读者在学习信号处理课程基础上，通过本书学习能达到以下目的：对信号处理一些相关理论综合统一处理法有较好地了解。对信号处理一些专门问题的处理方法有较深入地了解。对信号处理中一些专用数学理论与求解技巧增加了解。对数学物理方法与信号处理方法的发展历史及其关系有更多地了解。

本书可作为大学高年级学生和研究生教材，也可供从事信号处理的高等院校教师与科技人员参考。

本书介绍信号处理的主要方法和应用。全书共10章，内容包括：泛函分析初步、格林函数法、特征求解法、托布利兹矩阵及其特征求解法、插值法、不适定问题与正则化法、矩与最大熵法、AR模型法与分段AR模型法、稳健性(鲁棒)法及谱分析与谱估计法的发展史。

本书将数学物理方法与信号处理方法及应用紧密结合，内容丰富、概念清楚、系统性强、理论联系实际，还包括作者较多研究成果，很有特色。

本书可作为大学高年级学生和研究生教材，也可供从事信号处理的高等院校教师与科技人员参考。

前言

第1章 泛函分析初步

 1.1 集与集的函数表示

1.1.1 集的定义

1.1.2 公理系统规定的集与可数集

1.1.3 集的函数表示

 1.2 线性空间与度量空间

1.2.1 线性空间

1.2.2 度量空间

 1.3 希尔伯特空间

1.3.1 有穷维矢量空间的内积

1.3.2 范数与线性赋范空间

1.3.3 内积空问与希尔伯特空间

 1.4 投影定理

 1.5 泛函与变分

1.5.1 泛函的定义

1.5.2 泛函的变分

1.5.3 具有等式约束的泛函极值

 1.6 算子的概念

 1.7 函数

1.7.1 函数的引入

1.7.2 广义函数及8函数的性质与傅里叶变换

1.7.3 函数为有界泛函与弱收敛序列的弱极限

第2章 格林函数法

 2.1 格林函数与脉冲响应

 2.2 求解线性常系数差分方程的格林函数法

 2.3 求解线性常系数随机差分方程的格林函数法

2.3.1 AR(1)模型的格林函数

2.3.2 ARMA(p，g)模型的格林函数

 2.4 求解线性时变系数差分方程的格林函数法

 2.5 求解二阶偏微分方程的格林函数法

第3章 特征求解法

 3.1 矩阵与矢量空间的特征值和特征矢量

3.1.1 矩阵的特征值和特征矢量

3.1.2 矢量空间的特征值和特征矢量

 3.2 微分方程的特征值与特征函数

3.2.1 斯图谟-刘维尔型微分方程

3.2.2 厄密算子的二阶微分方程

 3.3 积分方程的特征值与特征函数

3.3.1 第二类Fr积分方程

3.3.2 希尔伯特一施密特的理论

 3.4 特征求解法在长球面波函数研究中的应用

3.4.1 长球面波函数的微分方程

3.4.2 长球面波函数的积分方程

 3.5 特征求解法在连续卡一洛展开研究中的应用

第4章 托布利兹矩阵及其特征求解法

 4.1 定义与性质

4.1.1 托布利兹矩阵的定义与不同形式

4.1.2 常用信号的托布利兹矩阵

4.1.3 托布利兹矩阵的性质

 4.2 特征值、特征矢量与特征多项式

4.2.1 特征值与特征矢量

4.2.2 特征多项式

4.2.3 例与讨论

 4.3 托布利兹矩阵的循环分解

4.3.1 对称的托布利兹矩阵的循环分解

4.3.2 循环矩阵与反循环矩阵的性质

 4.4 托布利兹矩阵在卡-洛变换研究中的应用

4.4.1 离散卡-洛展开与卡-洛变换

4.4.2 广义平稳马尔可夫信号的卡洛变换

 附录4.1 格施戈林定理

第5章 插值法

 5.1 插值问题

 5.2 多项式插值

5.2.1 拉格朗日插值多项式与插值多项式的唯一性

5.2.2 拉格朗日插值公式与信号处理中内插滤波器法插值表示式的关系

5.2.3 牛顿插值公式

 5.3 应用多项式插值法研究经典取样定理

5.3.1 信号的经典取样定理

5.3.2 应用拉格朗日插值多项式研究经典取样定理

 5.4 样条插值与B(或6)样条函数

5.4.1 多项式插值的局限性

5.4.2 样条插值

 5.5 采用样条函数的最小二乘曲线拟合

5.5.1 最小二乘曲线拟合原理

5.5.2 采用样条函数的最小二乘曲线拟合

 5.6 指数多项式插值

5，6.1 普罗尼法

5.6.2 微分方程反问题方法

 5.7 有理函数插值

5.7.1 有理函数插值的有解条件

5.7.2 有理函数插值的蒂厄勒法

第6章 不适定问题与正则化法

 6.1 不适定问题的概念

6.1.1 适定与不适定问题的数学意义

6.1.2 不适定问题与度量空间的关系

6.1.3 不适定问题的原因

 6.2 算子方程中的算子空间与逆算子

 6.3 不适定问题求解的数值方法

 6.4 函数逼近的正则化法与正则化网络

6.4.1 函数逼近的正则化法之一

6.4.2 内插问题的径向基函数(RBF)法

6.4.3 函数逼近的正则化法之二

6.4.4 正则化网络

附录6.1 公式的证明

第7章 矩与最大熵法

 7.1 随机变量的特征函数与矩

7.1.1 随机变量的特征函数

7.1.2 矩定理

7.1.3 正态随机变量的特征函数与矩

 7.2 最大熵法

7.2.1 最大熵概率密度

7.2.2 最大熵谱

7.2.3 求解矩问题与求解一类积分方程的最大熵法

 7.3 两个随机变量的矩与特征函数

7.3.1 两个随机变量的联合矩

7.3.2 两个随机变量的联合特征函数

7.3.3 两个随机变量的矩定理

7.3.4 正态随机变量的联合特征函数与联合矩

7.3.5 普赖斯定理的应用例一：正态随机信号的量化研究

 7.4 二维最大熵法

 附录7.1 二维正态概率密度函数展成级数公式的证明

第8章 AR模型法与分段AR模型法

 8.1 分布与随机变量的收敛概念

8.1.1 X2分布

8.1.2 正态随机变量二次型的分布

8.1.3 随机变量的各种收敛概念

 8.2 AR模型的参数估计法与渐近性能

8.2.1 尤利-沃克方程法

8.2.2 莱文森一德宾法

8.2.3 最小二乘法

8.2.4 AR模型的预报(或预测) 

8.2.5 AR模型参数估计的渐近性质

 8.3 AR模型的定阶准则

 8.4 分段AR模型法

8.4.1 分段平稳随机信号的优化方法

8.4.2 分段平稳优化方程的求解法

8.4.3 一种改进的分段平稳优化方程求解法

 附录8.1 式(8-127)与式(8-128)的证明

第9章 稳健(鲁棒)性法

 9.1 稳健性统计估计概念

9.1.1 传统位置参数估计方法及其不稳健性

9.1.2 早期所用的位置参数稳健性估计法

9.1.3 稳健性统计估计的特点

 9.2 现今流行的稳健性统计估计理论方法

9.2.1 统计量

9.2.2 有效稳健性

9.2.3 定性稳健性

9.2.4 极小极大稳健性

9.2.5 污染正态样本中异常值的稳健识别法

 9.3 AR模型的稳健性估计

9.3.1 带异常值的AR模型

9.3.2 AR模型参数的稳健性估计

 9.4 功率谱估计的稳健性方法

9.4.1 KMT法

9.4.2 滤波-净化法

9.4.3 平滑-净化法

第10章 谱分析与谱估计法的发展史

 10.1 牛顿与邦森的实验谱分析

 10.2 傅里叶的正弦谱理论

10.2.1 泰勒级数

10.2.2 波动方程的伯努利解

10.2.3 傅里叶级数

 10.3 斯图谟.刘维尔型微分方程的谱理论

 10.4 薛定锷的原子谱理论

10.4.1 量子力学谱理论

10.4.2 诺伊曼谱表示理论

 10.5 维纳的广义谐波谱理论

10.5.1 布朗运动的爱因斯坦-维纳理论

10.5.2 维纳的广义谐波分析法

10.5.3 两种谱理论数学上的联系与统一

 10.6 舒斯特、尤利与维纳的时间序列分析方法

10.6.1 舒斯特的周期图法

10.6.2 尤利的AR模型法

10.6.3 维纳的时间序列的预测理论

 10.7 经典谱估计法与库利图基的快速傅里叶变换

10.7.1 BT功率谱估计法

10.7.2 库利图基的快速傅里叶变换

10.7.3 改善的周期图法

 10.8 伯格的最大熵谱分析法

 10.9 现代谱估计法

10.9.1 模型参数法

10.9.2 非参数法

10.9.3 熵谱估计法

10.9.4 高阶矩与多谱估计法

 10.10 非平稳随机信号的谱分析与谱估计法

参考文献