本书以生动活泼的形式，通俗地介绍了对数的发明和这一发明的重大意义，如何用它来解决实际问题，以及常用对数的诞生和应用。而更多的篇幅则留给了主角自然对数——它为什么和怎样在整个科学中大放异彩，为什么数学家们要用E作自然对数的底，E究竟是一个什么样的数……本书图文并茂，将人文精神融入好玩的数学以至整个科学之中，妙趣横生的情节引人入胜，让读者充分感受数学之真、之美、之乐、之用，适合于中等及以上文化的人阅读。跟我走吧，现在就出发，穿过快乐的河流，就会到达E那不可思议的老家！

数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。就《好玩的数学》丛书而言，不同的读者也会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛，启迪学生心智；可以作为学生课外读物，有助于开阔眼界，增长知识、锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学生，研究生甚至数学研究工作者，也会开卷有益。本书是《好玩的数学》丛书中的一册，系统全面地介绍了数学常数e有关方面的知识，讲述了从其发现史、发现人到其在现代诸数学分支中的应用。

第一章 激情相约爱丁堡——对数使科学家延寿

1.1从第一级到第三级——数学运算步步高

1.2在离天很近的地方——斯蒂菲乐瓣遗憾

1.3教授与贵族——激情相约爱丁堡

1.4汗水加智慧——纳皮尔发明对数

1.5科学更有力量——天才的遗憾

1.6承伟业自有来人——从布里格斯到弗拉格

1.7伟大发明生龙胎——红极一时的尺子

1.8伟大发明生凤胎——红极一进的表格

1.9并非风景这边独好——杀鸡杀喉比尔吉

1.10天文学家延寿一倍——拉普拉斯如是说

1.11迟到的爱——对数在中国

第二章 无处不在的对数——天地英雄大显神通

2.1吹拉弹唱也要讲数学——音乐中的对数

2.2谁也无法逃循——噪声和对数

2.3规律缘起古希腊——星星亮度和对数

2.4科学有笔下的曲线——实用的对数图

第三章 奇趣就在对数中——从2>3到3个2

3.1为什么2>3——从欧拉时代的谈自摆乌龙谈起

3.2对数的奇迹——你也能当速算大师

3.3雕刻家也会糊涂——弄错了的对数螺线

3.4狄拉克也会疏忽——3个2的奇趣

3.5高考题中的对数方程——盈不足术也可解

第四章 对数的两大宠儿——既要常用也要自然

4.1以2为底的对数——神通广大应用广泛

4.2常用对数——爱你没商量

4.3自然对数——不只是大自然的选择

4.4E的又一用武之地——编造对数表

4.5赫德、麦卡托、泰勒……显神通——如何编造对数表

第五章 王宫中的漫游——数学殿堂中的e

5.1关系你的钱包——无处不在复制律

5.2你不会自成大款——到E为止

5.3数学珍宝——N到E的一家亲

5.4弟弟帮哥哥——E为∏开路立功

5.5它们是虚数吗——e和i及∏的“桃园三结义”

5.6悄悄走近“数学王子”——素数定理中的e

5．7从科克到维诺格拉多夫——对数积分和指数积分中的e

5．8从麦齐里阿克到陈景润——华林-哥德巴赫猜想中的e

5．9“吉利斯猜想”——梅森素数个数中的e

5．10半个世纪的积分探索——欧拉积分与e

5．11蠕虫能“如愿以偿”吗——欧拉常数中的e

5．12这样近似算阶乘——e与斯特林逼近

5．13自然数“切蛋糕”——“整数分拆”也要靠e

5．14对数正态分布——概率计算中的e

5．15“双曲”与“三角”——这里也有e

5．16英国海疆长几何——分形公式中的e

5．17积分方程的滥觞——拉普拉斯变换和e“结盟”

5．18级数何名傅里叶——三角级数中“暗藏”的e

5．19从达·芬奇到伯努利——“悬在空中”的e

5．20从维诺格拉多夫到陈景润——“高斯余项”中的e

5．21聚首“中心”的“难题”——4只甲虫如何爬行

5．22数学也要“轻装上阵”——e与微积分

5．23“基本”和“重要”——e在微积分中闪光

5．24众“神”朝拜“美猴王”——离不开e的数学

第六章 e和万物如此钟情——走出“王宫”的自然对数

6．1你也可当“大力士”——缆绳靠e系船舟

6．2赝品名画原形毕露——“衰变”用e揭奥秘

6．3牛顿小试牛刀做“小菜”——冷却定律中的e

6．4电、光世界的宠儿——e和你时时相伴

6．5“滴答”声中的物理公式——摆锤振动中的e

6．6火箭飞天的奥秘一人类借e上“青云”

6．7降落伞为什么匀速落地——落体速度与e

6．8煮不熟的米饭——气压随高度变化公式中的e

6．9从麦克斯韦到玻耳兹曼——刻在墓碑上的e

6．10速度和焓变——化学反应也离不开e

6．11植物学“联姻”物理学——布朗运动中的e

6．12阿氏常数这样测——“微粒公式”借e建功

6．13生存竞争——弱肉强食方程中的e

6．14如何预测鼠疫病人数——疾病研究中的e

6．15从人类到细菌——生物增殖中的e

6．16何时添加樟脑球——衣物防蛀中的e

6．17“家务事”中的数学——洗衣服时也有e

6．18科学和e——难舍难分的“情人”

第七章 掀起你的盖头来——e的“质”“量”大白天下

7．1数系发展——从自然数到超越数

7．2e的性质——从无理数到非二次代数数

7．3e的性质——从无理数到超越数

7．4e的定义和符号——是“贵人”也是“打工仔”

7．5计算e值——从欧拉到金田康正

第八章 妙趣横生的数e——数学界的快乐天使

8．1数学家的“魔术”——有关e的几种表达式

8．2“乘积最大”和“开方最大”——这里e也显神通

8．3e不是根号下2——“简单反证法”并非万能

8．4ln(-1)=?——伯努利和莱布尼茨的争论

8．5“不考虑它们的收敛”——交错级数的悖论

8．6e∏根号下163=整数吗——加德纳的愚人节玩笑

8．7“千条江河归大海”

8．8大显神通靠“自然”——巧用欧拉公式解题

8．9“极限点”与数学竞赛——e在几何中现身

8．10“标准形式，，走遍天下

8．11从w与e的关系说起——万数回归“大自然”

第九章 何当痛饮黄龙府——等你揭开e的谜团

9．1移植布劳威尔的难题——e是正规数吗

9．2“简单”的难题——∏和e“家族”“无理”“超越”吗

9．3“亲兄弟”为何分离——黎曼函数中为何有∏无e

9．4神秘的“近似”——e为何屡屡现身

9．5弟弟为何不像哥哥——e有根号表达式吗

9．6寻找“准确”——∏和e之间有简洁的实数关系吗

9．7“怪”还是“不怪”——对数先于指数

第十章 附录——e的数表供你查询

参考文献

后记

一位伦敦的数学教授看到纳皮尔这一成果后，立即就意识到它的重大价值。他写道：“纳皮尔用他新颖而巧妙的对数使我能够用脑和手来工作。我从未读过一本能够使我这样惊异和喜爱的书了。我希望今年夏天就能见到他，因为我从未读过一本能令我更加喜爱，更加惊异的书了。”真是难得的“慧眼识英雄”，慧眼识“好货”。

经过一些通信联系之后，第二年即1615(一说1616)年，这位伦敦的数学教授就不辞劳苦，乘坐马车——当时没有火车和汽车，从伦敦出发，专程到爱丁堡去会见这位他无比崇敬的、天才的苏格兰人。

在漫长而又崎岖的旅途上，数学教授在日记中写道，这个苏格兰人的前额一定很高，因为他头脑发达，否则是难以做出如此惊人的发明的。

真是好事多磨，由于意外的事故，教授在路上延误了时间。焦急等待的苏格兰贵族终于失望了，他向一位朋友抱怨说：“咳!亨利教授不会来了吧?”可就在这时，有人敲门了，教授出现在他的面前。 “相知无远近”，这对“海内知己”相拥而抱，在沉默中相互凝视了达一刻钟之久(图1—3)。后来，教授说道：“阁下，我经历了长途跋涉专程来看望你，就是想要知道究竟是怎样富有聪明才智的头脑，才使得你首先想出对于天文学的这一极好的帮助。阁下，你发现了它，现在看来是很容易的，但是我很奇怪，在此之前为什么没有人能够发现它呢?”

真是“酒逢知己千杯少”，这两位数学家已经“不知天上宫阙，今夕是何年”了——作为贵宾，这位教授在贵族的梅尔契斯顿城堡里滞留了一个月之久。

这位专程去访问纳皮尔的数学家，就是伦敦格雷沙姆学院的几何学教授亨利·布里格斯(Henry：Briggs，1561～1631)。这里提到的格雷沙姆(Thomas Gresham，1518～1579)，全译托马斯·格雷沙姆，是英国皇家交易所的创始人，诺福克(Norfolk)世家的富商。1537年，他被选为伦敦市长，曾出资建立格雷沙姆学院。

这里有必要交代，怎么一会儿说爱丁堡，一会儿又说梅尔契斯顿堡。原来，梅尔契斯顿堡是苏格兰首府爱丁堡附近的一个小城堡，有的资料又译为马其顿堡、曼彻斯特或梅奇斯顿堡。说大方向爱丁堡是因为它知名，说梅尔契斯顿堡是因为它更准确具体。

纳皮尔就出生在梅尔契斯顿堡的一个贵族家庭。他在1563年进入圣·安德鲁斯(或写作圣安德鲁斯)大学的斯帕希杰尔学院(或圣萨尔瓦特学院)学习。1566年，他16岁还没毕业时，就在他的舅父、奥克尼的主教博瑟韦尔(A．Bothwell)的支持下，出国到欧洲游历求学，1571年回乡。P10-11

2002年8月在北京举行国际数学家大会(ICM2002)期间，91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。

数学真的好玩吗?不同的人可能有不同的看法。

有人会说，陈省身先生认为数学好玩，因为他是数学大师，他懂数学的奥妙。对于我们凡夫俗子来说，数学枯燥，数学难懂，数学一点也不好玩。

其实，陈省身从十几岁就觉得数学好玩。正因为觉得数学好玩，才兴致勃勃地玩个不停，才玩成了数学大师。并不是成了大师才说好玩。

所以，小孩子也可能觉得数学好玩。

当然，中学生或小学生能够体会到的数学好玩，和数学家所感受到的数学好玩，是有所不同的。好比象棋，刚入门的棋手觉得有趣，国手大师也觉得有趣，但对于具体一步棋的奥妙和其中的趣味，理解的程度却大不相同。

世界上好玩的事物，很多要有了感受体验才能食髓知味。有酒仙之称的诗人李白写道：“但得此中味，勿为醒者传”，不喝酒的人是很难理解酒中乐趣的。

但数学与酒不同。数学无所不在。每个人或多或少地要用到数学，要接触数学，或多或少地能理解一些数学。

早在2000多年前，人们就认识到数的重要。中国古代哲学家老子在·《道德经》中说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”古希腊毕达哥拉斯学派的思想家菲洛劳斯说得更加确定有力：“庞大、万能和完美无缺是数字的力量所在，它是人类生活的开始和主宰者，是一切事物的参与者。没有数字，一切都是混乱和黑暗的。”

既然数是一切事物的参与者，数学当然就无所不在了。

在很多有趣的活动中，数学是幕后的策划者，是游戏规则的制定者。

玩七巧板，玩九连环，玩华容道，不少人玩起来乐而不倦。玩的人不一定知道，所玩的其实是数学。这套丛书里，吴鹤龄先生编著的《七巧板、九连环和华容道——中国古典智力游戏三绝》一书，讲了这些智力游戏中蕴含的数学问题和数学道理，说古论今，引人入胜。丛书编者应读者要求，还收入了吴先生的另一本备受大家欢迎的《幻方及其他——娱乐数学经典名题》，该书题材广泛、内容有趣，能使人在游戏中启迪思想、开阔视野，锻炼思维能力。丛书的其他各册，内容也时有涉及数学游戏。游戏就是玩。把数学游戏作为丛书的重要部分，是“好玩的数学”题中应有之义。

数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。比如，以数学家欧拉命名的一个公式

e2∏i=1这里指数中用到的∏，就是大家熟悉的圆周率，即圆的周长和直径的比值，它是数学中最重要的一个常数。数学中第2个重要的常数，就是上面等式中左端出现的e，它也是一个无理数，是自然对数的底，近似值为2．718281828459…。指数中用到的另一个数i，就是虚数单位，它的平方等于一1。谁能想到，这3个出身大不相同的数，能被这样一个简洁的等式联系在一起呢?丛书中，陈仁政老师编著的《说不尽的兀》和《不可思议的e》，分别详尽地说明了这两个奇妙的数的来历、有关的轶事趣谈和人类认识它们的漫长的过程。其材料的丰富详尽，论述的清楚确切，在我所知的中外有关书籍中，无出其右者。

如果你对上面等式中的虚数i的来历有兴趣，不妨翻一翻王树禾教授为本丛书所写的《数学演义》的“第十五回 三次方程闹剧获得公式解 神医卡丹内疚难舍诡辩量”。这本章回体的数学史读物，可谓通而不俗、深入浅出。王树禾教授把数学史上的大事趣事憾事，像说评书一样，向我们娓娓道来，使我们时而惊讶、时而叹息、时而感奋，引来无穷怀念遐想。数学好玩，人类探索数学的曲折故事何尝不好玩呢?光看看这本书的对联形式的四十回的标题，就够过把瘾了。王教授还为丛书写了一本《数学聊斋》，把现代数学和经典数学中许多看似古怪而实则富有思想哲理的内容，像《聊斋》讲鬼说狐一样最大限度地大众化，努力使读者不但“知其然”而且“知其所以然”。在这里，数学的好玩，已经到了相当高雅的层次了。

谈祥柏先生是几代数学爱好者都熟悉的老科普作家，大量的数学科普作品早已脍炙人口。他为丛书所写的《乐在其中的数学》，很可能是他的封笔之作。此书吸取了美国著名数学科普大师加德纳25年中作品的精华，结合中国国情精心改编，内容新颖、风格多变、雅俗共赏。相信读者看了必能乐在其中。

易南轩老师所写的《数学美拾趣》一书，自2002年初版以来，获得读者广泛好评。该书以流畅的文笔，围绕一些有趣的数学内容进行了纵横知识面的联系与扩展，足以开阔眼界、拓广思维。读者群中有理科和文科的师生，不但有数学爱好者，也有文学艺术的爱好者。该书出版不久即脱销，有一些读者索书而未能如愿。这次作者在原书基础上进行了较大的修订和补充，列入丛书，希望能满足这些读者的心愿。

世界上有些事物的变化，有确定的因果关系。但也有着大量的随机现象。一局象棋的胜负得失，一步一步地分析起来，因果关系是清楚的。一盘麻将的输赢，却包含了很多难以预料的偶然因素，即随机性。有趣的是，数学不但长于表达处理确定的因果关系，而且也能表达处理被偶然因素支配的随机现象，从偶然中发现规律。孙荣恒先生的《趣味随机问题》一书，向我们展示出概率论、数理统计、随机过程这些数学分支中许多好玩的、有用的和新颖的问题。其中既有经典趣题，如赌徒输光定理，也有近年来发展的新的方法。

中国古代数学，体现出算法化的优秀数学思想，曾一度辉煌。回顾一下中国古算中的名题趣事，有助于了解历史文化，振奋民族精神，学习逻辑分析方法，发展空间想像能力。郁祖权先生为丛书所著的《中国古算解趣》，诗、词、书、画、数五术俱有，以通俗艺术的形式介绍韩信点兵、苏武牧羊、李白沽酒等40余个中国古算名题；以题说法，讲解我国古代很有影响的一些数学方法；以法传知，叙述这些算法的历史背景和实际应用，并对相关的中算典籍、著名数学家的生平及其贡献做了简要介绍，的确是青少年的好读物。

读一读《好玩的数学》，玩一玩数学，是消闲娱乐，又是学习思考。有些看来已经解决的小问题，再多想想，往往有“柳暗花明又一村”的感觉。

举两个例子：

《中国古算解趣》第37节，讲了一个“三翁垂钓”的题目。与此题类似，有个“五猴分桃”的趣题在世界上广泛流传。著名物理学家、诺贝尔奖获得者李政道教授访问中国科学技术大学时，曾用此题考问中国科学技术大学少年班的学生，无人能答。这个问题，据说是由大物理学家狄拉克提出的，许多人尝试着做过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的解法。李政道教授说，著名数理逻辑学家和哲学家怀德海曾用高阶差分方程理论中通解和特解的关系，给出一个巧妙的解法。其实，仔细想想，有一个十分简单有趣的解法，小学生都不难理解。

原题是这样的：5只猴子一起摘了1堆桃子，因为太累了，它们商量决定，先睡一觉再分。

过了不知多久，来了1只猴子，它见别的猴子没来，便将这1堆桃子平均分成5份，结果多了1个，就将多的这个吃了，拿走其中的1堆。又过了不知多久，第2只猴子来了，它不知道有1个同伴已经来过，还以为自己是第1个到的呢，于是将地上的桃子堆起来，平均分成5份，发现也多了1个，同样吃了这1个，拿走其中的1堆。第3只、第4只、第5只猴子都是这样……问这5只猴子至少摘了多少个桃子?第5个猴子走后还剩多少个桃子?

思路和解法：题目难在每次分都多1个桃子，实际上可以理解为少4个，先借给它们4个再分。

好玩的是，桃子尽管多了4个，每个猴子得到的桃子并不会增多，当然也不会减少。这样，每次都刚好均分成5堆，就容易算了。

想得快的一下就看出，桃子增加4个以后，能够被5的5次方整除，所以至少是3125个。把借的4个桃子还了，可知5只猴子至少摘了3121个桃子。

容易算出，最后剩下至少1024—4=1020个桃子。

细细地算，就是：

设这1堆桃子至少有z个，借给它们4个，成为x+4个。

5个猴子分别拿了a，b，c，d，e个桃子(其中包括吃掉的一个)，则可得

a=(x+4)／5

b=4(x+4)／25

c=16(x+4)／125

d=64(x+4)／625

e=256(x+4)／3125

e应为整数，而256不能被5整除，所以(x+4)应是3125的倍数，所以

(x+4)=3125k(k取自然数)

当k=1时，x=3121

答案是，这5个猴子至少摘了3121个桃子。

这种解法，其实就是动力系统研究中常用的相似变换法，也是数学方法论研究中特别看重的“映射一反演”法。小中见大，也是数学好玩之处。

在《说不尽的兀》的5．3节，谈到了祖冲之的密率355／113。这个密率的妙处，在于它的分母不大而精确度很高。在所有分母不超过113的分数当中，和∏最接近的就是355／113。不但如此，华罗庚在《数论导引》中用丢番图理论证明，在所有分母不超过336的分数当中，和∏最接近的还是355／113。后来，在夏道行教授所著《∏和e》一书中，用连分数的方法证明，在所有分母不超过8000的分数当中，和兀最接近的仍然是355／113，大大改进了336这个界限。有趣的是，只用初中里学的不等式的知识，竟能把8000这个界限提高到16500以上!

根据∏=3．1415926535897…，可得│355／113—∏│<0．00000026677，如果有个分数q／p比355／113更接近丌，一定会有

│355／113一q／p│<2×0．00000026677

也就是

355p一113q i／113p<2×O．00000026677

因为q／p不等于355／113，所以│355p-113q│不是0。但它是正整数，大于或等于1，所以

1／113p<2×0．00000026677由此推出

p>1／(113×2×0．00000026677)>16586

这表明，如果有个分数q／p比355／113更接近∏，其分母p一定大于16586，

如此简单初等的推理得到这样好的成绩，可谓鸡刀宰牛。

数学问题的解决，常有“出乎意料之外，在乎情理之中”的情形。

在《数学美拾趣》的22章，提到了“生锈圆规”作图问题，也就是用半径固定的圆规作图的问题。这个问题出现得很早，历史上著名的画家达·芬奇也研究过这个问题。直到20世纪，一些基本的作图，例如已知线段的两端点求作中点的问题(线段可没有给出来)，都没有答案。有些人认为用生锈圆规作中点是不可能的。到了20世纪80年代，在规尺作图问题上从来没有过贡献的中国人，不但解决了中点问题和另一个末解决问题，还意外地证明了从2点出发作图时生锈圆规的能力和普通规尺是等价的。那么，从3点出发作图时生锈圆规的能力又如何呢?这是尚未解决的问颛。

开始提到，数学的好玩有不同的层次和境界。数学大师看到的好玩之处和小学生看到的好玩之处会有所不同。就这套丛书而言，不同的读者也会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛、启迪学生心智；可以作为学生课外读物，有助于开阔眼界、增长知识、锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学生、研究生甚至数学研究工作者，也会开卷有益。数学大师华罗庚提倡“小敌不侮”，上面提到的两个小题目都有名家做过。丛书中这类好玩的小问题比比皆是，说不定有心人还能从中挖出宝矿，有所斩获呢。

罗嗦不少了，打住吧。谨以此序祝《好玩的数学》丛书成功。

张景中2004年9月9日

科学出版社李敏女士把我这条黄牛当马使，于2004年6月21日10时多来电话，要我写一本关于e的书。限于水平和资料，我一时觉得难以下手。但是，在她和张景中、王树禾等学者的鞭策、鼓励或帮助下，终于鼓足勇气“上了梁山”，于是有了这弄斧之作。

在本书编写过程中，以下学者给我提供了资料。李敏在2004年6月23日寄出的《e的奥秘——从e的发现到电脑程序》，和随后寄出的《世界著名数学家传记》，以及用电子邮件发来的前一书的电脑稿文字部分。华东师范大学张奠宙先生在1998年3月17日寄出的、借给我的《∏和e》。四川理工学院黄蕴魁先生长期借给我的几本书。特别是安徽阜阳师范学院宁挺先生，在2005年1月16日寄赠出的他的大作《说e》(和《∏的今昔》)所提供的资料，为拙作增色不少；他还在我给他拜年的2005年2月7日夜，无私地同意我引用《说e》中的内容，并希望我们这些“后浪”超过“前浪”，其诚恳和无私，使人肃然起敬，等等。这类真诚、无私、有效的帮助，拙笔难以卒述，谨在此对他们和其他提供帮助的学者，表示最真诚的、永远的感谢。

我还感谢参加编写此书的以下学者：(排名不分先后)陈梅、涂海、李开贵、曾品中、陈立、陈仕达、陈雪、陈楠、梁聪、谢久明、潘宁、黎渝、罗锋、郭汉卿、张云杰、黄新、徐仲先、徐元培。

本书参考、引用了书末所列的主要参考文献，以及限于篇幅未能列出的其他文献或其他各种媒体的内容。在此，对上述全部媒体的作者和出版者表示衷心的感谢，并对未列出媒体名称的作者和出版者表示深深的歉意。

由于作者水平及资料的限制，书中不妥、谬误之处，切盼读者指正。

陈仁政

2005年2月15日于四川自贡

数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。

数学的好玩有不同的层次和境界。数学大师看到的好玩之处和小学生看到的好玩之处会有所不同。就这套丛书而言，不同的读者也会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛，启迪学生心智；可以作为学生课外读物，有助于开阔眼界，增长知识、锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学生，研究生甚至数学研究工作者，也会开卷有益。——张景中