本书是作者们长期进行教改实践的研究成果，已在本科教学中多次试用，多次修改。作者们又长期活跃于科学研究第一线，在科研中取得了丰硕成果。本书加强了内蕴几何，加强了整体观念，将向量方法、张量方法、李群与活动标架方法这些微分几何的重要方法，有机地融入经典内容之中；本书还有许多改革与创新，体现了作者们近年来的科研成果与思想。

使用说明 (1)

本书常用符号表 (6)

第一章 预备知识 (1)

§1 向量代数复习 (1)

一、E3中Descartes直角坐标系O-xyz中的点与向量 (1)

二、向量空间R3(起点自由) (2)

三、E3中向量的乘积 (2)

四、在初等几何中的应用例示 (4)

§2 向量函数微积分 (6)

一、E3中实变向量函数 (6)

二、向量函数的极限、连续和微积分简介 (6)

三、常用几何条件的解析判定式 (9)

§3 标架和标架场 (13)

一、E3中的单位正交右手标架及其变换 (13)

二、E3中的刚体运动与等距变换 (16)

三、E3中的正交标架场的运动公式 (18)

四、E3中的仿射标架 (19)

第二章 曲线的局部微分几何 (21)

§1 参数化曲线与曲线的参数表示 (21)

一、E3中参数化曲线的定义 (21)

二、正则曲线 (23)

三、曲线的等价 (25)

§2 曲线的孤长和弧长元素 (31)

一、E3中正则曲线段的长度 (31)

二、弧长和弧长参数 (33)

§3 曲线的曲率和Frenet标架 (36)

一、曲率 (36)

二、Frenet标架 (39)

§4 曲线的挠率和Frenet公式 (47)

一、挠率 (47)

二、Frenet公式 (51)

§5 曲线在一点附近的结构 (54)

一、曲线的局部规范形式 (54)

二、曲线的局部近似曲线 (55)

三、曲线的切触 (57)

§6 曲线论基本定理 (59)

一、一般结果 (59)

二、平面曲线的相对曲率 (63)

§7 特殊曲线组 (67)

一、Bertrand曲线 (67)

二、渐伸线与渐缩线 (70)

三、单参数曲线族的包络 (72)

第三章 曲面的第一基本形式 (77)

§1 参数化曲面 (77)

一、E3中参数化曲面的定义 (77)

二、正则曲面 (80)

三、正则曲面的切平面和法线 (81)

四、参数变换 (84)

五、参数曲面的等价 (86)

§2 直纹面与可展曲面 (88)

一、直纹面及其上的参数变换 (88)

二、可展曲面及其局部形状分类 (92)

三、单参数曲面族的包络 (96)

§3 曲面的第一基本形式 (102)

一、曲面上的弧长元素 (102)

二、第一基本形式 (104)

三、交角与面积元素 (107)

§4 局部等距对应 (114)

一、局部等距对应 (114)

二、曲面的内蕴几何学概念 (117)

§5 局部正交参数网与等温参数 (119)

一、一般结论与正交网 (119)

二、等温参数 (121)

第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率 (123)

§1 曲面的第二基本形式 (123)

一、切点邻近点到切平面的有向距离 (124)

二、第二基本形式 (124)

三、在容许参数变换下的行为 (127)

§2 法曲率 (129)

一、曲面上曲线的曲率 (129)

二、曲面的法曲率 (132)

§3 自然标架的运动公式 (135)

一、Einstein和式约定 (135)

二、曲面的基本公式 (136)

三、测地曲率的内蕴公式 (139)

§4 Weingarten变换 (142)

一、Weingarten矩阵的性质 (142)

二、Weingarten变换与Euler公式 (144)

§5 曲面上的曲率概念 (148)

一、主曲率 (148)

二、Gauss曲率和平均曲率 (149)

三、Gauss映射和第三基本形式 (151)

§6 曲面的特殊参数网 (154)

一、曲率线和曲率线网 (154)

二、渐近曲线和渐近曲线网 (158)

§7 曲面一点附近的形状 (160)

一、曲面的局部规范形式 (160)

二、曲面的局部近似曲面 (161)

§8 特殊曲面的曲率特征 (164)

一、可展曲面的曲率特征 (164)

二、曲面面积的第一变分公式 (165)

三、极小曲面 (168)

第五章 曲面论基本定理 (170)

§1 曲面论基本方程 (170)

一、Gauss-Codazzi方程 (171)

二、Gauss-Codazzi方程的独立性 (172)

三、Gauss绝妙定理 (175)

§2 曲面论基本定理 (178)

一、相关方程及其解的性质 (178)

二、曲面论基本定理的证明和说明 (181)

第六章 曲面的内蕴几何初步 (184)

§1 测地曲率与测地线 (184)

一、测地曲率的Liouville公式 (184)

二、测地线基本概念 (186)

三、弧长的第一变分公式与局部短程线 (189)

§2 指数映射与测地坐标系 (195)

一、指数映射及其性质 (195)

二、法坐标系性质 (198)

三、测地极坐标系性质 (198)

四、测地凸域 (201)

§3 常曲率曲面与非欧几何模型 (205)

一、常曲率面的局部等距 (205)

二、常曲率曲面在E3中的代表 (207)

三、抽象曲面与非欧几何模型 (208)

§4 局部Gauss-Bonnet公式 (214)

一、Gauss-Bonnet公式 (214)

二、非欧几何中的三角形内角和 (217)

§5 曲面上切向量的局部平移 (219)

一、抽象曲面的切平面 (219)

二、切平面等距同构的微元表示 (221)

三、切向量场的绝对微分 (224)

四、切向量的Levi-Civita平移 (226)

五、内蕴角差 (228)

第七章 曲线的整体性质初步 (232)

§1 夹角的整体可微性 (232)

§2 平面曲线切线的旋转指标定理 (238)

§3 平面凸闭曲线特征 (242)

§4 卵形线 (247)

§5 平面曲线的等周不等式 (251)

§6 球面闭曲线的整体性质 (257)

§7 E3中闭曲线的全曲率 (264)

§8 曲线的整体弯曲量度 (268)

一、弧段的比较 (268)

二、闭曲线的曲率平均值 (271)

第八章 曲面的整体性质初步 (273)

§1 曲面片与曲面 (273)

§2 完备曲面 (282)

§3 管状面Willmore不等式 (292)

§4 凸闭曲面特征 (299)

§5 整体Gauss-Bonnet定理 (302)

§6 曲面上的若干微分算子 (309)

一、S 上的函数的微分和梯度 (309)

二、S 上切向量场的平移和绝对微分 (311)

三、S 上的散度算子div (315)

四、S 上的Beltrami-Laplace算子ΔS (316)

§7 球面的刚性 (318)

§8 Poincaré指标定理 (322)

§9 抽象曲面的几何结构概述 (329)

参考文献 (332)

索引 (333)