本手册在第1版的基础上进行修订再版，共26章，在前17章中除保留了第1版中第1-17章的大部分内容外，同时也对这部分内容做了一些修改和增补，另外，在18~26章中修订和扩写了常微分方程和动力系统、科学讨鲜、组合论、图论、运筹学、控制论、很优化方法、数学建模等内容，删去了第1版中的有限元方法、计算机基本知识、信息论等章节，同时也增加了有关有限差分法和动力系统、重要的多元分析等方面的内容。本手册内容比较全面、准确可靠、注意应用，同时注重编排技巧，并附有便于读者检索的比较详尽的索引。

第2版前言i
第1版前言iii
1.初等代数1
1.1代数运算1
1.1.1数系1
1.1.2数的基本运算规律1
1.1.3指数1
1.1.4对数2
1.1.5复数2
1.1.6乘法与因式分解公式4
1.1.7分式4
1.1.8比例6
1.1.9根式7
1.1.10不等式7
1.2数列8
1.2.1等差数列8
1.2.2等比数列9
1.2.3等比级数9
1.2.4常用的求和公式9
1.3排列、组合与二项式定理10
1.3.1排列10
1.3.2组合10
1.3.3二项式定理11
1.4元多项式11
1.4.1元多项式的运算11
1.4.2整除12
1.4.3优选公因式13
1.4.4因式分解定理14
1.5二阶、三阶行列式与代数方程15
1.5.1二阶、三阶行列式15
1.5.2三元一次方程组的解法16
1.5.3一元二次方程16
1.5.4一元三次方程16
1.5.5一元四次方程17
1.5.6根与系数的关系17
2.初等几何19
2.1平面几何19
2.1.1直线角19
2.1.2三角形20
2.1.3四边形21
2.1.4正多边形22
2.1.5同23
2.2立体几何24
2.2.1直线与平而24
2.2.2多面体26
2.2.3旋转体28
2.2.4立体角30
2.3证题法概述30
2.3.1命题命题之间的关系30
2.3.2证明方法31
3.三角学35
3.1平而三角35
3.1.1角的两种度量制35
3.1.2三角函数的定义和基本关系35
3.1.3三角函数的诱导公式三角函数的图形与特性37
3.1.4两角和的三角函数公式倍角公式与半角公式42
3.1.5三角函数的和差与积的关系式43
3.1.6三角形基本定理44
3.1.7斜三角形解法45
3.1.8三角形面积公式45
3.1.9反三角函数46
3.1.10三角方程48
3.2球面三角51
3.2.1球面角球面二角形球面三角形51
3.2.2球面三角形的性质52
3.2.3球面三角形的计算公式52
3.2.4球面直角三角形解法54
3.2.5球面斜角三角形解法55
4.解析几何56
4.1笛卡儿直角坐标系56
4.1.1笛卡儿直角坐标系56
4.1.2两点间的距离57
4.1.3分线段为定比的分点的坐标58
4.1.4坐标变换59
4.2曲线方程与曲面方程60
4.2.1基本概念60
4.2.2曲线的参数方程61
4.2.3交点与交线61
4.3平面上的直线62
4.3.1平而上的直线方程62
4.3.2点到直线的距离直线的法方程63
4.3.3两直线的夹角及平行、垂直条件63
4.3.4直线束三直线共点的条件64
4.4二次曲线64
4.1.1圆64
4.4.2椭圆65
4.4.3双曲线66
4.4.4抛物线67
4.4.5圆锥曲线68
4.4.6一般二次曲线71
4.5常用的平面曲线73
4.6平面、空间中的直线77
4.6.1平面方程77
4.6.2点到平面的距离平而的法方程78
4.6.3空间中的直线万程79
4.6.4直线、平面的相互位置79
4.7二次曲面82
4.7.1球面82
4.7.2椭球而83
4.7.3双曲面84
4.7.4抛物面85
4.7.5柱面85
4.7.6锥面87
4.7.7一般二次曲面87
5.线性代数92
5.1行列式92
5.1.1阶行列式的定义92
5.1.2行列式的性质93
5.1.3行列式的计算95
5.1.4拉普拉斯展开行列式的乘法公式96
5.1.5范德蒙德行列式与格拉姆行列式97
5.1.6连加号∑与连乘号Ⅱ98
5.2矩阵99
5.2.1n维向量空间99
5.2.2向量组的线性关系100
5.2.3矩阵及矩阵的秩101
5.2.4矩阵的运算102
5.2.5矩阵的逆105
5.2.6矩阵的分块初等矩阵105
5.2.7几种特殊的矩阵107
5.3线性方程组109
5.3.1含n个未知量、n个方程的线性方程组109
5.3.2一般线性方程组110
5.4线性空间114
5.4.1线性空间的维数基与坐标ll4
5.4.2线性子空间114
5.4.3子空间的交、和、直和115
5.5线性变换115
5.5.1线性变换的定义与运算115
5.5.2线性变抉的矩阵116
5.5.3本征值与本征向量117
5.6若尔当典范形120
5.6.1最小多项式120
5.6.2λ矩阵的典范形121
5.6.3不变因子与初等因子122
5.6.4若尔当典范形122
5.7二次型123
5.7.1二次型及其矩阵表示l23
5.7.2标准形124
5.7.3二次型的惯性指数124
5.7.4正（负）定二次型125
5.8欧几里得空间126
5.8.1度量矩阵126
5.8.2规范正交基126
5.8.3正交变换与对称变换127
5.8.4实对称矩阵的对角化128
5.8.5酉空间129
6.微积分130
6.1分析基础130
6.1.1实数130
6.1.2数列的极限132
6.1.3函数136
6.1.4函数的极限140
6.1.5无穷小、无穷大的比较112
6.1.6函数的连续性143
6.1.7Rn中的点集144
6.1.8n元函数的极限145
6.1.9n元函数的连续性146
6.2微分学147
6.2.1函数的导数与微分147
6.2.2多元函数的偏导数与全微分151
6.2.3隐函数155
6.2.4微分学基本定理160
6.3微分学的应用164
6.3.1单元函数微分学的应用164
6.3.2多元函数微分学的应用167
6.4不定积分171
6.4.1基本概念与性质171
6.4.2枳分法172
6.4.3原函数可表为有限形式的几类函数177
6.4.4不定积分表181
6.5定积分192
6.5.1定积分的定义192
6.5.2可积函数类193
6.5.3定积分的性质193
6.5.4定积分的中值定理194
6.5.5微积分学基本定理195
6.5.6定积分的计算195
6.6重积分196
6.6.1二重积分196
6.6.2三重积分198
6.6.3n重积分201
6.7定积分与重积分的应用202
6.7.1平面图形的面积202
6.7.2曲面的面积203
6.7.3体积204
6.7.4弧长204
6.7.5质量205
6.7.6重心205
6.7.7转动惯量206
6.8斯蒂尔切斯积分206
6.8.1有界变差函数206
6.8.2可求长曲线208
6.8.3斯蒂尔切斯积分的定义208
6.8.4斯蒂尔切斯积分存在的条件209
6.8.5斯蒂尔切斯积分的性质209
6.8.6斯蒂尔切斯积分的计算211
6.9曲线积分与曲面积分211
6.9.1第一型曲线积分211
6.9.2第二型曲线积分213
6.9.3第一型曲面积分216
6.9.4第一二型曲面积分218
6.10级数222
6.10.1数项级数与无穷乘积222
6.10.2函数项级数228
6.10.3幂级数232
6.10.4傅里叶级数236
6.11广义积分242
6.11.1无穷限的广义积分242
6.11.2无界函数的广义积分2Ⅱ3
6.11.3常用的广义积分公式245
6.12含参变量积分246
6.12.1含参变量的常义积分246
6.12.2含参变量广义积分的一致收敛性247
6.12.3由含参变量广义积分所确定的函数247
6.12.4常用的含参变量积分公式218
6.13数值逼近219
6.13.1引论249
6.13.2魏尔斯特拉斯定理219
6.13.3很好一致逼近多项式250
6.13.4切比雪夫多项式250
6.135切比雪夫多项式在数值逼近的领域里应用举例251
6.13.6线性内积空间的很好逼近253
6.13.7函数的很好平方逼近254
6.13.8正交多项式255
6.13.9用勒让德多项式作平方逼近256
6.13.10函数按切比雪夫多项式展开257
7.复变函数258
7.1复平面258
7.1.1复平面上曲线的方程258
7.1.2复平面上的点集区域258
7.1.3扩充复平面260
7.2复变函数261
7.2.1复变函数261
7.2.2复变函数的极限与连续性261
7.2.3复数序列与复数项级数262
7.2.4复函数序列与复函数项级数263
7.3全纯函数柯西黎曼方程264
7.3.1复变函数的导数264
7.3.2共轭调和函数265
7.3.3单叶函数及其反函数266
7.3.4多值函数黎曼面266
7.4初等复函数268
7.4.1有理函数268
7.4.2指数函数268
7.4.3三角函数双曲函数269
7.4.4对数函数幂函数269
7.4.5反三角函数270
7.4.6初等复函数270
7.5复积分柯西积分定理与柯西积分公式270
7.5.1复积分的定义与简单性质270
7.5.2柯西积分定理272
7.5.3柯西积分公式273
7.5.4柯两型积分274
7.6全纯函数的级数表示274
7.6.1复幂级数274
7.6.2泰勒展开式275
7.6.3常用的泰勒展开式276
7.6.4洛朗展开式278
7.7孤立奇点与留数279
7.7.1孤立奇点及其分类279
7.7.2解析函数在无穷远点的性态280
7.7.3留数留数定理281
7.7.4利用留数计算定积分282
7.7.5辐角原理283
7.8亚纯函数整函数284
7.8.1亚纯函数284
7.8.2亚纯函数的部分分式展开285
7.8.3整函数的无穷乘积展开286
7.9解析延拓287
7.9.1解析函数元素287
7.9.2解析延拓287
7.10共形映射289
7.10.1全纯函数与共形映射289
7.10.2分式线性映射289
7.10.3某些初等函数的映射特性290
7.10.4对称原理上半平面映射为多角形290
7.10.5蔡曼映射定理边界对应291
7.10.6常用共形映射表293
7.11解析函数在解平面狄利克雷问题中的应用295
7.12解析函数存流体力学中的应用296
7.13解析函数在电磁学与热学中的应用298
7.14解析函数在平而弹性理论中的应用299
8.常微分方程与动力系统301
8.1一般概念301
8.1.1有关常微分方程的概念301
8.1.2有关方程的解的概念301
8.2一阶微分方程302
8.2.1存在和专享性定理302
8.2.2一阶微分方程的若干可积类型及其通解303
8.2.3奇解及其求法308
8.3高阶微分方程309
8.3.1n阶正规形微分方程与一阶正规形微分方程组的互化309
8.3.2存在和专享性定理310
8.3.3高阶微分方程的若干可积类型及其通解310
8.4高阶线性微分方程312
8.4.1朗斯基行列式312
8.4.2线性微分方程解的结构313
8.4.3常系数线性微分方程315
8.4.4欧拉方程318
8.4.5二阶齐次线性微分方程解的定性性质318
8.4.6二阶齐次线性微分方程的幂级数解法319
8.5线性微分方程组321
8.5.1线性微分方程组解的结构321
8.5.2常系数线性微分方程组322
8.6动力系统与稳定性理论初步325
8.6.1微分方程的解对初值的连续相依性与可微性325
8.6.2解对参数的连续相依性与可微性326
8.6.3功力系统的一般概念326
8.6.4二维定常系统的极限环328
8.6.5二维常系数线性微分方程组的奇点329
8.6.6李雅普诺夫稳定性的基本概念332
8.6.7稳定性与不稳定性的基本定理333
8.6.8齐次常系数线性微分方程组零解的稳定性334
8.6.9结构稳定性335
8.7微分方程在力学、电学中的应用335
8.7.1机械系统的振动335
8.7.2简单电路338
8.8差分方程340
8.8.1一般概念340
8.8.2线性差分方程340
8.8.3例341
8.9分岔与混沌342
8.9.1连续系统的分岔342
8.9.2霍普夫分岔定理343
8.9.3离散系统的分岔344
8.9.4混沌概念314
8.9.5混沌的数值特征315
9.偏微分方程论347
9.1一般概念317
9.2阶偏微分方程318
9.2.1一阶线性偏微分方程348
9.2.2一阶拟线性偏微分方程349
9.2.3一阶非线性偏微分方程351
9.3一阶线性偏微分方程组354
9.3.1特征方程特征方向特征曲线354
9.3.2两个自变量的一阶线性方程组的分类354
9.3.3狭义双曲型方程组355
9.4二阶线性偏微分方程的分类357
9.4.1两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简和分类357
9.4.2n个自变量的二阶线性方程的分类358
9.5三类典型的二阶线性偏微分方程358
9.5.1一维波动方程与定解条件的提法359
9.5.2高维波动方程360
9.5.3热传导方程362
9.5.4拉普挣斯方程和泊松方程364
9.6偏微分方程的分离变量法366
9.6.1线性齐次方程和齐次边界条件366
9.6.2线性非齐次方程和齐次边界条件369
9.6.3齐次化原理370
9.6.4非齐次边界条件的处理372
9.7拉普拉斯方程的格林函数法373
9.7.1格林函数及其性质373
9.7.2利用格林函数解拉普拉斯方程的第一边值问题373
9.7.3利用格林函数解泊松方程的第一边值问题377
9.8拉普拉斯方程的位势方法377
9.8.1单层位势双层位势377
9.8.2用位势理论解拉普拉斯方程的边值问题380
9.9偏微分方程的积分变换法382
9.10δ函数和基本解384
9.10.1δ函数及其性质384
9.10.2基本解385
9.11定解问题的适定性389
9.11.1维波动方程的定解问题的适定性389
9.11.2调和函数的极值原理狄利克雷问题的适定性391
9.11.3一维热传导方程定解问题的适定性391
9.11.4柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理392
9.12偏微分方程的差分解法392
9.12.1偏导数与差商392
9.12.2拉普拉斯方程的差分解法393
9.12.3热传导方程的差分解法396
9.12.4波动方程的差分解法397
10.微分几何399
10.1平面曲线399
10.1.1平面曲线的方程切线与法线399
10.1.2平而曲线的曲率401
10.1.3平面曲线族的包络线402
10.1.4平面曲线的整体性质403
10.2空间曲线405
10.2.1空间曲线的切向量、主法向量与副法向量曲率与挠率405
10.2.2弗雷内公式曲线在一点邻近的性态407
10.2.3空间曲线论的基本定理408
10.3曲面的参数表示409
10.3.1曲面的参数表示409
10.3.2曲面的切平面与法向量410
10.3.3常用的曲面410
10.4曲面的第一、第二基本型413
10.4.1第一基本型413
10.4.2等距对应共形对应414
10.4.3第二基本型416
10.4.4迪潘标形共轭方向渐近方向417
10.5曲面上的曲率418
10.5.1法曲率418
10.5.2主曲率419
10.5.3中曲率全曲率420
10.6曲面的球面表示第三基本型421
10.6.1曲面的球面表示421
10.6.2第三基本型422
10.7直纹曲面可展曲面422
10.7.1直纹曲面与可展曲面的构造422
10.7.2直纹曲面与可展曲面的性质424
10.8曲面论的基本定理425
10.8.1曲面的基本公式425
10.8.2曲面沦的基本定理426
10.9测地曲率测地线426
10.9.1测地曲率426
10.9.2测地线427
10.9.3测地坐标系428
10.9.4测地挠率428
10.10曲面上向量的平行移动428
10.11曲面的一些整体性质429
11.积分方程431
11.1一般概念431
11.2弗雷德霍姆定理433
11.3退化核的积分方程434
11.3.1退化核434
11.3.2退化核的积分方程的解法434
11.4逐次逼近法叠核和预解核436
11.4.1逐次逼近法436
11.4.2叠核和预解核436
11.5对于任何λ的弗雷德霍姆方程437
11.6对称核438
11.6.1对称核方程的特征值和特征函数438
11.6.2对称核按特征函数系的展开式439
11.6.3对称核的分类默塞尔定理440
11.6.4埃尔米特核和斜射称核440
11.7型无界核奇异积分方程441
11.7.1核为型的积分方程441
11.7.2奇异积分方程442
11.8沃尔泰拉方程443
11.8.1第二类沃尔泰托积分方程和方程组443
11.8.2特殊形式的沃尔泰拉方程444
11.8.3第一类沃尔泰拉积分方程阿贝尔方程445
11.9积分方程的近似解法446
11.9.1数值积分方法446
11.9.2近似核方法447
11.9.3迭代法447
11.9.4变分方法447
12.变分法418
12.1一般概念448
12.2固定边界的变分问题449
12.2.1最简单的变分问题欧托方程449
12.2.2含多个未知函数的泛函451
12.2.3含高阶导数的泛函451
12.2.4多元函数的泛函452
12.2.5用参数形式表示的泛函453
12.3泛函极值的充分条件454
12.3.1平稳曲线场与雅可比条件454
12.3.2泛函极值的充分条件405
12.4可动边界的变分问题455
12.4.1型泛函455
12.4.2型泛函456
12.4.3型泛函457
12.5条件变分问题457
12.5.1泛函在约束条件下的变分问题457
12.5.2泛函在约束条件下的变分问题458
12.6变分问题的直接法459
12.6.1直接法和极小化序列459
12.6.2里兹法460
12.6.3欧拉有限差分法461
12.6.4康托罗维奇法462
12.7力学中的变分原理463
12.7.1哈密顿原理463
12.7.2最小势能原理463
12.7.3变分法和数学物理微分方程464
13.概率论465
13.1基本概念465
13.1.1事件465
13.1.2古典概型466
13.1.3概率空间466
13.1.4条件概率468
13.2维随机变量及其分布469
13.2.1随机变量与分布函数的定义469
13.2.2离散型随机变量的概率分布470
13.2.3几种重要的离散型分布470
13.2.4连续型随机变量的概率密度472
13.2.5几种重要的连续型分布472
13.2.6随机变量的函数474
13.3多维随机变量及其分布476
13.3.1多维随机变量与分布函数476
13.3.2边际分布478
13.3.3条件分布479
13.3.4随机变量的相互独立性480
13.3.5随机向量的函数481
13.3.6几种重要的随机向量函数的分布483
13.3.7随机向量的变换485
13.4维随机变量的数字特征487
13.4.1数学期望487
13.4.2随机变量函数的数学期望488
13.4.3方差489
13.5随机向量的数字特征490
13.5.1一般概念490
13.5.2协方差矩阵相关系数490
13.5.3条件数学期望492
13.6母函数与特征函数493
13.6.1母函数493
13.6.2特征函数的定义及性质495
13.6.3逆转公式及专享性定理496
13.6.4分布函数列的弱收敛496
13.6.5连续性定理497
13.6.6博赫纳辛钦定理497
13.6.7维随机向量的特征函数498
13.7常用分布简表499
13.8极限定理499
13.8.1随机变量的收敛性499
13.8.2大数定律504
13.8.3加强的大数定律505
13.8.4中心极限定理505
附录507
数值表1泊松分布的数值表507
数值表2数值表(x≥0)509
数值表3x2分布表512
数值表4t分布表514
14.近代数学选题516
14.1集论516
14.1.1集516
14.1.2集的运算516
14.1.3集的关系与运算的图形表示518
14.1.4关系518
14.1.5映射519
14.1.6积集与幂集520
14.1.7等价关系与商集520
14.1.8偏序关系521
14.1.9选择公理及其等价命题521
14.1.10基数522
14.1.11布尔代数522
14.1.12命题代数开关代数523
14.2代数结构524
14.2.1半群524
14.2.2群525
14.2.3正规子群商群526
14.2.4循环群有限群526
14.2.5环527
14.2.6理想商环527
14.2.7域528
14.2.8模向量空间代数528
14.3拓扑空间530
14.3.1度量空间530
14.3.2度量空间中的开集和闭集530
14.3.3度量空间到度量空间的连续映射531
14.3.4接近度量空间532
14.3.5拓扑空间533
14.3.6拓扑空间剑拓扑空间的连续映射同胚534
14.3.7分离性534
14.3.8积拓扑空间534
14.3.9商拓扑空间535
14.3.10连通性536
14.3.11紧性536
14.3.12可度量化拓扑空间537
14.4勒贝格积分537
14.4.1勒贝格外测度537
14.4.2勒贝格测度538
14.4.3勒贝格可测函数538
14.4.4依测度收敛性539
14.5勒贝格积分540
14.4.6勒贝格积分的性质541
14.4.7绝对连续函数542
14.4.8重积分与累次积分543
14.5泛函分析544
14.5.1巴拿赫空间的定义与例544
14.5.2连续线性算了对偶空间546
14.5.3巴拿赫空间中的收敛性547
14.5.4线性泛函分析的基本定理547
14.5.5巴拿赫空间之间连续映射的导数548
14.5.6希尔们特空间的定义与例548
14.5.7正交投影549
14.5.8伴随算子550
14.5.9正交系551
14.5.10谱552
14.5.11紧算子的谱分析553
14.5.12广义函数的定义与例553
14.5.13广义函数的导数554
14.5.14广义函数的卷积与傅里叶变换556
14.6微分流形558
14.6.1微分流形的定义与例558
14.6.2可微映射微分同胚559
14.6.3切空间560
14.6.4余切空间560
14.6.5微分流形之间的映射的微分与切变换561
14.6.6微分子流形562
14.6.7定向流形563
14.6.8向量场泊松括号积563
14.6.9张量场微分形式564
14.6.10外微分565
14.6.11斯托克斯公式565
14.6.12黎曼流形566
15.向量分析张量分析568
15.1向量代数568
15.1.1向量及其运算568
15.1.2向量的坐标569
15.1.3向量的数量积570
15.1.4向量的向量积571
15.2向量函数的微积分573
15.2.1单元向量函数的微分法573
15.2.2单元向量函数的积分法574
15.2.3多元向量函数的微积分574
15.3数量场575
15.3.1场575
15.3.2数量场的梯度575
15.3.3哈密顿算子576
15.4向量场577
15.4.1向量场的散度577
15.4.2向量场的旋度578
15.4.3场论基本定理579
15.4.4几种特殊的向量场579
15.5场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式580
15.5.1正交曲线坐标系580
15.5.2场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式581
15.6向量分析在运动学中的应用583
15.6.1质点运动的速度与加速度583
15.6.2刚体的运动584
15.6.3质点的相对运动584
15.7向量分析在动力学中的应用585
15.7.1牛顿第二定律与达朗贝尔原理585
15.7.2动量定理586
15.7.3动量矩定理586
15.7.4动能定理587
15.8向量分析在电磁学中的应用588
15.8.1库伦定律与高斯定理588
15.8.2安培比奥萨既定律与安培定理588
15.8.3法拉第电磁感应定律麦克斯韦方程组589
15.9张量590
15.9.1张量概念590
15.9.2张量的分量591
15.9.3张量的运算592
15.9.4外代数593
15.10共变微分594
15.10.1仿射联络594
15.10.2共变微分594
15.10.3曲率张量与挠率张量596
15.11黎曼空间中的张量分析596
15.11.1黎曼联络596
15.11.2各种算子的表示式597
15.11.3曲率张量的性质597
15.11.4平行移动测地线598
15.12张量分析在离散质点系力学中的应用599
15.12.1质点的自由运动599
15.12.2质点的约束运动600
15.12.3质点系的约束运动60l
15.13张量分析在连续介质力学中的应用601
15.13.1应力张量601
15.13.2应变张量602
15.13.3平衡方程与运动方程602
15.11张量分析在相对论中的应用603
15.14.1狭义相对论603
15.14.2广义相对沦604
16.积分变换606
16.1傅里叶积分与傅里叶变换606
16.1.1傅里叶积分606
16.1.2傅里叶变换概念607
16.1.3傅里叶变换的性质609
16.1.4卷积与相关函数610
16.1.5多重傅里叶变换611
16.2傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换613
16.3傅里叶核615
16.4有限傅里叶变换617
16.4.1有限正弦变换与有限余弦变换的定义反演公式617
16.4.2函数的导数的有限傅里叶变换公式618
16.4.3用有限傅里叶变换解偏微分方程定解问题的例618
16.4.4多重有限傅里叶变换619
16.5离散傅里叶变换622
16.5.1波形采样622
16.5.2离散傅里叶变换对624
16.5.3离散卷积与离散相关627
16.5.4离散傅里叶变换的性质627
16.6快速傅里叶变换628
16.6.1矩阵方程与快速傅里叶变换算法628
16.6.2信号流程图631
16.7拉普拉斯变换632
16.7.1拉普拉斯变换概念632
16.7.2拉普拉斯变换的性质633
16.7.3卷积与杜阿梅尔公式635
16.7.4拉普拉斯逆变换636
16.7.5托普托斯变换在解微分方程上的应用637
16.7.6二重拉普拉斯变换638
16.8汉克尔变换有限汉克尔变换639
16.8.1汉克尔变换639
16.8.2汉克尔变换性质639
16.8.3有限汉克尔变换640
16.9梅林变换希尔伯特变换640
16.9.1梅林变换640
16.9.2希尔伯特变换641
16.10积分变换简表642
16.10.1傅里叶变换简表642
16.10.2傅里叶余弦变换简表644
16.10.3傅里叶正弦变换简表645
16.10.4有限傅里叶余弦变换简表646
16.10.5有限傅里叶正弦变换简表647
16.10.6拉普拉斯变换简表648
16.10.7汉克尔变换简表651
16.10.8梅林变换简表653
16.10.9希尔伯特变换简表655
17.特殊函数656
17.1Γ函数656
17.1.1Γ函数定义与递推关系656
17.1.2Γ函数的无穷乘积表达式Γ函数与三角函数的关系657
17.1.3Γ函数的积分表达式658
17.1.4比内公式渐近展开斯特林公式658
17.1.5Γ函数的对数微商多Γ函数不接近Γ函数659
17.2B函数660
17.3误差函数菲涅尔积分661
17.4指数积分对数积分正弦积分余弦积分662
17.5勒让德函数勒让德多项式663
17.5.1勒让德方程与勒让德函数663
17.5.2勒让德多项式的定义微商表示与积分表示665
17.5.3Pn(z)的母函数Pn(z)的递推公式667
17.5.4Pn(z)的正交性傅里叶-勒让德级数667
17.5.5第二类勒让德函数668
17.5.6连带勒让德函数及其递推公式669
17.5.7的正交性按展开670
17.5.8n阶球面调和函数及其正交性671
17.6贝塞尔函数673
17.6.1贝塞尔方程与贝塞尔函数673
17.6.2第一类贝塞尔函数及其递推公式673
17.6.3半奇数阶贝塞尔函数675
17.6.4Jv(z)的积分表示整数阶的贝塞尔函数的母函数675
17.6.5Jv(z)的零点677
17.6.6贝塞尔函数的正交性傅里叶贝塞尔级数677
17.6.7第二类贝塞尔蛹数678
17.6.8第三类贝塞尔函数680
17.6.9修正贝塞尔函数680
17.6.10开耳芬函数682
17.6.11球贝塞尔函数682
17.6.12各类贝塞尔函数的渐近展开式683
17.7埃尔米特函数与埃尔米特多项式684
17.8拉盖尔函数与拉盖尔多项式685
17.9切比雪夫多项式687
17.9.1第一类切比雪夫多项式687
17.9.2第二类切比雪夫多项式689
17.10超几何函数689
17.10.1超几何方程689
17.10.2超几何级数与超几何函数690
17.10.3雅可比多项式691
17.10.4超几何函数的积分表示692
17.10.5用超几何函数表示的富克斯型方程解的例692
17.11合流超几何函数692
17.11.1合流超儿何方程与合流超几何函数692
17.11.2合流超几何函数的积分表示693
17.11.3惠特克方程与惠特克函数694
17.11.4抛物柱面函数695
17.12椭圆积分与椭圆函数696
17.12.1椭圆积分696
17.12.2不接近椭圆积分与接近椭圆积分698
17.12.3椭圆函数698
17.12.4魏尔斯特拉斯椭圆函数函数σ函数699
17.12.5θ函数701
17.12.6雅可比椭圆函数701
18.科学计算704
18.1误差与近似70
18.1.1误差和有效数字704
18.1.2稳定性和数值稳定性705
18.1.3收敛速度706
18.1.4里查森(Richardson)外推706
18.2插值法707
18.2.1拉格朗日插值707
18.2.2尼维勒(Ncvillc)算法和艾特肯(Aitkcn)算法708
18.2.3牛顿插值709
18.2.4等距节点插值709
18.25埃尔米特插值710
18.2.6分段线性插值711
18.2.7分段三次埃尔米特插值711
18.2.8t次样条插值712
18.3曲线拟合714
18.3.1曲线拟合的最小二乘法714
18.3.2直线拟合715
18.3.3用正交函数作最小二乘拟合716
18.4数值微分717
18.4.1求导公式717
18.4.2样条求导718
18.5数值积分718
18.5.1数值积分的基本概念718
18.5.2牛顿-科茨公式719
18.5.3复化求积公式721
18.5.4龙贝格(Romberg)积分722
18.55高斯公式722
18.5.6重积分728
18.5.7蒙特卡洛(Monte-Carlo)法729
18.6常微分方程的数值解法731
18.6.1阶方程及单步法731
18.6.2线性多步法734
18.6.3阶方程组736
18.6.4化高阶方程为一阶方程组738
18.7非线性方程和非线性方程组739
18.7.1非线性方程739
18.7.2代数方程求棍742
18.7.3非线性方程缉745
18.8解线性方程组的直接方法746
18.8.1高斯消去法746
18.8.2选主元747
18.8.3高斯若尔当消去法748
18.8.4LU分解法749
18.8.5LDLT分解法752
18.8.6平方根法753
18.8.7追赶法754
18.9解线性方程组的迭代法755
18.9.1基本概念755
18.9.2雅可比迭代法756
18.9.3高斯-赛德尔迭代法757
18.9.4超松弛迭代法758
18.10矩阵的特征值与特征向量计算759
18.10.1一些代数知识759
18.10.2幂法760
18.10.3反幂法762
18.10.4魏兰特(Wielandt)紧缩764
18.10.5QR方法764
18.10.6雅可比方法765
18.10.7豪斯霍尔德方法768
18.10.8对称三对角阵的特征值计算77l
18.11偏微分方程的数值解法774
18.11.1有限差分法774
18.12编程技巧779
19.组合论781
19.1生成函数781
19.1.1生成函数及其代数运算781
19.1.2牛成函数的分析运算788
19.1.3普生成函数与指数生成函数间的关系790
19.2复合函数的高阶导数792
19.3斯特林数与拉赫数794
19.3.1斯特林数794
19.3.2拉赫数796
19.4伯努利数与贝尔数797
19.4.1伯努利数797
19.4.2贝尔数797
19.5伯努利多项式贝尔多项式求和公式798
19.5.1伯努利多项式798
19.5.2贝尔多项式799
19.5.3求和公式800
19.6反演公式801
19.6.1基本概念801
19.6.2反演公式803
19.6.3二项式型多项式列804
19.7容斥原理807
19.7.1一些记号807
19.7.2容斥原理807
19.7.3容斥原理的应用举例808
19.8递归关系809
19.8.1有关递归关系的一些基本概念809
19.8.2元线性递归关系810
19.8.3非线性递归关系811
19.8.4阿贝尔恒等式811
19.85拉姆齐定理拉姆齐数及其应用812
19.9(0,1)矩阵814
19.9.1基本概念814
19.9.2积和式与关联矩阵的性质815
19.10线秩和项秩817
19.10.1线秩和项秩817
19.10.2双随机矩阵817
20.图论819
20.1基本概念819
20.1.1图与子图819
20.1.2图的运算821
20.2通路与回路822
20.2.1顶点的度822
20.2.2通路与同路823
20.2.3赋权图与最短通路824
20.3E图与H图825
20.3.1E图825
20.3.2H图825
20.4树与割集826
20.4.1树与生成树826
20.4.2连枝集与基本回路集827
20.4.3割集与断集827
20.5图的矩阵表示828
20.5.1邻接矩阵828
20.5.2美联矩阵829
20.5.3回路矩阵830
20.5.4割集矩阵832
20.6平面图832
20.6.1平面图832
20.6.2对偶图834
20.7网络流835
20.7.1网络与流835
20.7.2标号算法836
21.随机过程837
21.1随机过程的概念837
21.1.1随机过程的定义837
21.1.2随机过程的分布函数838
21.1.3随机过程的数字特征839
21.1.4两个或两个以上随机过程的联合分布和数字特征839
21.2马尔可夫过程840
21.2.1马尔可夫过程的定义840
21.2.2马尔可夫链841
21.2.3时间连续、状态离散的马尔可夫过程844
21.2.4扩散过程846
21.3平稳随机过程848
21.3.1平稳随机过程的定义818
21.3.2平稳随机过程的数字特征848
21.3.3各态历经性849
21.3.4相关函数的性质851
21.3.5平稳过程的功率谱密度852
22.数理统计855
22.1抽样分布855
22.1.1基本概念855
22.1.2经验分布856
22.1.3抽样分布857
22.2参数估计861
22.2.1点估计861
22.2.2点估计的评价标准862
22.2.3区间估计864
22.2.4随机参数的估计867
22.3假设检验870
22.3.1假设检验的原理与基本步骤870
22.3.2参数假设检验870
22.3.3非参数假设检验875
22.11线性模型878
22.4.1基本概念878
22.4.2叫归分析879
22.4.3方差分析883
22.5抽样调查887
22.5.1基本概念887
22.5.2简单随机抽样888
22.5.3不等概PPs抽样894
22.5.4分层抽样895
22.5.5多阶抽样898
22.6多无数据分析900
22.6.1多元数据900
22.6.2主成分分析901
22.6.3因子分析904
22.6.4多总体费歇尔判别905
22.6.5聚类分析907
23.运筹学909
23.1排队论909
23.1.1服务系统的分类与特征909
23.1.2排队模型的符寸表示909
23.1.3服务系统的运行指标910
23.1.4状态概率及其求解的方法911
23.1.5排队论中常用的事件流的概率分布911
23.1.6单通道损失制(M/M/1/0)913
23.1.7多通道损火制(M/M/n/0)914
23.1.8单通道等待制(M/M)915
23.1.9多通道等待制(M/M/n)916
23.1.10单通道混合制(M/M/m)918
23.1.11多通道混合制(M/M/m)920
23.1.12M/G/1模型921
23.1.13M/D/1模型.M/Ek/1模型922
23.1.14排队系统的很优化923
23.2决策论925
23.2.1决策模型925
23.2.2确定型决策问题925
23.2.3风险型决策问题926
23.2.4不确定型决策问题930
23.3对策论933
23.3.1基本概念933
23.3.2存在定理935
23.3.3矩阵对策936
23.3.4矩阵对策的求解方法939
23.4存储论943
23.4.1基本概念913
23.4.2确定性存储模型914
23.4.3随机性存储模型945
24.控制理论951
24.1基本概念95l
24.1.1系统的状态951
24.1.2系统的方程951
24.1.3很优控制问题953
24.1.4闭环控制与开环控制955
24.2线性状态方程的解955
24.2.1时变系统的解955
24.2.2转移矩阵956
24.2.3连续状态方程的离散化956
24.2.4离散状态方程的解957
24.3线性系统的接近能控性与接近能观测性959
24.3.1连续系统的能控性与能观测性959
24.3.2离散系统的能控性与能观测性962
24.3.3能控性与能观测性的对偶关系963
24.4动态规划方法963
24.4.1用动态规划解离散型很优控制问题的方法963
24.4.2离散型随机线性二次很优控制问题的解法965
24.4.3连续系统的哈密顿雅可比贝尔曼方程965
24.4.4连续型线性二次很优控制问题的解法966
24.5最小值原理967
24.5.1连续系统的最小值原理967
24.5.2离散系统的最小值原理968
24.6随机系统的很优控制969
24.6.1基本概念969
24.6.2卡尔曼滤波方法969
24.6.3随机控制系统的分离定理971
25.很优化方法974
25.1线性规划974
25.1.1线性规划问题的一般形式974
25.1.2化线性规划的一般形式为标准形式975
25.1.3线性规划问题解的概念976
25.1.4线性规划的基本理论978
25.1.5单纯形法980
25.1.6求初始基本可行解的人工变量法985
25.1.7线性规划的对偶理论991
25.1.8对偶单纯形法994
25.1.9内点法996
25.2非线性规划999
25.2.1问题与解的概念999
25.2.2凸函数和凸规划1000
25.2.3很优性条件和对偶1002
25.2.4数值很优化方法的一般概念1007
25.2.5一维搜索法1009
25.2.6无约束很优化的数值方法1011
25.2.7约束很优化的数值方法1014
26.数学建模1024
26.1数学模型和数学建模1024
26.2开普勒三定律、牛顿万有引力定律和行星运动的规律1026
26.2.1引言1026
26.2.2从开普勒三定律导出牛顿万有引力定律1027
26.2.3从万有引力定律导出开普勒三定律1029
26.3量纲分析1033
26.4口常生活中的数学模型1036
26.4.1复利、年金1036
26.4.2人口问题的数学模型1038
26.4.3传染病流行的数学模型1040
26.4.4减肥的数学模型1042
26.5气象学中的Lorenz模型和确定性混沌1043
26.6模拟方法建模1045
26.6.1随机数的生成方法1045
26.6.2确定性行为的模拟：曲线下的面积1047
26.6.3随机行为的模拟1048
26.6.4港口船只排队问题1049
数学家译名表（原名-中译名）1005
数学家译名表（中译名-原名）1059
索引1063