函数的求导法则 85
3.2.4 初等函数的导数 87
3.2.5 再论两个重要极限 87
习题3-2 89
3.3 高阶导数 90
习题3-3 92
3.4 隐函数与由参数方程所确定的函数的导数 92
3.4.1 隐函数的求导方法 92
3.4.2 由参数方程所确定的函数的求导公式 95
习题3-4 97
3.5 微分 98
3.5.1 微分概念 98
3.5.2 微分的几何意义 100
3.5.3 微分的运算法则和公式 100
3.5.4 微分在近似计算中的应用 102
习题3-5 103
复习题3 103
课外阅读(三) 106
第4章 微分中值定理与导数的应用 110
4.1 微分中值定理 110
4.1.1 罗尔定理 110
4.1.2 拉格朗曰中值定理 112
4.1.3 柯西中值定理 115
习题4-1 116
4.2 洛必达法则 117
4.2.1 *型未定式 117
4.2.2 *型未定式 120
4.2.3 其他未定式 121
习题4-2 123
4.3 泰勒公式 124
4.3.1 泰勒巾值定理 124
4.3.2 麦克劳林公式 126
4.3.3 函数的泰勒展开式(直接法)举例 127
4.3.4 泰勒公式的应用 129
4.3.5 常用初等函数的麦克劳林公式 129
习题4-3 130
4.4 函数的单调性与极值 130
4.4.1 函数的单调性 130
4.4.2 函数的极值 133
习题4-4 136
4.5 很优化问题 136
4.5.1 优选值与最小值 136
4.5.2 优选利润与最小成本问题 137
4.5.3 库存问题 138
4.5.4 复利问题 140
4.5.5 其他优化问题 140
习题4-5 142
4.6 函数的凸性、曲线的拐点及渐近线 143
4.6.1 函数的凸性、曲线的拐点 143
4.6.2 曲线的渐近线 145
4.6.3 函数图形的描绘 147
习题4-6 148
4.7 曲率 149
4.7.1 弧微分 149
4.7.2 曲率及其计算公式 151
4.7.3 曲率圆与曲率半径 153
习题4-7 154
4.8 方程的近似解 154
4.8.1 二分法 155
4.8.2 切线法 156
复习题4 157
课外阅读(四) 159
第5章 不定积分 164
5.1 不定积分的概念与性质 164
5.1.1 原函数的概念 164
5.1.2 不定积分的概念 164
5.1.3 不定积分的几何意义 165
5.1.4 基本积分表 166
5.1.5 不定积分的性质 166
习题5-1 167
5.2 不定积分的换元积分法 168
5.2.1 第一类换元积分法(凑微分法) 168
5.2.2 第二类换元积分法 172
习题5-2 175
5.3 分部积分法 175
习题5-3 178
5.4 有理函数的积分 179
5.4.1 有理函数的积分 179
5.4.2 可化为有理函数的积分 181
习题5-4 182
复习题5 183
附录三 积分表 184
课外阅读(五) 192
第6章 定积分及其应用 196
6.1 定积分的概念 196
6.1.1 引例 196
6.1.2 定积分的定义 198
6.1.3 可积的条件 199
6.1.4 定积分的几何意义 199
习题6-1 200
6.2 定积分的性质 200
习题6-2 203
6.3 微积分基本公式 204
6.3.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 204
6.3.2 积分上限的函数及其导数 205
6.3.3 牛顿-莱布尼茨公式 207
习题6-3 208
6.4 换元积分法和分部积分法 209
6.4.1 换元积分法 209
6.4.2 定积分的分部积分法 212
习题6-4 214
6.5 反常积分 215
6.5.1 无穷区间上的反常积分 215
6.5.2 无界函数的反常积分 216
习题6-5 218
6.6 定积分在几何上的应用 218
6.6.1 定积分的元素法 218
6.6.2 平面图形的面积 220
6.6.3 旋转体的体积 222
6.6.4 平行截面面积为已知的立体的体积 224
6.6.5 平面曲线弧长 225
习题6-6 227
6.7 定积分在物理学上的应用 228
6.7.1 变力沿直线所做的功 228
6.7.2 水压力 229
6.7.3 引力 229
习题6-7 230
复习题6 230
课外阅读(六) 233
第7章 微分方程 237
7.1 微分方程的基本概念 237
习题7-1 240
7.2 一阶微分方程 240
7.2.1 可分离变量的微分方程 240
7.2.2 齐次方程 243
7.2.3 一阶线性微分方程 245
习题7-2 249
7.3 可降阶的高阶微分方程 250
7.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 250
7.3.2 不显含未知函数y的微分方程* 250
7.3.3 不显含自变量x的微分方程* 251
习题7-3 252
7.4 二阶常系数线性微分方程 252
7.4.1 二阶常系数线性微分方程解的结构 253
7.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 254
7.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 256
习题7-4 261
复习题7 262
课外阅读(七) 264
课后习题答案(上册) 269
第8章 空间解析几何与向量代数 1
8.1 空间直角坐标系及两点间的距离公式 1
8.1.1 空间直角坐标系 1
8.1.2 两点间的距离公式 2
习题8-1 3
8.2 向量及其运算 3
8.2.1 向量的概念 3
8.2.2 向量的线性运算 4
8.2.3 向量的分解与向量的坐标表本 7
8.2.4 向量的模和方向余弦 8
习题8-2 9
8.3 向量的数量积与向量积 10
8.3.1 向量的数量积 10
8.3.2 向量在轴上的投影 11
8.3.3 向量的向量积 12
习题8-3 14
8.4 空间直线 14
8.4.1 空间直线的点向式方程 14
8.4.2 空间直线的参数方程 15
8.4.3 两空间直线的夹角 16
习题8-4 16
8.5 空间平面 17
8.5.1 平面的点法式方程 17
8.5.2 平面的一般式方程 17
8.5.3 平面的一般方程的四种特殊情形 18
8.5.4 平面的截距式方程 19
8.5.5 两平面的夹角 19
8.5.6 点到平面的距离 20
8.5.7 空间直线和平面的关系 20
习题8-5 21
8.6 曲面及其方程 22
8.6.1 曲面方程的概念 22
8.6.2 两类特殊的曲面 22
8.6.3 二次曲面 24
习题8-6 28
8.7 空间曲线及其方程 28
8.7.1 空间曲线的一般方程 28
8.7.2 空间曲线的参数方程 29
8.7.3 空间曲线在坐标平面上的投影 30
习题8-7 30
复习题8 31
课外阅读(八) 33
第9章 多元函数微分学及其应用 36
9.1 多元函数的基本概念 36
9.1.1 平面区域的概念 36
9.1.2 二元函数的概念 38
9.1.3 二元函数的极限 39
9.1.4 二元函数的连续性 41
习题9-1 42
9.2 偏导数与高阶偏导数 43
9.2.1 偏导数的定义及其计算法 43
9.2.2 高阶偏雜 46
习题9-2 48
9.3 全微分及其应用 49
9.3.1 全微分雌义 49
9.3.2 函数可微的条件 50
9.3.3 全微分的计算 51
*9.3.4全微分在近似计算中的应用 52
习题9-3 53
9.4 多元复合函数微分法 53
9.4.1 多元复合函数求导法则 54
9.4.2 全微分形式不变性 57
习题9-4 58
9.5 隐函数求导法则 59
9.5.1 一个方程的情形 60
9.5.2 方程组謝青形 61
习题9-5 64
9.6 偏导数的几何应用 64
9.6.1 空间曲线的切线与法平面 64
9.6.2 空间曲面的切平面与法线方程 67
习题 9-6 70
9.7 多元函数的极值及其求法 70
9.7.1 二元函数极值的概念 70
9.7.2 二元函数的优选值与最小值 73
9.7.3 条件极值拉格朗日乘数法 74
习题9-7 77
9.8 方向导数与梯度 78
9.8.1 问题的提出 78
9.8.2 方向导数的定义 78
9.8.3 梯度 81
习题9-8 83
9.9 数学建模举例 84
9.9.1 数学模型 84
9.9.2 最小二乘法 84
9.9.3 线性规划问题 86
复习题9 88
课外阅读(九) 90
第10章 重积分 92
10.1 二重积分的概念与性质 92
10.1.1 引例 92
10.1.2 二重积分的概念 93
10.1.3 二重积分的性质 95
习题10-1 96
10.2 直角坐标系下二重积分的计算 97
10.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 97
10.2.2 二重积分的对称性质 102
习题10-2 104
10.3 二重积分的换元法 105
10.3.1 在极坐标系下二重积分的计算 105
*10.3.2 二重积分的换元法 109
习题10-3 111
10.4 三重积分的概念及直角坐标系下的计算 111
10.4.1 三重积分的概念 111
10.4.2 在直角坐标系下三重积分的计算 113
10.4.3 三重积分的对称性质 115
习题10-4 116
10.5 柱面坐标系下和球面坐标系下三重积分的计算 116
10.5.1 在柱面坐标系下三重积分的计算 116
10.5.2 在球面坐标系下三重积分的计算 118
习题10-5 120
10.6 重积分的应用 121
10.6.1 曲面的面积 121
10.6.2 物体的质心 124
10.6.3 物体的转动惯量 125
10.6.4 引力 127
习题10-6 128
复习题10 128
课外阅读(十) 130
第11章 曲线和曲面积分 134
11.1 第一型曲线积分 134
11.1.1 第一型曲线积分的定义 134
11.1.2 第一型曲线积分的性质 135
11.1.3 第一型曲线积分的计算方法 135
习题11-1 137
11.2 第二型曲线积分 138
11.2.1 第二型的曲线积分的定义 139
11.2.2 第二型曲线积分的性质 140
11.2.3 第二型曲线积分的计算方法 140
习题11-2 144
11.3 曲线积分与路径无关的条件 145
11.3.1 格林公式 145
11.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 149
习题11-3 153
11.4 第一型曲面积分 154
11.4.1 第一型曲面积分的概念与性质 154
11.4.2 第一型曲面积分的计算方法 155
习题11-4 157
11.5 第二型曲面积分 157
11.5.1 有向曲面 157
11.5.2 对坐标的曲面积分的计算法 161
11.5.3 两类曲面积分之间的联系 164
习题11-5 165
11.6 高斯公式与斯托克斯公式 166
11.6.1 高斯公式 166
11.6.2 通量与散度 168
11.6.3 斯托克斯公式 170
11.6.4 环流量与旋度 174
习题11-6 175
复习题11 176
课外阅读(十一) 179
第12章 无穷级数 182
12.1 数项级数的概念和性质 182
12.1.1 数项级数及其敛散性 182
12.1.2 数项级数的基本性质 184
习题12-1 185
12.2 正项级数及其敛散性判别法 186
习题12-2 192
12.3 任意项级数 193
12.3.1 交错级数 193
12.3.2 任意项级数及其敛散性判别法 195
习题12-3 196
12.4 幂级数 196
12.4.1 函数项级数 196
12.4.2 幂级数及其敛散性 197
12.4.3 幂级数的运算 201
习题12-4 202
12.5 函数的幂级数展开 203
12.5.1 展开定理 203
12.5.2 函数幕级数展开的应用举例 206
习题12-5 207
12.6 傅里叶级数 208
12.6.1 傅里叶级数的定义 208
12.6.2 正弦级数和余弦级数 212
12.6.3 一般周期函数的傅里叶级数 213
12.6.4 几个预备结果 215
12.6.5 狄利克雷收敛定理的证明 217
习题12-6 218
复习题12 219
课外阅读(十二) 222
课后习题答案(下册) 229
参考文献 260