本书主要介绍流形上的微积分，这是一种以流形代替底空间，以纤维代替纵坐标，将速度、加速度、场强、势、切空间、余切空间、变分、可积系统、指标理论统一为一体的微积分。

本书共分三章。第1章中扼要地介绍了曲面上微分几何的基本内容；第2章讲微分流形和张量；第3章讲流形上的微积分。出版时增加了绪论和诗化微分几何、相对论中的数学原理、数学机械化的基本原理部分。

第0章 绪论

 0.1 体系一 公理化 形式化 逻辑化 抽象化

0.1.1 从Euclid到Hilbert

0.1.2 Hilbert纲领的流芳余韵

 0.2 体系二 代数化 算术化 算法化 机械化

0.2.1 从Euclid到Descartes

0.2.2 微分代数几何的源与流

 0.3 体系三 原理化 形象化 诗词化 艺术化

第1章 曲面上的几何

 1.1 曲率和基本型

 1.2 基本方程与基本定理

 1.3 Gauss-Bonnet公式

 诗化微分几何

第2章 微分流形与张量

 2.1 微分流形

 2.2 张量及其运算

 相对论中的数学原理

第3章 流形上的微积分

 3.1 外微分与余微分

 3.2 Frobenius理论和Lie群

 3.3 流形上的积分与纤维丛

 数学机械化的基本原理

参考文献