《数学爵士乐》是一本为那些永远好奇的心灵写的书，将一位教授对宇宙中隐藏的数学结构的理解以及一名诙谐的喜剧演员对事物的奇特感受融合到了一起。猴子通过随机敲击得到哈姆雷特的完整手稿，可能性多大？当无数个疲惫的棒球队员出现在一个无穷大的旅馆时会发生什么？如果他们的经理也跟着出现呢？有没有可能不脱掉裤子就脱掉有足够弹性的内裤？答案是肯定的，而且它还用敢作敢为的精神和泰然自若的态度来证明这一点——更不用提还用七幅大方的图来演示如何做。值得冒险一读。

作者在数学和逸趣之间跳跃，引出关于自然、艺术以及音乐的深邃思想。潜意识里对性感矩形的爱慕引领我们徜徉于希腊帕台农神庙，在德彪西的音调升降中我们又与它不期而遇，这一切如此令人心悦诚服，以至于从此以后如果不注意到它们隐藏的数学，美学形式都很难被考虑。这也是一本为那些着迷于各种奇怪谜题的人、狂热的数学爱好者以及恐惧数学公式的人写的书。

第一部分 理解不确定性

 巧合、混沌和混乱

第一章 不羁的巧合

 可能性、幸运女神和爱神

第二章 混沌为王

 为何我们不能预测未来

第三章 领悟生活之数

 统计惊奇

第二部分 拥抱数字

 感受秘密，宏伟的大数和自然之数

第四章 保密，揭秘

 密码学解密

第五章 数之大小

 多少？多大？多快？

第六章 自然与数的协同

 对模式的寻求

第三部分 探索美学

 性感的矩形、狂暴的分形和扭曲的空间

第七章 从精确之美到纯粹之混沌

 用数学镜头捕捉美

第八章 折纸菜鸟的折纸术

 从折纸到计算机和狂暴的分形

第九章 曲回扭转于无定世界

 弹性世界探奇

第四部分 超越现实

 第四维和无穷大

第十章 宇宙之邻

 第四维的魔术

第十一章 超越果壳禁闭

 无穷大之旅

第十二章 寻求还要更大

 超越无穷大之旅

后记

致谢

译者的话

侧立 除了抛硬币，我们也可以考虑一种更细致的方法来寻找命运的平衡。让我们在桌上小心地将一枚便士沿其薄薄的侧边立起。实际上，我们可以拿出100枚便士，在桌上将它们侧立。这么做的结果是状态非常不稳定。我们只需在桌上猛拍巴掌让便士倒下，就可以让状态变得稳定。其中有一些硬币会正面朝上，有一些会背面朝上。当然，我们会预计正面和背面的大致一样多。

出人意料

如果做一做这个实验，你就会发现正面朝上的便士明显地多于一半。出人意料，一枚侧立的便士往各面翻倒的可能性并不一样；它并不十分对称的结构让它稍微倾向于正面朝上倒下。

旋转 让便士侧立是很艰苦的工作，因此我们可能情愿选一种更动感的方法，让便士给我们的未来加入运气”。事实上，我们可以试试真地在桌上旋转一枚硬币。旋转的便士最终将逐渐疲倦，慢下来，最后头晕目眩地倒下，得到解脱。与前面一样，我们重复这个实验100次以得到结果的统计意义。再一次，我们会预计正面朝上和背面朝上的便士大致一样多。

出人意料

这一次便士倾向于背面。便士的不对称特性使得旋转的便士倒下时背面朝上的几率要高于正面。这样侧立和旋转的便士就各提供了一个我们期望结果会相等然而实际上却不同的例子。

出入意料的便士例子的实践意义是，如果我们正确地运用策略，我们将很少再需要为我们的朋友付饭钱。当账单来了，必须决定谁付账时，只需对你朋友说，“我们让诚实的亚伯决定吧，选正选反。”如果你朋友说，“正面，”那你就说，“你看，抛便士没什么意思，我们来旋转100枚便士看看它们怎么倒。”大部分将可能背面朝上倒下，你会赢，不用付饭钱。如果你朋友说，“背面，”那你就回应，“不抛便士，那玩意过时了，我们来把100个便士立起来，然后在桌上拍巴掌，看它们怎么倒。”大部分倒下后将可能正面朝上，你也会赢，不用付饭钱。不管如何，命运都站在你这一边。

也许，这里真正的教益是，我们的直觉认为事情会这样，然而现实却可能在它头脑里另有一套计划。我们必须直面生活中的数字，是怎么样就怎么样，不抱成见。有时候，在推测可能性时，我们需要改造一下我们的直觉。

重逢

另一个违反直觉的难题意外地出现在同学聚会的场景中。设想自从毕业后就没见过同学们的我们参加二十五周年大学校友聚会。我们注意到的第一件事就是其他每个人都老了。不幸的是，他们也用同样的同情眼光看着我们。第二件有趣的事情发生在我们无意中听到的两个重逢朋友的对话中：

鲍勃：乔告诉我说你有两个孩子。

贝蒂：对。

鲍勃：我记得他还提到过大的那个是男孩。

贝蒂：又对了。说老实话我还真不知道乔的舌头有这么长！

就在贝蒂坦白的时候，她想吞下去的猪包毯开始勇敢地进行反抗。她透不过气来，脸也变成了与她的蓝色晚礼服不协调的颜色。鲍勃立即对贝蒂实施海姆利克操作法”，这是他梦寐以求的与贝蒂在一起的姿势。我们一边看热闹一边忍不住好奇：贝蒂有一个男孩和一个女孩的概率有多大呢？

就在我们思考这个难题的时候，无意间又听到一段对话：

维克托：乔告诉我说你有两个孩子。

维奥莱特：是啊。  维克托：我记得他还提到过其中一个就叫维克托。

维奥莱特：是啊。维克托是个顽皮的男孩——该死的，乔怎么不操心一下自己的事情。

就在维奥莱特说话间，她碰到了与她的前室友同样的命运——她也发现她的开胃点心咽不下去了。就在她徒劳地试图清理咽喉的时候，我们突然想到，“紫罗兰是蓝色的。”再一次我们忍不住好奇：“维奥莱特同时有一个男孩和一个女孩的概率有多大呢？”

预计相等 乍一看这蓝色，两个只有一点点不同的对话好像表现了相同的情形。两个情形中，我们知道两个孩子中的一个是男孩，另一个孩子的性别是我们被噎住了的同学的秘密。当然，这样的话，贝蒂或维奥莱特有一个男孩和一个女孩的概率是50:50或1/2，因为有一个肯定是男孩，而另一个是男孩或女孩的叮能性一样。

出人意料

事实上，这两个几乎一模一样的对话产生了两个完全不同的可能性场景。为了发现其不同，我们一个个来分析这些巧妙的对答。在每个对话开始时，我们得知我们的老同学有两个孩子。在那时候我们不知道关于孩子性别的任何信息，因此有四种相等的可能性：

1.大的是女孩，小的也是女孩。

2.大的是女孩，而小的是男孩。

3.大的是男孩，小的也是男孩。

4.大的是男孩，而小的是女孩。

同鲍勃聊天时，贝蒂透露出大的是男孩。给定这个新的信息，我们知道可能性#1(大的女孩，小的女孩)和#2(大的女孩，小的男孩)不可能为真。在她的喉咙还被猪肉堵着的情况下，我们得不到进一步的信息，因此我们知道对于贝蒂的小孩还有两种相等的可能性：#3(大的男孩，小的男孩)和#4(大的男孩，小的女孩)。既然有两种相等的可能性，其中一种是贝蒂有一个男孩和一个女孩，我们就能正确地推断贝蒂有一个男孩和一个女孩的可能性是l/2(两种可能之一)。

在维克托和维奥莱特的对话中，我们又一次开始就得知维奥莱特有两个孩子，再一次我们脑海中有相等的四种可能性。然而，这一次我们知道的是维奥莱特至少有一个男孩。具备有这个新的信息，我们可以排除可能性#1(女孩，女孩)。其他三种可能性则仍然可行，因为我们知道的那个男孩可以是大的那个也可以是小的。在这三种可能性中，三种中的两种是一个男孩和一个女孩；因此我们推断维奥莱特有一个男孩和一个女孩的概率是2/3(三个可能性中的两个)。

这个聚会的故事提供了一个让人印象深刻的范例，两个特征(两个小孩，一个是男孩，另一个的性别我们不知道)看起来几乎一样的情形实际上却截然不同。如果我们给小孩买礼物，理解了两种情形的不同，我们就可以有信心为维奥莱特的孩子买一个橄榄球头盔和芭蕾舞裙而不是一对运动护裆。我再想想，干脆还是给每个家庭都买计算尺吧。

当我们将玩笑和噎食剥离，聚会场景除了搞怪，还揭示了作为清晰思维有效手段的一些策略：弄清问题，隔离要素。这样当我们拿不准一对小孩的性别时，我们可以用数值度量的方法来帮助我们做一些聪明的猜测。

我们用揭示概率之精妙的两个严肃的真实世界的例子来结束这一章。每个案例中对数据的细致分析将促使我们再一次用新的眼光去看待问题。(P48-51)

欢迎你来数学圈，那是我们熟悉而陌生的园地。

我们熟悉它，因为几乎每个人都走过多年的数学路，从123走到6月6(或7月7)，从课堂走进考场。然后，我们把它留给最后一张考卷，解放的头脑，不再为它留一点儿空间。我们也陌生，模糊的记忆里，是残缺的公式和零乱的图形，是课堂的催眠曲，是考场的蒙汗药……去吧，那些被课本和考卷异化和扭曲了的数学；忘记那一朵朵恶之花，我们会迎来新的百花园。

“数学圈丛书”请大家走进数学圈，也走近数学圈子里的人。这是一套新视角下的数学读物，它不为专门传达任何具体的数学知识和解题技巧，而以“非数学的形式来普及数学”，着重宣扬数学和数学家的思想和精神。它的目的不是教人学数学，而是改变人们对数学和数学家的看法，让数学融入大众文化，回到人们的生活。读这些书不需要智力竞赛的紧张，而是要一点儿文艺欣赏的平和。你可以怀着360样心情来享受数学，经历它的趣味和生命，感悟符号背后的情感和人生。

没有人怀疑数学是文化的一部分，但诺大的“文化”。却往往将数学排除在外。当然，从人数来看，数学家在文化人中顶多占一个测度为零的空间。但是，数学的每一点进步都影响着整个文明的根基。借一个历史学家的话说，“有谁知道，在微积分和路易十四时期的政治的朝代原则之间，在古典的城邦和欧几里得几何之间，在西方油画的空间透视和以铁路、电话、远距离武器制胜空间之间，在对位音乐和信用经济之间，原有深刻的一致关系呢？”(斯宾格勒《西方的没落·导言》)所以，数学不在象牙塔，就在身边。上帝用混乱的语言摧毀了石头的巴比塔，而人类用同一种语言建造了精神的巴比塔，那就是数学。它是艺术，也是生活；是态度，也是信仰；是最复杂的简单，也是最单纯的完美。

数学是生活。当然，我们的意思不是说生活离不开算术，技术离不开微积分；而是说数学本身也能成为大众的生活态度和生活方式。很多人感觉数学枯燥无味，是因为他把数学从生活中赶走了。当你发现一个小公式也像一首小诗那么多情的时候，还忍心把它忘记吗？大家能享受“诗意的生活”，从这点说，数学是一样的。

数学的生活很简单。如今流行着很多深藏“大道理”的小故事，那些道理多半取决于讲道理的人的态度和立场。它们是多变的，因为多变而被随意扭曲，因为扭曲而成为多样选择的理由。在所谓“后现代”的今天，似乎一切东西都成为多样的，人们像浮萍一样漂荡在多样选择的迷雾里，起码的追求也失落在“和谐”的“中庸”里。数学能告诉我们，多样的背后存在统一，极端才是和谐的源泉和基础。从某种意义说，数学的精神就是追求极端，它永远选择最简的、最美的，当然也是最好的。数学决没有圆滑的道理，也不为模糊的借口留下一点儿空间。

数学生活也浪漫。很多人怕数学抽象，却喜欢抽象的绘画和怪诞的文学。可见抽象不是数学的罪过。艺术家的想象力令人羡慕，而数学家的想象力更多。希尔伯特说过，如果哪个数学家一旦改行做了小说家(真的有)，我们不要惊奇——因为那人缺乏足够的想象力做数学家，却足够做一个小说家。懂一点儿数学的伏尔泰也感觉，阿基米德头脑的想象力比荷马的多。我们认为艺术家最有想象力，那是因为我们自己太缺乏想象力。

数学是明澈的思维。生活里的许多巧合——那些常被有心或无心地异化为玄妙或骗术法宝的巧合，也许只是自然而简单的数学结果。以数学的眼光来看生活，不会有那么多的模糊。有数学精神的人多了，骗子(特别是那些穿戴科学衣冠的骗子)的空间就小了。无限的虚幻能在数学找到最踏实的归宿，它们“如龙涎香和麝香，如安息香和乳香，对精神和感观的激动都——颂扬。”(波德莱尔《恶之花·感应》)

数学是奇异的旅行。数学在某个属于它们自身的永恒而朦胧的地方，在那片朦胧的土地上，我们已经看到了三角形的三个内角和等于180度，三条中线总是交于一点而且三分每一条中线；在那片朦胧的土地上，还存在着无数更令人惊奇的几何图形和数字的奇妙，等着我们去和它们相遇。

数学是纯美的艺术。数学家像画家和诗人，都创造“模式”，不过是用思想来创造，用符号来表达。数学的思想，就像画家的色彩和诗人的文字，以和谐的方式组织起来。数学的世界里没有丑陋的位置。在数学家的眼里，自己笔下的公式和符号就像希腊神话里的那位塞浦路斯国王，从自己的雕像看到了爱人的生命。在数学里，在那比石头还坚硬的逻辑里，真的藏着数学家们的美的追求，藏着他们的性情和生命。

数学是精神的自由。惟独在数学中，人们可以通过完全自由的思想达到自我的满足。不论王摩诘的“雪地芭蕉”还是皮格马利翁(Pygmalion)的加拉提亚(Galatea)，都能在数学中找到。数学没有任何外在的约束，约束数学的还是数学。

数学是永不停歇的人生。学数学的感觉就像在爬山，为了寻找新的山峰不停地去攀爬。当我们对寻找新的山峰不再感兴趣，生命也就结束了。

不论你是不是知道一点儿(或很多)数学，都可以走进数学圈，孔夫子说了，“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”只要“君子乐之”，就走进了一种高远的境界。王国维先生讲人生境界，是从“望极天涯”到“蓦然回首”，换一种眼光看，就是从无穷回到眼前，从无限回归有限。而真正圆满了这个过程的，就是数学。来数学圈走走，我们也许能唤回正在失去的灵魂，找回一个圆满的人生。

1939年12月，怀特海在哈佛大学演讲《数学与善》中说，“因为有无限的主题和内容，数学甚至现代数学，也还是处在婴儿时期的学问。如果文明继续发展，那么在今后两千年，人类思想的新特点就是数学理解占统治地位。”这个想法也许浪漫，但他期许的年代似乎太过久远——他自己曾估计，一个新的思想模式渗透进一个文化的核心，需要1000年——我们的希望是，这个过程会快一点儿，更快一点儿。

最后，我们借从数学家成为最有想象力的作家的卡洛尔笔下的爱丽思和那只著名的“柴郡猫”的一段充满数学趣味的对话。来总结我们的数学圈旅行：

“你能告诉我，我从这儿该走哪条路吗？”

“那多半儿要看你想去哪儿。”猫说。

“我不在乎去哪儿——”爱丽思说。

“那么你走哪条路都没关系，”猫说。

“——只要能到个地方就行，”爱丽思解释。

“噢，当然，你总能到个地方的，”猫说，“只要你走得够远。”

我们的数学圈没有起点，也没有终点，不论怎么走，只要走得够远，你总能到某个地方的。

李泳

2006年8月

2006年西班牙举行的世界数学家大会上，数学界最重要的奖——菲尔兹奖——被授予4位有杰出贡献的数学家，其中有一位是著名俄罗斯数学家佩雷尔曼，以表彰他为证明庞加莱猜想所做的杰出贡献，这个在数学中有着重要作用的猜想曾经困扰了全世界的数学家一百年。有趣的是，这位隐士虽然经济状况不佳，甚至没有正式职位，却拒绝出来接受这个多少人一辈子梦寐以求的荣誉。显然，吸引这位数学天才从事数学研究的动力不是成功所能带来的名利，而是在研究数学过程中的纯粹快乐。

值得一提的是，佩雷尔曼在少年时曾获得过国际中学生数学奥林匹克竞赛金牌。而获得过奥赛金牌并且后来又在数学领域中做出了杰出成果并成为数学大师的还不乏其人，1998年获得菲尔兹奖的英国著名数学家高尔斯以及同佩雷尔曼一起获得菲尔兹奖的澳大利亚华裔数学家陶哲轩也都曾是数学奧赛金牌得主。我国是数学奧赛金牌大国，然而令人遗憾的是，后来继续从事数学研究并成为数学大师的却不多，个中缘由值得深思。造成这种现象的原因很多，很重要的一个原因就是，很多中国学生并没有感受到数学给人带来的真正快乐，相反学生对数学的兴趣却被功利性的教育和学习目的所扼杀。

而读者手里的这本书，就是能让我们感受到数学的快乐的一本书。通过这本书，我们可以知道，原来数学可以教我们这么多有趣的事情。数学可以告诉我们，为什么在街上随便找35个人，其中就几乎肯定有两个人生日是同一天；数学也可以告诉我们，为什么我们在电视里不可能看到准确的长期天气预报；数学还可以告诉我们，原来松果的螺旋线里还隐藏着有趣的秘密(我得承认，读了这本书后，我真地忍不住去捡来一个松果数它的螺旋数量)；数学甚至能告诉我们如何在脚踝被绑在一起的情况下把裤子反过来。这样的乐趣在书里还可以找到很多很多。值得一提的是，轻松的叙述笔调并不表示它的内容就很浅薄，相反，这本书讲到的许多内容都是目前数学研究的前沿领域，如混沌、公钥密码学等。重要的是，这本书告诉我们数学真正的核心不是那些让人生畏的数学公式，而是隐藏在其中的优秀的人类思想。而真正好的思想往往是既反映了事物的本质又能为没有学过数学的大多数人所理解。

中国的学子们曾为中华崛起而学数学，后来又曾为革命理想学数学，再后来又为个人的前途学数学，但是这样的努力并没有给我们带来应有的回报。在国家越来越富强的今天，将会有越来越多的人不是因为功利的目的，而是因为数学所能带给我们的纯粹快乐去学数学。一旦越来越多的青少年能感受到数学带来的纯粹快乐，并因为这种快乐而研习数学，就肯定会有越来越多的人最终成为真正的数学大师，到那个时候，国家、社会乃至整个世界都自然而然从中收获丰厚的红利。而本书就可以作为一个很好的开端，引领读者进入有趣的数学世界。

这是一本快乐的数学书，对译者来说，翻译这本书的过程也充满了快乐。然而译者毕竟水平有限，错误疏漏之处在所难免，还望读者不吝批评指正。

译者

2007年3月

“内容丰富、风趣睿智、让人耳自一新。有如行进在当今数学前沿的过山车，谁都可以搭上去体验一番。我非常喜欢。”

——伊安·斯特瓦特，Flatterland作者

“这是一本快乐的书，既展现了数学的有趣又展现了数学的美。”

——阿兰·奈特曼，《爱因斯坦的梦想》作者

“用轻松的方式展现数学是很艰苦的工作。通过大量日常的例子和撩人的谜题，这本书用有趣而不失严肃的方式展现了那些巨大努力的成果。它证明了，数学与其说是科学，更是一门艺术。”

——约翰·卡斯蒂，《剑桥五重奏》和《20世纪数学的五大指导理论》作者

“当数学违反幼稚的直觉时，许多人责怪他们自己、让人糊涂的前数学老师，或者两者都责备。其实，只要重新对基本假设进行仔细检查就会对它们如何展开有清晰的感觉。伯格和斯塔伯德带领读者领略了范围广泛的违反直觉的例子——来自于概率、拓扑、混沌理论和密码学——然后，有如柔道，又表明乍看上去稀奇古怪的东西其实只需一点新的观念。”

——丹尼斯·莎莎《科学美国人》谜题专栏作家，《谜题探险》作者