本书是适用于我国大学现行教学大纲的一本教科书。鉴于函数论在培养数学家的教学体系中日趋重要，我在本书中(用小型铅字排印)放入了一系列超出大纲范围的问题。

书中大部分的章后都附有习题。这些习题一般说来是相当难的，有时需要经过很大的努力才能解决。但是对于要想切实地通晓这门知识的读者，我仍然建议他们务必尽最大努力至少解决其中一部分的问题。

本书是俄罗斯(苏联时期)杰出数学家и.л.那汤松的一本重要著作，影响很广。本书在20世纪50—60年代曾是我国高校数学专业实变函数论课程的重要教学参考书。本版系根据原书1 956年第2版中译本，对照原书2008年第5版原文校订后重新出版的。

全书共有18章，主要内容为：可测集与可测函数、勒贝格积分、可和函数与平方可和函数(包括空间与L2与L2，Lp与Lp等)、有界变差函数与斯蒂尔切斯积分、绝对连续函数与勒贝格不定积分，以及与上述内容对应的，在多元函数情形和无界函数情形的扩展；以小字排印的有：奇异积分与三角级数、集函数及其在积分论中的应用、超限数、函数的贝尔分类、勒贝格积分的推广(包括佩龙积分、当茹瓦积分和积分的抽象定义等)。这些内容虽然超出了教学大纲，但其丰富的材料为其他函数论方面论著中所不多见，有较大参考价值。为内容叙述的需要，还专辟一章(第18章)介绍了泛函分析的某些知识。在大部分章末都附有相当数量的习题，其中多数难度较大。

本书论述详尽、明晰而又言简意赅，内容逐步深入，一些典型的处理方法有助于启发读者思考。除了俄文原著，本书曾被译成7种文字出版。

本书可作为数学专业大学生、研究生、教师和有关工作者的参考书。

《俄罗斯数学教材选译》序

初版序言摘要

第2版序言

第一章 无穷集

 §1.集的运算

 §2.一一对应

 §3.可数集

 §4.连续统的势

 §5.势的比较

第二章 点集

 §1.极限点

 §2.闭集

 §3.内点及开集

 §4.距离及隔离性

 §5.有界开集及有界闭集的结构

 §6.凝聚点、闭集的势

第三章 可测集

 §1.有界开集的测度

 §2.有界闭集的测度

 §3.有界集的内测度与外测度

 §4.可测集

 §5.可测性及测度对于运动的不变性

 §6.可测集类

 §7.测度问题的一般注意

 §8.维塔利定理

第四章 可测函数

 §1.可测函数的定义及最简单的性质

 §2.可测函数的其他性质

 §3.可测函数列、依测度收敛

 §4.可测函数的结构

 §5.魏尔斯特拉斯定理

第五章 有界函数的勒贝格积分

 §1.勒贝格积分的定义

 §2.积分的基本性质

 §3.在积分号下取极限

 §4.黎曼积分与勒贝格积分的比较

 §5.求原函数的问题

第六章 可和函数

 §1.非负可测函数的积分

 §2.任意符号的可和函数

 §3.在积分号下取极限

第七章 平方可和函数

 §1.主要定义、不等式、范数

 §2.均方收敛

 §3.正交系

 §4.空间L2

 §5.线性无关组

 §6.空间Lp与Lp

第八章 有界变差函数、斯蒂尔切斯积分

 §1.单调函数

 §2.集的映射、单调函数的微分

 §3.有界变差函数

 §4.黑利的选择原理

 §5.有界变差的连续函数

 §6.斯蒂尔切斯积分

 §7.在斯蒂尔切斯积分号下取极限

 §8.线性泛函

第九章 绝对连续函数、勒贝格不定积分

 §1.绝对连续函数

 §2.绝对连续函数的微分性质

 §3.连续映射

 §4.勒贝格不定积分

 §5.勒贝格积分的变量变换

 §6.稠密点、近似连续

 §7.有界变差函数及斯蒂尔切斯积分的补充

 §8.求原函数的问题

第十章 奇异积分、三角级数、凸函数

 §1.奇异积分的概念

 §2.用奇异积分在给定点表示函数

 §3.在傅里叶级数论中的应用

 §4.三角级数及傅里叶级数的其他性质

 §5.施瓦茨导数及凸函数

 §6.函数的三角级数展开的唯一性

第十一章 二维空间的点集

 §1.闭集

 §2.开集

 §3.平面点集的测度论

 §4.可测性及测度对于运动的不变性

 §5.平面点集的测度与其截线的测度问的联系

第十二章 多元可测函数及其积分

 §1.可测函数、连续函数的拓广

 §2.勒贝格积分及其几何意义

 §3.富比尼定理

 §4.积分次序的变更

第十三章 集函数及其在积分论中的应用

 §1.绝对连续的集函数

 §2.不定积分及其微分

 §3.上述结果的推广

第十四章 超限数

 §1.有序集、序型

 §2.良序集

 §3.序数

 §4.超限归纳法

 §5.第二数类

 §6.阿列夫

 §7.策梅洛公理和定理

第十五章 贝尔分类

 §1.贝尔类

 §2.贝尔类的不空性

 §3.第一类的函数

 §4.半连续函数

第十六章 勒贝格积分的某些推广

 §1.引言

 §2.佩龙积分的定义

 §3.佩龙积分的基本性质

 §4.佩龙不定积分

 §5.佩龙积分与勒贝格积分的比较

 §6.积分的抽象定义及其推广

 §7.狭义的当茹瓦积分

 §8.Γ.哈盖定理

 §9.Ⅱ.С.亚历山德罗夫-Γ.罗曼定理

 §10.广义的当茹瓦积分的概念

第十七章 在无界区域上定义的函数

 §1.无界集的测度

 §2.可测函数

 §3.在无界集上的积分

 §4.平方可和函数

 §5.有界变差函数、斯蒂尔切斯积分

 §6.不定积分及绝对连续的集函数

第十八章 泛函分析的某些知识

 §1.度量空间及其特殊情形——赋范线性空间

 §2.紧性

 §3.某些空间的紧性条件

 §4. 巴拿赫的“不动点原理”及其某些应用

附录

 Ⅰ.曲线弧的长

 Ⅱ.施坦豪斯例子

 Ⅲ.关于凸函数的某些补充知识

补充 豪斯多夫定理

外国数学家译名对照表

名词索引

第5版校订后记