《数学女孩》系列以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探寻数学中的美。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的数学科普书”。
《数学女孩3：哥德尔不完备定理》有许多巧思。每一章针对不同议题进行解说，再于最后一章切入正题——哥德尔不完备定理。作者巧妙地以每一章的概念作为拼图，拼出与塔斯基的形式语言的真理论、图灵机和判定问题一道被誉为“现代逻辑科学在哲学方面的三大成果”的哥德尔不完备定理的大概证明。整本书一气呵成，非常适合对数学感兴趣的初高中生以及成人阅读。

结城浩，生于1963年，日本技术作家和程序员。二十年来笔耕不辍，在编程语言、设计模式、数学、密码技术等领域，编写著作三十余本。代表作有《数学女孩》系列、《程序员的数学》等。

序言
第1章 镜子的独白
1.1 谁是老实人
1.1.1 镜子呀镜子
1.1.2 谁是老实人
1.1.3 相同的回答
1.1.4 回答是沉默
1.2 逻辑谜题
1.2.1 爱丽丝、博丽丝和克丽丝
1.2.2 用表格来想
1.2.3 出题者的心思
1.3 帽子是什么颜色
1.3.1 不知道
1.3.2 对出题者的验证
1.3.3 镜子的独白
第2章 皮亚诺算术
2.1 泰朵拉
2.1.1 皮亚诺公理
2.1.2 无数个愿望
2.1.3 皮亚诺公理PA1
2.1.4 皮亚诺公理PA2
2.1.5 养大
2.1.6 皮亚诺公理PA3
2.1.7 小的？
2.1.8 皮亚诺公理PA4
2.2 米尔嘉
2.2.1 皮亚诺公理PA5
2.2.2 数学归纳法
2.3 在无数脚步之中
2.3.1 有限？无限？
2.3.2 动态？静态？
2.4 尤里
2.4.1 加法运算？
2.4.2 公理呢？
第3章 伽利略的犹豫
3.1 集合
3.1.1 美人的集合
3.1.2 外延表示法
3.1.3 餐桌
3.1.4 空集
3.1.5 集合的集合
3.1.6 公共部分
3.1.7 并集
3.1.8 包含关系
3.1.9 为什么要研究集合
3.2 逻辑
3.2.1 内涵表示法
3.2.2 罗素悖论
3.2.3 集合运算和逻辑运算
3.3 无限
3.3.1 双射鸟笼
3.3.2 伽利略的犹豫
3.4 表示
3.4.1 归途
3.4.2 书店
3.5 沉默
第4章 无限接近的目的地
4.1 家中
4.1.1 尤里
4.1.2 男生的“证明”
4.1.3 尤里的“证明”
4.1.4 尤里的“疑惑”
4.1.5 我的讲解
4.2 超市
4.3 音乐教室
4.3.1 字母的导入
4.3.2 极限
4.3.3 凭声音决定音乐
4.3.4 极限的计算
4.4 归途
第5章 莱布尼茨之梦
5.1 若尤里，则非泰朵拉
5.1.1 “若……则……”的含义
5.1.2 莱布尼茨之梦
5.1.3 理性的界限？
5.2 若泰朵拉，则非尤里
5.2.1 备战高考
5.2.2 上课
5.3 若米尔嘉，则米尔嘉
5.3.1 教室
5.3.2 形式系统
5.3.3 逻辑公式
5.3.4 “若……则……”的形式
5.3.5 公理
5.3.6 证明论
5.3.7 推理规则
5.3.8 证明和定理
5.4 不是我，还是我
5.4.1 家中
5.4.2 形式的形式
5.4.3 含义的含义
5.4.4 若“若……则……”，则……
5.4.5 邀约
第6章 ε-δ语言
6.1 数列的极限
6.1.1 从图书室出发
6.1.2 到达阶梯教室
6.1.3 理解复杂式子的方法
6.1.4 看“绝对值”
6.1.5 看“若……则……”
6.1.6 看“所有”和“某个”
6.2 函数的极限
6.2.1 ε-δ
6.2.2 ε-δ的含义
6.3 摸底考试
6.3.1 上榜
6.3.2 静寂的声音、沉默的声音
6.4 “连续”的定义
6.4.1 图书室
6.4.2 在所有点处都不连续
6.4.3 是否存在在一点处连续的函数
6.4.4 逃出无限的迷宫
6.4.5 在一点处连续的函数！
6.4.6 诉衷肠
第7章 对角论证法
7.1 数列的数列
7.1.1 可数集
7.1.2 对角论证法
7.1.3 挑战：给实数编号
7.1.4 挑战：有理数和对角论证法
7.2 形式系统的形式系统
7.2.1 相容性和完备性
7.2.2 哥德尔不完备定理
7.2.3 算术
7.2.4 形式系统的形式系统
7.2.5 词汇的整理
7.2.6 数项
7.2.7 对角化
7.2.8 数学的定理
7.3 失物的失物
第8章 两份孤独所衍生的产物
8.1 重叠的对
8.1.1 泰朵拉的发现
8.1.2 我的发现
8.1.3 谁都没发现的事实
8.2 家中
8.2.1 自己的数学
8.2.2 表现的压缩
8.2.3 加法运算的定义
8.2.4 教师的存在
8.3 等价关系
8.3.1 毕业典礼
8.3.2 对衍生的产物
8.3.3 从自然数到整数
8.3.4 图
8.3.5 等价关系
8.3.6 商集
8.4 餐厅
8.4.1 两个人的晚饭
8.4.2 一对翅膀
8.4.3 无力考试
第9章 令人迷惑的螺旋楼梯
9.1 0/3π弧度
9.1.1 不高兴的尤里
9.1.2 三角函数
9.1.3 sin45°
9.1.4 sin60°
9.1.5 正弦曲线
9.2 2/3π弧度
9.2.1 弧度
9.2.2 教人
9.3 4/3π弧度
9.3.1 停课
9.3.2 余数
9.3.3 灯塔
9.3.4 海边
9.3.5 消毒
第10章 哥德尔不完备定理
10.1 双仓图书馆
10.1.1 入口
10.1.2 氯
10.2 希尔伯特计划
10.2.1 希尔伯特
10.2.2 猜谜
10.3 哥德尔不完备定理
10.3.1 哥德尔
10.3.2 讨论
10.3.3 证明的概要
10.4 春天——形式系统P
10.4.1 基本符号
10.4.2 数项和符号
10.4.3 逻辑公式

将感谢和友情一并附上
，令大海恩赐之物重归它的
怀抱。
——《来自大海的礼物》
涌来，又远去的——海浪
。
来来去去，反反复复——
一浪又一浪。
来去的节奏把意识拉向
自己。
反复的节奏把意识推向
过去。
那时，每个人都在做准
备，想要展翅飞向苍穹。
而我，则在小小的鸟笼
里蹲着，把身体蜷成一团。
应该诉说的自己，应该
缄默的自己。
应该诉说的过去，应该
缄默的过去。
每逢春天降临，我都会
想起数学。
在纸上排列符号，描绘
宇宙。
在纸上写下公式，推导
真理。
每逢春天降临，我都会
想起她们。
跟我一起讨论数学这个
词语，跟我一起度过青春的
——她们。
这是一个关于令我展翅
飞翔的小小契机的故事。
你，愿意听我讲述吗？

好玩的数学科普书！带你走进迷人的数学故事，看看神奇的数学到底有多神奇！
日本数学会强力推荐！绝赞的数学科普书！
原版全系列累计销量突52万册！
在动人的故事中走近数学，在青春的浪漫中理解数学！
本书涵盖了形形色色的数学题，从小学生都能明白的简单问题，到震撼整个数学世界的难题。
本书通过语言、图形以及数学公式表达主人公的思路。

所有的书都具备本质上
的不可能性。
作家一旦克制住那份最
初的兴奋，马上就会发现这
点。
问题是结构性的，是不
可能解决的。
因此，谁都没有写下这
本书。
——安妮·狄拉德《写作
生涯》①
我是作者结城浩。
不才拙笔，为各位献上
《数学女孩3：哥德尔不完
备定理》一书。本书是《数
学女孩》（2007年）及《
数学女孩2：费马大定理》
（2008年）②的续篇，属
于《数学女孩》系列的第三
部作品。出场人物包括“我”
、米尔嘉、泰朵拉，还有“
我”的表妹尤里。数学与青
春的故事一如既往地围绕着
他们四个人展开。
在开始写作本书时，我
自以为已经大概理解了哥德
尔不完备定理。然而随着写
作的推进，我发现自己的理
解很不透彻。我想，那就只
能踏踏实实地一步步学起。
于是，我开始阅读数理逻辑
学方面的教材。承蒙诸多贵
人的相助，我花了大概一年
的时间，总算写完了本书。
如果您在本书中发现了数学
知识方面的错误，还请与我
联络，我将感到无比荣幸。
本书跟《数学女孩》系
列的前两本一样，都使用
LATEX2ε和Euler字体（AMS
Euler）排版。排版方面，
多亏了奥村晴彦老师的
《LATEX2ε精美文章制作入
门》①一书，在这里对奥村
晴彦老师深表感谢。版式绝
大部分由大熊一弘老师
（tDB老师）设计，使用了
用于制作初级数学印刷品的
宏emath，在这里也对大熊
一弘老师深表感谢。此外，
有几张图是用METAPOST及
Microsoft Visio制作的。
在写作本书时，漫画版
的《数学女孩（上·下）》
也经MEDIAFACTORY②出
版了，感谢日坂水柯先生和
编辑部的万木壮先生把《数
学女孩》带到了更为广阔的
世界。
另外，我还想对那些阅
读我写作过程中完成的原稿
，并发表宝贵意见的以下各
位，以及匿名人士致以诚挚
的谢意。不过，本书中若有
错误，则均为我疏漏所致，
以下人士不负任何责任。
五十岚龙也、上原隆平
、冈田理斗、镜弘道、川岛
稔哉、木原贵行、上泷佳代
、相马理美、高田悠平、田
崎晴明、荻原大希、花田启
明、平井洋一、藤田博司、
前原正英、松冈浩平、松木
直德、松本考司、三宅亚弥
、三宅喜义、村田贤太
（mrkn）、山口健史、吉
田有子
感谢各位读者，各位经
常访问我的网站的朋友们，
经常为我祈祷的基督教的朋
友们。
感谢一直支持我写完本
书的野泽喜美男总编。还要
感谢无数喜爱《数学女孩》
系列的读者，你们的鼓励对
于我来说无比宝贵。
感谢我最爱的妻子和两
个儿子。
谨以本书献给开创了惊
人大道的哥德尔，以及所有
的数学家。
最后，感谢一直把这篇
后记读完的您。
我们有缘再会吧。

第1章 镜子的独白
“镜子呀镜子，在这世上谁最美？”
“女王陛下，在这世上您最美。”
女王很满意这个回答，因为这面镜子从不说谎。
——《白雪公主》
1.1 谁是老实人
1.1.1 镜子呀镜子
“哥哥，你知道《白雪公主》的故事吧？”尤里说。
“当然了，那个寻找掉了水晶鞋的公主的故事。”我答道。
“那是《灰姑娘》！哪是《白雪公主》啊！哼，真是的……”
“是吗？”我装傻。
“别装傻嘛～”尤里说完就笑了。
这里是我的房间，现在正值一月。新年假期马上就要结束了，开学以后还有个摸底考试。可是不知为何，房间里的气氛却很是悠闲。
尤里上初二，我上高二，她管我叫“哥哥”。不过，尤里不是我的亲妹妹。她的妈妈和我的妈妈是姐妹。换句话说，她是我的表妹。尤里从小就管我叫“哥哥”，现在也还这么叫我。
我的房间里有很多尤里喜欢的书。她住在我家附近，一放假就会过来玩。我学习的时候，尤里就在一旁悠然自得地看书。
尤里开了口：
“白雪公主的那个坏妈妈，是不是只要一对着镜子，就会这么问：镜子呀镜子，在这世上谁最美？”
“嗯，那个镜子就相当于‘美人测定仪’吧。”我回答。
“她是认为自己漂亮才那么问的吧。可是人家一照镜子就忍不住叹气，头发颜色这样，还分叉得厉害。”
尤里说着，开始拨弄她栗色的马尾辫。
我重新审视尤里。尤里觉得自己很差，但我却不那么觉得。她的表情总是千变万化，让人移不开眼，给人一种看到爆米花正在进裂时的感觉。她的脑子也转得快，跟她说话从没感到无聊过。
“啊——好想染头发啊——好想变漂亮啊——”
“没有没有，尤里。”我说。
尤里停下正在拨弄发梢的手，看向我。
“什么‘没有没有’啊？”
“就是说……尤里你这样也……嗯，足够……”
“足够？”
“就是说……”
“孩子们！吃百吉饼吗？”我妈在厨房喊道。
“吃——！”
她大声回答道，刚刚还一本正经的表情忽然来了个大逆转。
尤里站起身就来拽我。她穿着牛仔裤，身材非常纤细，没想到却这么有力气。
“快点儿啦，哥哥，我们赶紧去吃点心！”
1.1.2 谁是老实人
用餐。
“这本书有意思吗？”
尤里哗啦哗啦地翻着茶几上放着的数学谜题集。
“不知道，我还没看。放假前跟学校借的。”
“诶？高中图书室里还有这种书呐……哥哥，这道题你会吗？它问‘A1～A5这5个人里谁是老实人’。”
谁是老实人？
A1：“这里有1个人在说谎。”
A2：“这里有2个人在说谎。”
A3：“这里有3个人在说谎。”
A4：“这里有4个人在说谎。”
A5：“这里有5个人在说谎。”
“来，选你们喜欢的口味。”我妈端着盛有百吉饼的盘子过来了，“这边是原味的，这边是核桃味的，这边是罗勒味的。”
“这个是什么味的？”尤里问道。
“那个是洋葱味的。”
“那我要吃这个。”
“你要吃哪个？”我妈把盘子递向我这边。热气散发了出来，闻起来很是香甜。
“哪个都行。——我说尤里，这个问题……”
“不行！好好选！”我妈边说边把盘子推到了我面前。
“那我要原味的。”
“我推荐你吃核桃味的。”
“呃……那就核桃味的吧。”
我拿了核桃味的百吉饼后，我妈就心满意足地回了厨房。——这不还是她帮我选的么。
“尤里，刚才你那个问题，是‘老实人总是在说真话’的那个么？”
“对对，骗子总是在说谎。A1～A5这些人不是老实人就是骗子。”
“那就简单了。A4是老实人，其他4个人是骗子。”
“嘁，真没意思喵……哥哥你一下子就明白了。”
我这个表妹有时候会在话里掺上猫语。没办法，毕竟是个小孩子……“这个问题，如果用老实人的人数来分情况讨论，马上就能得出答案。”我说，“老实人可能有0～5个人。首先，老实人不可能是0个人，也就是说不可能5个人都是骗子。因为A5说了‘这里有5个人在说谎’，也就是说，如果A5说的是真的，那么A5就是老实人。但是这样一来，A5所说的‘有5个人在说谎’就不成立了，这样于理不合。”
“嗯，嗯。”尤里附和道。
“下面考虑有1个老实人，也就是有4个骗子的情况。这种情况下，因为只有A4说的是对的，所以只有A4是老实人，剩下的4个人都是骗子。这样就合乎情理了。”
“确实呢。”尤里看上去很高兴。
“下面考虑有2个老实人，也就是有3个骗子的情况。这种情况下，只有A3说的是对的，但是从A3的话推断应该‘有3个人在说谎’，而事实却是‘有4个人在说谎’，这样说不通。有3个、4个、5个老实人的情况也同样不合乎情理。最后，就只有‘A4是老实人’这一种情况成立——真有意思啊。”
“哪里有意思？”
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