高等代数是高等院校数学类专业的一门基础主干课，其思想、内容和方法是学习后续课程的基础。掌握其思想、内容和方法是学习高等代数的基本目标。为此，笔者根据教育部关于高校精品课程教材建设的要求，结合多年来积累的教学经验及对教学改革的积极思考和探索，编写了这本《高等代数》。本书由高孝忠编著。

高等代数是高等院校数学类专业的一门基础课，同时也是研究生入学考试的基本内容。《高等代数》根据多年的教学经验编写，力求每一个基本概念都有一个现实的背景，使学生容易接受那些抽象的对象。书中注重基本线索与思想方法的介绍，可让学生站在一个较高的平台去看待所学的知识。全书共9章，分别介绍一元多项式、行列式、矩阵、线性方程组、线性空间、线性变换以及二次型等内容。

《高等代数》可作为综合性大学、师范院校数学系各专业的教材，还可以作为高等学校数学系教师以及数学工作者的参考用书。本书由高孝忠编著。

绪论1

第1章 基本概念3

1.1 数学归纳法3

1.1.1 正整数集3

1.1.2 数学归纳法5

习题1.16

1.2 数环与数域7

1.2.1 数环与数域的概念7

1.2.2 整数环的一些整除性质9

1.2.3 群、环与域11

习题1.212

第2章 多项式13

2.1 一元多项式及其运算13

2.1.1 一元多项式的概念13

2.1.2 一元多项式的运算14

习题2.117

2.2 多项式的整除性17

2.2.1 整除的概念与性质17

2.2.2 带余除法19

习题2.220

2.3 多项式的最大公因式20

2.3.1 最大公因式与辗转相除法20

2.3.2 两个多项式互素24

习题2.325

2.4 多项式函数26

2.4.1 多项式函数26

2.4.2 多项式函数的零点28

习题2.430

2.5 多项式的分解30

2.5.1 不可约多项式30

2.5.2 因式分解定理32

习题2.534

2.6 重因式34

2.6.1 重因式与重根34

2.6.2 多项式的导数35

2.6.3 重因式的判别法36

习题2.638

2.7 实数与复数域上的多项式38

2.7.1 复数域上的多项式38

2.7.2 实数域上的多项式40

习题2.742

2.8 有理数域上的多项式43

2.8.1 有理数域上多项式的可约性43

2.8.2 有理数域上多项式的有理根45

习题2.847

总练习题247

第3章 行列式51

3.1 行列式的引入与排列51

3.1.1 行列式的引入51

3.1.2 排列53

习题3.155

3.2 n阶行列式55

3.2.1 n阶行列式的概念55

3.2.2 n阶行列式的性质58

习题3.261

3.3 行列式按一行(列)展开62

3.3.1 子式与代数余子式62

3.3.2 行列式按一行(列)展开63

习题3.368

3.4 克莱姆法则69

习题3.473

总练习题373

第4章 线性方程组77

4.1 消元法与矩阵的初等变换77

4.1.1 消元法77

4.1.2 矩阵与其初等变换78

习题4.185

4.2 n维向量86

4.2.1 向量的概念86

4.2.2 线性表出88

习题4.290

4.3 在Fn中向量组的线性关系91

4.3.1 线性相关与线性无关91

4.3.2 极大线性无关组93

习题4.395

4.4 矩阵的秩95

4.4.1 矩阵的秩的概念95

4.4.2 矩阵的秩的性质98

习题4.4100

4.5 线性方程组的可解性与解结构101

4.5.1 线性方程组的可解性101

4.5.2 线性方程组的解结构103

习题4.5108

总练习题4109

第5章 矩阵112

5.1 矩阵的运算112

5.1.1 矩阵的线性运算112

5.1.2 矩阵的乘法运算113

5.1.3 矩阵的转置117

习题5.1118

5.2 可逆矩阵119

5.2.1 可逆矩阵的概念与性质119

5.2.2 矩阵可逆的充分条件121

习题5.2123

5.3 初等矩阵124

5.3.1 初等矩阵的概念与性质124

5.3.2 等价矩阵的概念与性质128

5.3.3 利用初等变换求矩阵的逆131

习题5.3134

5.4 分块矩阵134

5.4.1 分块矩阵的概念与运算134

5.4.2 分块矩阵的应用138

习题5.4141

总练习题5142

第6章 向量空间145

6.1 向量空间的概念与简单性质145

6.1.1 向量空间的引入145

6.1.2 向量空间的定义146

6.1.3 向量空间的基本性质148

习题6.1149

6.2 在向量空间V中向量组的线性关系149

6.2.1 线性相关与线性无关149

6.2.2 向量组之间的线性关系151

6.2.3 向量空间V中的极大线性无关组153

习题6.2154

6.3 基、维数与坐标155

6.3.1 向量空间的基与维数155

6.3.2 坐标157

习题6.3159

6.4 基变换与坐标变换159

6.4.1 基变换159

6.4.2 坐标变换161

习题6.4163

6.5 子空间164

6.5.1 子空间的概念164

6.5.2 生成子空间165

习题6.5167

6.6 子空间的交与和168

6.6.1 子空间的交与和的概念168

6.6.2 子空间的维数公式171

6.6.3 子空间的直和172

习题6.6174

6.7 向量空间的同构174

6.7.1 映射174

6.7.2 同构映射175

6.7.3 向量空间的同构178

习题6.7179

总练习题6179

第7章 线性变换182

7.1 线性变换的概念与性质182

7.1.1 线性变换的概念182

7.1.2 线性变换的性质183

习题7.1187

7.2 线性变换的运算188

7.2.1 线性变换的线性运算188

7.2.2 线性变换的乘法190

7.2.3 线性变换的逆192

习题7.2194

7.3 线性变换的矩阵194

7.3.1 线性变换与其矩阵的概念195

7.3.2 线性变换与其矩阵的性质197

习题7.3200

7.4 不变子空间201

7.4.1 不变子空间的概念201

7.4.2 用不变子空间寻找简单相似矩阵203

习题7.4205

7.5特 征值与特征向量205

7.5.1 特征值与特征向量的概念205

7.5.2 特征多项式207

习题7.5211

7.6 矩阵的对角化211

7.6.1 矩阵可对角化的第一个等价条件211

7.6.2 矩阵可对角化的第二个等价条件214

习题7.6216

7.7 若尔当标准形介绍217

7.7.1 若尔当矩阵217

7.7.2 若尔当标准形219

习题7.7221

总练习题7221

第8章 欧氏空间225

8.1 欧氏空间的定义及度量225

8.1.1 欧氏空间的定义225

8.1.2 欧氏空间的度量227

习题8.1230

8.2 规范正交基230

8.2.1 规范正交基的概念230

8.2.2 规范正交基的存在性232

习题8.2235

8.3 子空间的正交关系235

8.3.1 向量与子空间的正交关系235

8.3.2 子空间与子空间的正交关系239

习题8.3241

8.4 正交变换241

8.4.1 正交变换的概念与性质241

8.4.2 正交变换的分类244

8.4.3 欧氏空间的同构244

习题8.4246

8.5 对称变换与对称矩阵247

8.5.1 对称变换的概念与性质247

8.5.2 实对称矩阵的对角化248

8.5.3 实对称矩阵的对角化步骤249

习题8.5251

8.6 酉空间与酉变换介绍252

8.6.1 酉空间的概念与性质252

8.6.2 酉变换与对称变换253

习题8.6254

总练习题8255

第9章 二次型258

9.1 二次型及其矩阵258

9.1.1 二次型的定义258

9.1.2 二次型的化简与对称矩阵的合同260

9.1.3 矩阵的相似与合同之间的关系263

习题9.1263

9.2 用可逆替换简化二次型264

9.2.1 配方法264

9.2.2 矩阵法267

习题9.2270

9.3 规范形270

9.3.1 规范形的概念271

9.3.2 惯性定理272

习题9.3274

9.4 正定二次型274

9.4.1 正定二次型的概念274

9.4.2 二次型正定的等价条件275

9.4.3 利用矩阵的顺序主子式判别其正定性276

习题9.4279

9.5 双线性映射279

9.5.1 量度矩阵的概念与性质279

9.5.2 双线性映射与二次型282

习题9.5284

总练习题9285

参考文献287