本书由具有丰富考研辅导经验的教师团队，紧扣硕士研究生入学考试大纲编写而成。

全书共9章，内容包括矩阵及其运算、方阵的逆阵与方阵的行列式、矩阵的初等变换、线性方程组的消元解法与解的判定、向量、线性方程组的解的结构、矩阵的特征值与特征向量、二次型及其标准型、线性空间与线性变换。

本书融汇了编写者多年的教学心得，对于教学内容的编排进行了独创性的探索。在知识体系的构建上突出学生思维发展的自然过程，注重数学思想的渗透。在语言叙述上深入浅出，方便学生的自学。体现了先进的教育理念，突出以问题为纽带的教学。

本书是根据全国高等学校工科数学线性代数课程教学基本要求和全国硕士研究生入学考试大纲的规定内容，并结合新的教改精神编写的一本线性代数教材。本书以线性方程组为主线，在知识体系的构建上注重突出学生思维发展的自然过程，便于学生自学。全书共9章，内容包括矩阵及其运算、方阵的逆阵与方阵的行列式、矩阵的初等变换、线性方程组的消元解法与解的判定、向量、线性方程组的解的结构、矩阵的特征值与特征向量、二次型及其标准型、线性空间与线性变换。各章后配有适量的习题，书末附有部分习题答案与提示。

本书既可作为高等院校理工、经管等专业线性代数课程的教材，又可供有关专业人员、科技工作者学习和参考，还可作为硕士研究生入学考试的复习参考书。

前言

引言 线性方程组的消元解法 1

 0.1 线性方程组及消元法 1

0.1.1 线性方程组及消元法 1

0.1.2 消元法的实质——线性方程组的初等变换 2

 0.2　线性方程组的解的问题 4

0.2.1 线性方程组的简化表示形式——矩阵概念的引入 4

0.2.2 线性方程组的求解问题、解的判定问题、解的结构问题 6

第1章 矩阵及其运算 8

 1.1 矩阵的概念 8

1.1.1 矩阵的定义 8

1.1.2 矩阵的相等 9

1.1.3 几种特殊的矩阵 9

 1.2 矩阵的运算 11

1.2.1 矩阵的线性运算 11

1.2.2 矩阵的乘法 13

1.2.3 方阵的幂 16

1.2.4 矩阵的转置 18

1.2.5 共轭矩阵 19

 1.3 分块矩阵 20

1.3.1 分块矩阵的概念 20

1.3.2 分块矩阵的运算 21

 习题一 24

第2章 方阵的逆阵与方阵的行列式 26

 2.1 方阵的逆阵 26

2.1.1 逆矩阵的概念 26

2.1.2 逆矩阵的性质 27

 2.2 行列式的定义 29

2.2.1 二阶与三阶行列式 29

2.2.2 全排列与逆序数 31

2.2.3 n阶行列式的定义 33

 2.3 行列式的性质 37

 2.4 行列式按行列展开的法则 45

 2.5 伴随矩阵与逆矩阵的计算 50

 习题二 55

第3章 矩阵的初等变换 59

 3.1 初等变换与矩阵的秩 59

3.1.1 矩阵的初等变换 59

3.1.2 矩阵的等价 59

3.1.3 利用初等变换将矩阵化为标准形 61

3.1.4 矩阵的秩 63

 3.2 初等矩阵 65

3.2.1 初等矩阵 65

3.2.2 求逆矩阵的初等变换法 68

 3.3 行列式观点下矩阵秩的定义 69

 习题三 71

第4章 线性方程组的消元解法与解的判定 73

 4.1　将(A b)化为行阶梯矩阵——方程组解的判定 74

 4.2　将(A b)化为行最简形矩阵——方程组的求解 76

 习题四 81

第5章 向量 83

 5.1 向量的概念及运算 83

5.1.1 n维向量的概念 83

5.1.2 向量的线性运算 84

 5.2 向量的线性组合与线性表示 86

5.2.1 向量的线性组合与线性表示 86

5.2.2 向量组间的线性表示 88

5.2.3 初等变换与向量组的等价 89

 5.3 向量组的线性相关与线性无关 91

5.3.1 线性相关性概念 91

5.3.2 线性相关性的判定 92

 5.4 向量组的秩 96

5.4.1 极大线性无关向量组 96

5.4.2 向量组的秩 96

 5.5 n维向量空间 99

5.5.1 向量空间与子空间 99

5.5.2 向量空间的基与维数 99

 5.6 正交矩阵 100

5.6.1 内积及其性质 100

5.6.2 向量的长度与性质 100

5.6.3 正交向量组 101

5.6.4 规范正交基及其求法 102

5.6.5 正交矩阵与正交变换 103

 习题五 103

第6章 线性方程组解的结构 106

 6.1 齐次线性方程组解的结构 106

6.1.1 齐次线性方程组解的性质 106

6.1.2 基础解系的求法 107

6.1.3 解空间及其维数 109

 6.2 非齐次线性方程组解的结构 110

6.2.1 非齐次线性方程组解的性质 110

6.2.2 非齐次线性方程组通解的求法 111

 习题六 114

第7章 特征值与特征向量 116

 7.1 矩阵的特征值与特征向量 116

7.1.1 特征值和特征向量的概念 116

7.1.2 特征值和特征向量的计算 117

7.1.3 特征值和特征向量的性质 121

 7.2 相似对角化 122

7.2.1 相似矩阵 122

7.2.2 相似对角化 123

 7.3 实对称矩阵的相似对角化 127

7.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 127

7.3.2 实对称矩阵的对角化 128

 习题七 132

第8章 二次型及其标准形 136

 8.1 二次型 136

8.1.1 二次型的概念 136

8.1.2 二次型的标准形与矩阵的合同对角化 138

 8.2 用配方法化二次型为标准形 142

8.2.1 用配方法化二次型为标准形 142

8.2.2 用初等变换化二次型为标准形 144

 8.3 正定二次型 145

 习题八 148

第9章 线性空间与线性变换 151

 9.1 线性空间的定义与性质 151

9.1.1 线性空间的定义 151

9.1.2 线性空间的性质 151

9.1.3 线性空间的子空间 152

 9.2 维数、基与坐标 153

9.2.1 线性空间的基与维数 153

9.2.2 线性空间的同构 153

 9.3 基变换与坐标变换 155

9.3.1 基变换公式与过渡矩阵 155

9.3.2 坐标变换公式 155

 9.4 线性变换 158

9.4.1 线性变换 158

9.4.2 线性变换的性质 158

 9.5 线性变换的矩阵表示 160

9.5.1 线性变换的标准矩阵 160

9.5.2 线性变换在给定基下的矩阵 161

9.5.3 线性变换与其矩阵的关系 161

9.5.4 线性变换在不同基下的矩阵 162

 习题九 164

习题答案 166

测试题 177

测试题答案 189