本书是莫斯科大学数学力学系对几何课程现代化改革的成果，作者之一的诺维可夫是1970年菲尔兹奖和2005年沃尔夫奖得主。全书力求以直观的和物理的视角阐述，是一本难得的现代几何方面的好书。内容包括张量分析、曲线和曲面几何、一维和高维变分法(一卷)，微分流形的拓扑和几何(第二卷)，以及同调与上同调理论(第三卷)。
本书可用作数学和理论物理专业高年级和研究生的教学用书，对从事几何和拓扑研究的工作者也极有参考价值。

《俄罗斯数学教材选译》序
前言
第一章 同调和上同调群．它们的计算方法
1．作为闭微分形式类的上同调群．它们的同伦不变性
2．代数复形的同调群
3．单纯复形．其同调和上同调群．二维闭曲面的分类
4．在拓扑空间上附加胞腔的运算．胞腔空间．关于胞腔空间的约化定理．曲面和其他某些流形的同调群和基本群
5．奇异同调和上同调．它们的同伦不变性．空间对的正合序列．相对同调群
6．胞腔复形的奇异同调．它与胞腔同调的等同．单纯同调的庞加莱对偶
7．直积空间的同调．上同调乘积．H一空间和李群的上同调．酉群的上同调
8．斜积(纤维丛空间)的同调群
9．映射的延拓问题，同调与截影．障碍的上同调类
10．同调论及同伦群的计算方法．嘉当一塞尔定理．上同调运算向量丛
11．同调与基本群
12．超椭圆黎曼面的上同调．雅可比环面．多轴椭圆体上的测地线．与有限间断位势的关联
13．凯勒流形的最简单性质．阿贝尔环面
14．系数在层的同调论
第二章 光滑函数的临界点和上同调
15．莫尔斯函数与胞腔复形
16．莫尔斯不等式
17．莫尔斯-斯梅尔正常函数．环柄．曲面
18．庞加莱对偶
19．光滑函数的临界点和柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼畴数
20．临界流形和莫尔斯不等式．有对称性的函数
21．函数的临界点与道路空间仃M的拓扑
22．指数定理的应用
23．变分法的周期问题
24．三维流形上的莫尔斯函数和赫戈图
25．博特的酉周期性和高维变分问题
26．莫尔斯理论和平面n体问题的某些运动
第三章 配边论和光滑结构
27．示性数．配边．闭链和子流形．流形的符号差
28．七维球面的光滑结构．光滑流形的(法不变)分类问题．赖德迈斯特挠率和组合拓扑的基本假设
参考文献
应用1 多值函数的类比莫尔斯理论．泊松括号的某些性质
应用2 普拉托问题．配边和在黎曼流形中的整体极小曲面
索引