本书系统介绍非交换剩余格上的滤子和态的相关理论及其应用。全书共7章，具体内容包括基础知识、BL－代数上的滤子理论、剩余格上的滤子理论、非交换剩余格上的滤子理论、EQ－代数上的滤子理论、非交换剩余格上的态理论及非交换剩余格上的广义态理论。
本书可作为非经典数理逻辑、逻辑代数等基础数学、应用数学和人工智能专业的研究生教材，也可供数学与计算机等相关专业的高年级本科生、教师与科研人员阅读参考。

第1章 基础知识
1.1 多值逻辑系统简介
1.1.1 经典命题逻辑系统
1.1.2 多值命题逻辑系统
1.2 偏序集与格
1.2.1 偏序集
1.2.2 格、Boole代数
1.2.3 理想与滤子
1.3 三角模与剩余格
1.3.1 三角模
1.3.2 剩余格
1.4 伪三角模与非交换剩余格
1.4.1 伪三角模
1.4.2 非交换剩余格
第2章 BL-代数上的滤子理论
2.1 BL-代数上的滤子及其特征
2.1.1 BL-代数的基本性质
2.1.2 滤子的基本概念
2.1.3 布尔滤子
2.1.4 蕴涵滤子
2.1.5 正蕴涵滤子
2.1.6 奇异滤子
2.2 BL-代数上的n重滤子
2.2.1 n重蕴涵滤子
2.2.2 n重正蕴涵滤子
2.2.3 n重奇异滤子
2.2.4 n重布尔滤子
2.3 BL-代数上的模糊滤子
2.3.1 模糊滤子的基本概念
2.3.2 模糊素滤子
·iv·2.3.3 模糊布尔滤子
2.3.4 模糊同余
2.3.5 模糊蕴涵滤子
2.4 BL-代数上的广义模糊滤子
2.4.1 (∈,∈∨q)-模糊滤子
2.4.2 (∈,∈∨q)-模糊布尔滤子
2.4.3 (∈,∈∨q)-模糊蕴涵滤子
2.4.4 (∈,∈∨q)-模糊奇异滤子
第3章 剩余格上的滤子理论
3.1 剩余格上的滤子
3.1.1 滤子的定义
3.1.2 布尔滤子
3.1.3 蕴涵滤子
3.1.4 奇异滤子
3.1.5 对合滤子
3.1.6 MTL-滤子
3.1.7 可除滤子
3.1.8 固执滤子
3.1.9 IMTL-滤子
3.1.10 强滤子
3.1.11 EIMTL-滤子
3.1.12 结合滤子
3.2 剩余格上的n重滤子
3.2.1 n重蕴涵滤子
3.2.2 n重正蕴涵滤子
3.2.3 n重奇异滤子
3.2.4 n重MTL-滤子
3.2.5 n重固执滤子
3.2.6 n重对合滤子
3.3 剩余格上滤子理论的统一化
3.3.1 I-滤子
3.3.2 t-滤子
3.3.3 扩展滤子
3.3.4 商代数的归类
3.4 剩余格上的模糊滤子
3.4.1 模糊滤子的基本概念
3.4.2 模糊同余
3.4.3 模糊滤子的格
3.4.4 模糊布尔滤子
3.4.5 模糊蕴涵滤子
3.4.6 模糊对合滤子
3.4.7 模糊MTL-滤子
3.5 剩余格上模糊滤子的推广
3.5.1 模糊t-滤子
3.5.2 模糊t-滤子之间的关系
3.5.3 模糊扩展滤子
3.5.4 模糊滤子的格
3.6 剩余格上的直觉模糊滤子
3.6.1 直觉模糊滤子的基本概念
3.6.2 直觉模糊滤子的等价描述
3.6.3 (λ,μ)直觉模糊滤子
第4章 非交换剩余格上的滤子理论
4.1 非交换剩余格上的滤子
4.1.1 滤子的定义
4.1.2 布尔滤子
4.1.3 正蕴涵滤子
4.1.4 蕴涵滤子
4.1.5 奇异滤子
4.1.6 对合滤子
4.1.7 固执滤子
4.1.8 弱蕴涵滤子
4.2 非交换剩余格上的n重滤子
4.2.1 n重滤子的基本概念
4.2.2 n重整滤子
4.2.3 n重完全滤子
4.2.4 n重二部滤子
4.2.5 n重蕴涵滤子
4.2.6 n重奇异滤子
4.2.7 n重PMTL滤子
4.3 非交换剩余格上的I-滤子
4.3.1 I-滤子的定义及特征
4.3.2 I-滤子的子类及其特征
4.3.3 I-滤子的新子类
4.4 非交换剩余格上的左、右滤子
4.4.1 左(右)PMTL滤子
4.4.2 左(右)Rl滤子
4.4.3 左(右)PBL滤子
4.4.4 左(右)Heyting滤子
4.4.5 左(右)布尔滤子
4.4.6 左(右)伪MV滤子
4.4.7 n重左(右)Heyting滤子
4.4.8 n重左(右)布尔滤子
4.4.9 n重左(右)伪MV滤子
4.5 非交换剩余格上的模糊滤子
4.5.1 模糊滤子的基本概念
4.5.2 模糊布尔滤子及其等价描述
4.5.3 模糊奇异滤子
4.5.4 L-模糊滤子及L-模糊素滤子
4.5.5 n重L-模糊滤子
4.6 非交换剩余格上的广义模糊滤子
4.6.1 (α,β]-模糊滤子及其性质
4.6.2 几类特殊的(α,β]-模糊滤子
4.6.3 (α,β)T-模糊滤子
4.6.4 (α,β)T-模糊滤子的子类
第5章 EQ-代数上的滤子理论
5.1 EQ-代数及其子类
5.1.1 交换EQ-代数
5.1.2 非交换EQ-代数
5.1.3 EQ-代数的子类
5.2 EQ-代数上的滤子、预滤子
5.2.1 EQ-代数上的滤子、预滤子的基本概念
5.2.2 蕴涵预滤子与正蕴涵预滤子
5.2.3 固执预滤子与极大预滤子
5.2.4 EQ-代数上预滤子的格
5.3 EQ-代数上的模糊滤子
5.3.1 EQ-代数上的模糊滤子的基本概念
5.3.2 EQ-代数上模糊滤子的子类
5.3.3 EQ-代数上的犹豫模糊滤子
5.3.4 EQ-代数上的落影模糊滤子
第6章 非交换剩余格上的态理论
6.1 伪BL-代数上的态
6.1.1 伪BL-代数的基础知识
6.1.2 伪BL-代数上的Bosbach态
6.1.3 好的伪BL-代数上的Rie?an态
6.1.4 伪BL-代数上的态-态射
6.2 σ完备BL-代数上的态
6.2.1 连续

数理逻辑是一门推理艺术, 它提供了从已知前提推出
所需结论的途径和方法,是人脑思维方式的形式化模拟. 随
着有限值逻辑、模糊逻辑和格值逻辑等众多非经典逻辑的提
出和研究, 由此产生的逻辑代数已经成为不确定性理论与
方法的主要理论基础之一, 在人工智能等多个研究领域得
到广泛的应用, 涌现了一批重要的理论和应用研究成果.
在这些国内外研究工作的基础上, 作者进行了一些新的探
索, 主要涉及非交换剩余格上的滤子和态的相关问题. 本
书正是近年来相关研究成果的总结, 同时介绍了国内外众
多学者的最新研究成果.
逻辑代数内容广泛且深刻, 本书仅选取非交换剩余格
为基本研究对象, 还包括了其子类如BL-代数、伪BL-代数
、剩余格及更广泛的EQ-代数, 针对其上的滤子和态的相关
理论进行阐述. 与数理逻辑的演绎系统相对应, 滤子可以
看成是逻辑代数上的推理模型; 与经典概率论相对应, 态
可以看成是逻辑代数上的概率模型. 针对以上内容, 全书
共分为7 章, 主要内容如下:
(1) 基础知识, 包括从经典二值逻辑到多值逻辑系统
的基础知识, 偏序集与格的概念和性质, 三角模与剩余格
、伪三角模与非交换剩余格的定义和性质等. 本书所说的
剩余格是指最狭义的剩余格, 即有界整的交换剩余格, 非
交换剩余格是指有界整的非交换剩余格.
(2) BL-代数上的滤子理论, 包括BL-代数上的滤子及
其特征、滤子的子类(如布尔滤子、蕴涵滤子等)、BL-代数
上的n 重滤子及其子类、BL-代数上的模糊滤子及其子类、
BL-代数上的广义模糊滤子等. 由于MV-代数等是BL-代数的
子类,因此相关结论可以直接移植到MV-代数等子类上.
(3) 剩余格上的滤子理论, 包括剩余格上的滤子及其
子类(如布尔滤子、蕴涵滤子、奇异滤子等) 的基本性质、
剩余格上的n 重滤子的性质、剩余格上滤子理论的统一化
、剩余格上模糊滤子的性质、剩余格上模糊滤子的推广、剩
余格上直觉模糊滤子的性质等. 相关结果可以直接表述到
MTL-代数等剩余格子类上.
(4) 非交换剩余格上的滤子理论. 非交换剩余格上的
两个蕴涵算子为滤子理论的发展提供了广阔的空间, 包括
非交换剩余格上的滤子及其基本性质, 非交换剩余格上的n
重滤子及其子类, 非交换剩余格上的I-滤子, 非交换剩余
格上的左、右滤子, 非交换剩余格上的模糊滤子, 以及非
交换剩余格上的广义模糊滤子等.
(5) EQ-代数上的滤子理论. 作为剩余格的一种推广形
式, EQ-代数近年来被广泛研究, 主要涉及EQ-代数及其子
类的性质, EQ-代数上的滤子、预滤子, EQ-代数上的模糊
滤子等.
(6) 非交换剩余格上的态理论, 包括伪BL-代数上的态
、σ 完备BL-代数上的
态、非交换剩余格上的态、非交换剩余格上的态算子,
即内态.
(7) 非交换剩余格上的广义态理论, 包括非交换剩余
格上的广义态, 如广义
Bosbach 态、广义态-态射、广义Rie?an 态等, 非交
换剩余格上的混合广义态. 进一步, 提出了各种各样的广
义态和混合广义态, 结合L-滤子理论研究了各类广义态的
性质和关系等.
作者在从事该领域研究工作期间得到了多位专家和同
行的帮助, 在此向陕西师范大学的赵彬教授、吴洪博教授
、周红军教授, 西北大学的辛小龙教授, 江南大学的刘练
珍教授, 武汉大学的胡宝清教授, 西南交通大学的徐杨教
授、秦克云教授,湖南大学的李庆国教授, 山东大学的刘华
文教授, 华东师范大学的陈仪香教授, 江西师范大学的覃
峰教授, 陕西科技大学的张小红教授, 浙江理工大学的裴
道武教授, 湖北民族大学的詹建明教授, 西安石油大学的
折延宏教授, 临沂大学的马振明教授, 陕西师范大学的贺
鹏飞博士, 以及西安石油大学的王军涛博士等表示衷心的
感谢; 同时感谢华北水利水电大学数学与统计学院各位同
仁的支持和帮助. 特别感谢我的家人多年来对我的科研工
作所做的默默奉献, 正是有了他们多方面的支持, 才使得
我能全身心地投入科研工作.
逻辑代数的滤子、态理论及其应用是一个涉及范围广
、日新月异的活跃研究
领域, 本书仅从作者的兴趣出发论述了非交换剩余格
上的相关内容. 因作者水平和能力的限制, 本书难免不够
完整和全面, 甚至存在疏漏和不妥之处, 敬请广大读者批
评指正！
左卫兵