本书是一本优秀的微分几何教材，内容广泛，不但包含该领域的经典理论，同时还引入了代数系统和Maple的内容以及微分几何在现代生活中的实际应用。本书主要介绍了变分法、最优控制理论以及微分几何，并通过这些重要的概念帮助读者理解生活中的各种现象，例如肥皂膜的形成以及质点在曲面上的运动等；具体内容涉及常平均曲率、完整与高斯-博内定理、极小曲面、变分法与几何等。此外，本书包含大量的练习，给出了相应的提示和解答，并提供了一系列的实例、定义以及注释。

本书是优秀的微分几何教材，在研究微分几何理论的基础上，给出了微分几何在力学、工程等学科上的大量应用。另外，本书引入了计算机代数系统——Maple，利用它不仅简化了计算，而且还绘制了大量图形，从而可以更加直观地理解微分几何的理论。此外，本书还包含大量习题，并给出了相应的提示和解答。

本书内容广泛，实例丰富，讲解深入浅出，可作为高等院校数学及相关专业的微分几何教材，同时也可作为专业人员的参考书。

译者序

第1版前言

第2版前言

致读者

第1章 曲线的几何性质

1．1引言

1．2弧长参数化

1．3Frenet公式

1．4非单位速度曲线

l．5曲率和挠率的一些结论

1．6格林定理及等周不等式

1．7几何曲线与Maple

第2章 曲面

2．1引言

2．2曲面的几何性质

2．3曲面的线性代数

2．4法曲率

2．5曲面和Maple

第3章 曲率

3．1引言

3．2曲率的计算

3．3旋转曲面

3．4高斯曲率公式

3．5曲率的一些结果

3．6德洛奈曲面

3．7椭圆函数、Maple和几何

3．8用Maple计算曲率

第4章 常平均曲率的曲面

4．1引言

4．2极小曲面的基本概念

4．3极小化面积

4．4常平均曲率

4．5调和函数

4．6复变量

4．7等温坐标

4．8weierstrass—Enneper表示

4．9Maple和极小曲面

4．9．1极小曲面作图

4．9．2极小曲面方程

4．9．3几何条件：旋转极小曲面

4．9．4代数条件

4．9．5Maple和极小化面积

第5章 测地线、度量及等距

5．1引言

5．2测地线方程和克莱罗关系式

5．3关于完备性的简要讨论

5．4非R中的曲面

5．5等距和共形映射

5．6测地线和Maple

5．6．1绘制测地线

5．6．2圆锥上的测地线

5．6．3圆柱上的测地线

5．6．4波状体曲面上的测地线

5．6．5非R中曲面的测地线

5．6．6球极平面及墨卡托投射

5．7工业上的应用

第6章 完整性及高斯一博内定理．

6．1引言

6．2修正的共变微商

6．3平行向量场及完整性

6．4傅科摆

6．5角的剩余定理

6．6高斯－博内定理

6．7高斯－博内定理的应用

6．8测地极坐标

6．9Maple和完整性

第7章 变分法和几何

7．1欧拉一拉格朗日方程

7．2横截性和自然边界条件

7．3基本例子

7．4高阶问题

7．4．1高阶欧拉一拉格朗日方程

7．4．2高阶自然边界条件

7．5魏尔斯特拉斯P函数

7．6带约束条件的问题

7．6．1积分约束条件

7．6．2完整性约束条件

7．6．3微分方程约束条件

7．7微分几何与力学中的进一步应用

7．8庞特里亚金最大值原理

7．9关于气球形状的应用

7．10变分法和Maple

7．10．1基本欧拉-拉格朗日程序

7．10．2压力作用下的梁柱

7．10．3双摆

7．10．4被约束的粒子的运动

7．10．5Maple和聚酯薄膜气球

第8章 高维略谈

8．1引言

8．2流形

8．3共变微商

8．4克利斯朵夫符号

8．5曲率

8．6有趣的双重性质

附录 部分练习的提示及解答

参考文献

索引