一、启发孩子的底层数学思维：数学原来应该这样学

以趣味丰富的文字写枯燥的算理

打破“数学是枯燥、不切实际的学科”的偏见

强调课本上的法则、公式、定理是死板的

唯有将其和活泼的材料相结合，才是学习的正轨

二、精美双色、图文并茂、绿色印刷

开启护眼模式，缓解视力疲劳；

侧重理念，不强调死记硬背，让孩子在轻松阅读中获得知识；

采用环保材料和工艺，减少污染、节约资源.

三、赠送“康奈尔笔记法”精美笔记本，学霸都在用！

Zuigao效的笔记法，会做笔记的孩子成绩会更好。

超简单、超实用！

《马先生谈算学》是著名数学教育家刘薰宇的经典数学科普，用图解的方法帮你轻松解决常见的四则运算。本书以“马先生”的口吻对一些算数问题进行深入浅出地讲解，收集了一百多道题目详加解析。

书中虽然提供了众多问题的详细解法，但正如作者所言，本书的主旨并非讲述死板的算法，而是用心介绍思考算学问题的途径，帮助读者理解算学的基本原理进而灵活解决现实问题。

《数学趣味》是应当时《中学生》期刊的广大读者的纷纷来信恳请而精心完成的。全书包含11篇文章，从数学的本源讲起，而后从生活中拾来鲜活的题材，对数学的法则和算法进行了精到的讲解。

如作者所言，这本书的目标是打破“数学是枯燥、不切实际的学科”的偏见，强调课本上

的法则、公式、定理是死板的，唯有将其和活泼的材料相结合，才是学习的正轨。

《数学的园地》是刘薰宇“以趣味丰富的文字写枯燥的算理”的又一经典力作，可谓高等数学的入门手册。系统地介绍了函数、连续、诱导函数、微分、积分和总集等概念以及它们的基本原理和算法。

高等数学令人望而生畏的概念，在作者的生花妙笔下，变得平易近人，只要学过基本代数和几何知识的人，都能轻松读懂并掌握要点。因此，初中生甚至部分小学生都可以凭借本书预习高等数学。

刘薰宇 （1896a—1967）

我国现代数学教育家、数学家、出版家。1928年留学法国，在巴黎大学研究数学。1930年回国后，先后在暨南大学、大夏大学、同济大学、西南联大任教。1949年后，任贵阳中学校长。1950年调任人民教育出版社担任副总编辑，曾审定全部中小学的数学教材，并亲自参加编写。

曾与夏丏尊、叶圣陶、丰子恺等人一起创办《中学生》《新少年》等青少年期刊，并在期刊中发表了众多数学题材的趣味科普文章。这些文章启发了包括杨振宁、谷超豪等人在内的一代代年轻人的数学梦想。

《马先生谈算学》目录

一　他是这样开场的　001

二　怎样具体地表出数量以及两个数量间的关系　007

三　解答如何产生——交差原理　014

四　就讲和差算罢　020

五　“追赶上前”的话　031

六　时钟的两只针　048

七　流水行舟　055

八　年龄的关系　060

九　多多少少　070

十　鸟兽同笼问题　073

十一　分工合作　078

十二　归一法的问题　092

十三　截长补短　097

十四　还原算　099

十五　五个指头四个叉　102

十六　排方阵　104

十七　全部通过　110

十八　七零八落　115

十九　韩信点兵　120

二十　话说分数　132

二十一　三态之一——几分之几　141

二十二　三态之二——求偏　144

二十三　三态之三——求全　149

二十四　显出原形　171

二十五　从比到比例　182

二十六　这要算不可能了　198

二十七　大半不可能的复比例　203

二十八　物物交换　209

二十九　按比分配　216

三十　结束的一课　225

《数学趣味》目录

一　数学是什么　001

二　数学所给与人们的　010

三　数的启示　017

四　从数学问题说到我们的思想　024

五　恨点不到头　039

六　堆罗汉　051

七　八仙过海　067

八　棕榄谜　090

九　韩信点兵　116

十　王老头子的汤圆　138

十一　假如我们有十二根手指　161

《数学的园地》目录

一　开场话　001

二　第一步　006

三　速度　009

四　函数和变数　015

五　无限小的变数——诱导函数　021

六　诱导函数的几何表示法　030

七　无限小的量　045

八　二次诱导函数——加速度——高次诱导函数　050

九　局部诱导函数和全部的变化　056

十　积分学　060

十一　面积的计算　067

十二　微分方程式　073

十三　数学究竟是什么　077

十四　总集论　082

《马先生谈算学》序言

这书居然写成、出版，我感到莫大的欣幸！

开始写它，远在一九三六年的冬季。从一九三七年一月起，陆续按月在《中学生》发表，中间只因为个人的私事，断过一二期。原来的计划，内容比较简略些，预定一九三七年，在《中学生》上登载完毕。

呵！于个人，于中国，都不能忘掉的这一九三七年！五月底六月初，妻突然患神经病，终日要人伴着。我于是充当她的看护，同时兼做三个孩子的保姆。七月初她渐渐地好起来了，肩头上的担子，也觉得轻了一些。

然而，抗战的第一炮，七月七日，在卢沟桥的天空响了起来。跟着，上海的空气，一天比一天紧张。一面，我察觉到抗战快要展开了，而一经展开，期限一定较长。另一面，妻的病虽渐好，要彻底治疗，惟有回到故乡。她和我离开故乡，都有二十多年，乡思，多少也是病源之一。——在这种情况下，我决定伴着她和我们的三个孩子，离开居住了十多年的上海，回到相别二十多年的故乡，贵阳。

八月十日，在十分紧张的空气中，我们上了直奔重庆的船。后来，才知道，它是载客离上海的最后一只。从上海到重庆船要行十多天，原来还想在船上断续写这书。但一上船，就知道不行了。乘客虽不拥挤，然而要找一张台子写什么，却不可能。到汉口，八一三沪战的消息，已传到船上。—好！这是中国唯一的出路！然而战争总是战争，每天都只有注意无线电传来的消息。

到了重庆，因为交通的阻碍，一时不能去贵阳，坐在旅馆中，也曾提笔续写过。但一想到《中学生》必然停刊，出版界必然遭受沉重的打击，就把笔放下。

回到贵阳后，一直不曾想到将它完成。直到一九三八年的冬季，正是武汉陷落的时期，丏尊兄写信给我，要我将它写完，说开明可以勉力出版。

这自然使我很兴奋，但这时我正准备到昆明，只好暂时放下。到昆明住定以后，想动笔，却无从下手了。已发表过的稿子，我没有保存，它的内容已有些模糊。这一来，才写信给丏尊兄，请他设法寄一份《中学生》刊发过的稿子来。约定稿子一到就动手。稿子寄出的回信，虽不久就收到，而稿子到我的手里，却已经是一九三九年的夏季，距暑假已很近了—决定在暑假中完成它。

暑假，回到贵阳，长长的三个月的时间，竟没有写一个字。原来，妻和孩子们，在一九三八年九月二十五日敌机袭贵阳后，已移往乡下。这时，家人八口，只住两小间平房。挤，固不必说；蚊虫、跳蚤，使你不能静坐到十分钟。

秋后又到昆明。昆明，很好，天气就很好。然而天天想着动手，天天都只是想着而已。在这期间，曾听到有的《中学生》读者，到开明分店来问，《马先生谈算学》出版了没有？有一次，分店的同人，还指着我向顾客说：“这就是马先生。”惹得哄堂大笑。从此，我感到已负了一笔债，非赶快偿还不可。

寒假开始，便下最大的决心，动起笔来。现在算是完成了，然而它能够这样完成，使我对于开明昆明分店的同人，非常感激！

第一，在这期间，昆明的米价、菜价，一切物价，都涨得惊人，不但涨，有时还买不到。寄食于分店的我，居然不分心在柴米上，坐食现成，于这稿子的完成关系实在不小。

其次，从去年十二月以来，昆明警报频繁，有十几次，都是写着写着，警报一响，便收在篮里，提着跑到荒野。提着，提着！不是我自己提，我自己一个笨重的身体，空着手走，已有点儿吃力了，还提什么？提，都是分店的吕元章、韦芝堃和杨炳炎三个人帮忙！虽然，事后想起来，这是徒劳，但他们的辛苦，我总觉得极可感谢！

这样小小的一点儿东西，经过三年多，而且有过不少的波折，今天居然完成了，我感到莫大的欣幸！

关于它的内容，我还想向读者很虔诚地说几句话。它有些像什么难题详解一类，然而对于这一类的书我一向是反对的。

这里面，固然收集了一百几十个题目加以解释，但我并不希望，有人单是为了找寻某一个题的算法来翻阅它。这也许会令人失望的。

我写这书的动机，是在增进学算学的人对于算学的趣味。对于学习算学的态度，思索问题的途径，以及探究题目间的关系和变化，我很用心地去选择和计划表出它们的方法。我希望，能够把这没有生命的算学问题注进一点儿活力。

用图解法直接来解决算术问题，这不但便于观察和思索，而且还可使算术更贴近实际。图解，本来已沟通了代数和几何，成为解析算学的骨干。所以若从算术起，就充分地运用它，我想，这不但对于进修算学中的其他部门有着不少的帮助，而且对于学习理工科，乃至于统计等，也是有益的。

我对于算学的态度，已散见于这书中，一面我认为人人应学，然而不是说人人都要做算学专家。一面我认为人人都能学，然而不是说人人都能成算学专家。

科学！科学！现在似乎已没一个知识分子不承认它的价值和需要了。然而对于科学，中等程度的算术、代数、几何、三角、解析几何以及初等微积分，实在是必不可少的基础。谨以此书献给真实爱好科学的青年朋友。

一九四〇年二月十九日于昆明万松草堂后院

《数学趣味》序言

我中学时代最不欢喜数学，最欢喜图画，常常为了图画而抛荒数学课。

看见某画理书上说：“学数学与学图画，头脑的用法相反，故长于数学者往往不善图画，长于图画者往往不善数学。”我得了这句话的辩护，便放心地抛荒数学课，仿佛数学越坏，图画会越好起来似的。现在回想觉得可笑又可惜，放弃了青年时代应修的一种功课。我一直没有尝过数学的兴味，一直没有游览过数学的世界，到底是损失！

最近给我稍稍补偿这损失的，便是这册书里的几篇文章。我与薰宇相识后，他便做这些文章。他每次发表，我都读，诱我读的，是它们的富有趣味的题材。我常不知不觉地被诱进数学的世界里去。每次想：假如从前有这样的数学书，也许我不会抛荒数学，因而不会相信那画理书上的话。

我曾鼓励薰宇续作，将来结集成书。现在书就将出版了，薰宇要我作序。

数学的书，叫我这从小抛荒数学的人作序，也是奇事。而我居然作了，更属异闻！序，似乎应该是对于全书的内容有所品评或阐发的，然而我的序没有，只表示我是每篇的爱读者而已。—唯其中“韩信点兵”一篇给我的回想很不好：这篇发表时，我正患眼疾，医生叮嘱我灯下不可看书，而我接到杂志，竟在灯下一口气读完了。次日眼睛很痛，又去看医生。

一九三三年耶稣诞节

子恺

致读者

我有一个怪癖—胡思乱想。闲来无事，独自一个人坐着，不用说，只是胡思乱想。就是吃饭、走路的当儿，仍然胡思乱想。甚至许多人在一起谈得兴会淋漓的时候，我也会突然默默地不顾一切地发呆。

我的胡思乱想也有一点儿奇怪，并非天南地北、海阔天空地毫无边际，只是由一个什么诱因一直线地连续下去，有时竟连续两三天，全在这条线上循环往复。

我胡思乱想的路不过两条：一条非数学的，一条数学的。我会想到一个没有鼻子的人，怎样生活下去；也会想到一个长着翅膀的人怎样在天空中翱翔，怎样快活或怎样倒霉。这些属于非数学的一类。自然说它们是文学的似乎更恰当些，但我的笔太笨了，不能将它们写成童话，所以不敢“掠美”用“文学的”这一个词。

数学的胡思乱想，占据我的时间差不多有三分之一以上。我是不喜欢孤独的，然而我的命运常常使我困在孤独里面。我有许多朋友，很奇怪的是，这些被我热心、诚敬称为朋友的人，没有一个把我登记在他的朋友录里。我不出去找人，永远不会有人光临到寒舍。我去找朋友时，总使他们心里不高兴。因为我怕孤寂，找到了朋友，就舍不得离开。我常常觉得这损人利己的勾当不是办法，于是鼓起勇气孤零零地坐在屋里，这时，陪伴我的大半是数学的胡思乱想。在生活上，遇到坎坷，走投无路，我总是读数学，或用数学的胡思乱想来使自己镇静。数学是我的朋友，是唯一肯给我慰藉的朋友，然而我却没有想成数学家的野心。

我的数学的胡思乱想，站在数学的立场说，全是上天下地地跑野马。有时我想到极深奥的问题，有时我想的却只是小学生的问题。我走上电车、公共汽车，或火车，总要看那张车票的号头，将它来分因子，将各因子两两三三地乘乘除除。比如车票的号头是 6552，凭我的力量一眼就知道它含有一个因子 8 和一个因子 9，再看又知道还含有一个因子 7。八九七十二，7 乘 72 得 504，我便用 504 去除 6552 得到 13，它是个质数，分解因子的想法才就此停止。以后便用 12，24，14，28，56，26，39……一切 2，4，8，3，9，7，13 中两个数以上的乘积，去除 6552。这样的胡思乱想，使我忘掉同车没有朋友的寂寞。假如车票的号头是一个一眼望去就可知道的质数，这一次的乘车经历对我来说就很痛苦。

我最怕一个人步行，走路得当心，不便胡思乱想，然而我在一个人走路的时候，一样怕寂寞，唯一驱赶寂寞的方法便是数步数。无论分因子、数步数或胡思乱想到别的深深浅浅的问题，都只是把它当作排遣孤寂的方式，并不追求什么结果。我的住室在楼下，每次上下的梯子，总数过好几百次，但是若要问这梯子有几级，我还需去数了才回答得上来。

这本小册子里所结集的十来篇东西，有两个来源：一是被逼得无可奈何时的文债，一是胡思乱想的结果。本来，这些不成什么器皿的东西，将它们发表已属多事；发表过了，还要结集起来，成单行本，更是多事中的多事。既然知道这样，为什么还要自讨苦吃呢？这也有点儿小小的原因：自从发表过四五篇后，书店和我便常常接到一些爱读青年的信，一是要我多写，一是要我将它们结集起来出单行本。其中有两封最使我感动，它们都是“一·二八”以后的。那信上说，他们在《中学生》上很喜欢读《数学讲话》，一直是保存起来的，因为他们住在闸北，“一·二八”逃难竟失去了，补也补不齐，望我出单行本给他们以便有机会再读。不过那时才只有五六篇，在量上未免单薄一些，所以拖延到现在才来报答这些喜欢它们的朋友的雅意。

至于写，我很抱歉，久已不动笔了，更说不到多。其原因是个人生活的忙碌。在忙碌中虽然一样地胡思乱想，但这胡思乱想的直线都很短，写不成什么东西。此后我希望能有更多胡思乱想的时间，写出一点儿东西。孤寂呢，因生活的忙碌不但没有减少，有时反而增加深度。无论如何只希望胡思乱想的直线，能有拉得较长的机会。因为这十来篇东西只是胡思乱想的结果，所以它们彼此之间没有较多的关联，不过有两点似乎是相同的：许多人以为数学是枯燥、繁杂、令人头痛、不切实用的学科，因而望而却步。打破这种观念，这是第一个共同的企图。

许多人以为学习数学，只要呆记书本上的法则、公式、定理等等，再将练习题做完，这就算全部掌握了。其实书本上的知识不但有限，而且也太固定了，我们所能遇见的更鲜活的材料不知有多少。将死板的方法用到这些活泼的材料上去，使它俩相得益彰，这是一条学习的正轨。学习不但要收集一些材料，还要掌握一些方法。掌握方法比收集材料更有效果。比如说，鸡兔同笼这一类题，什么算术课本里都有，掌握它的算法固然重要，而学习怎样思索出那算法来更重要，不是吗？它的算法是从假设全体是鸡或兔起步的，知道第一步以后便容易了。对于这类题怎样才能想出这第一步的假设法来，便是思索的方法和问题。暗示处理材料和思索问题的方法，这是第二个共同的企图。自然，这小册子并不会完全达到这两个企图，这是我的力量的问题，深感抱歉！

在嬉皮笑脸中来谈点严肃的数学法则。

——刘薰宇

早在中学时代，由于偶然的机会我对数学发生了兴趣，而且发现了自己的数学能力。20世纪30年代，开明书局出版了一份杂志，名叫《中学生》……有一位刘薰宇先生，他是位数学家，写过许多通俗易懂和极其有趣的数学方面的文章，我记得，我读了他写的关于智力测验的文章，才知道排列和奇偶排列这些极为重要的数学概念。

——杨振宁1983年对香港中学生的演讲

我一直没有尝过数学的兴味，一直没有游览过数学的世界，到底是损失！最近给我稍稍补偿这损失的，便是这册书里的几篇文章。我与薰宇结识后，他便做这些文章。他每次发表，我都读，诱我读的，是他们的富有趣味的题材。我常不知不觉地被诱进数学的世界里去。

——丰子恺，《数学趣味》序言

我很早就对数学产生了兴趣，中学时期除了好好学习课本外，还看了不少课外书。记得看了刘薰宇的《数学的园地》，其中有一段讲述了微积分思想，从什么是速度讲起。当时在学中学物理课，我自以为很懂得速度、加速度等概念，然而读了这本书之后才发现，原来速度概念要用到微积分才能精确了解，于是对数学愈发地感兴趣了。

——谷超豪

一　数学是什么

这里所要说明的“数学”这一个词，包含着算术、代数、几何、三角等等在内。用英文名词来说，那就 是 Mathematics。它的定义，照平常的想法，非常简单、明了，几乎用不到再说明。若真要说明，问题却有很 多。且先举罗素（Russell），在他所著的《数理哲学》提出的定义，真是叫人莫名其妙，好像在开玩笑一样。

他说： “Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true．”将这句话粗疏地翻译出来，就是：“数学是这样一回事，研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”

这样的定义，它的惝恍迷离，它的神奇莫测，真是“不说还明白，一说反糊涂”。然而，要将已经发展到现在的数学的领域统括得完全，要将它繁复、灿烂的内容表示得活跃，好像 除了这样也没有别的更好的话可说了。所以伯比里慈（Papperitz）、伊特耳 生（Itelson）和路易· 古度拉特（Louis Couturat）几位先生对于数学所下的定义也是和这个气味相同。对于一般的数学读者，这定义，恐怕反而使大家坠入五里雾中，因此拨云雾见青天的工作似乎少不了。罗素所下的定义，它的价值在什么地方呢？它所指示的是什么呢？要回答这些问题，还是用数学的其他定义来相

比较更容易明白。

在希腊，亚里士多德（Aristotle）那个时代，不用说，数学的发展还很幼稚，领域也极狭小，所以只需说数学的定义是一种“计量的科学”，便可使人心满意足了。可不是吗？这个定义，初学数学的人是极容易明白、满足的。他们解四则问题、学复名数的计算，再进到比例、利息，无一件不是在计算量。就是学到代数、几何、三角，也还不容易发现这个定义的破绽。然而仔细一想，它实在有些不妥帖。第一，什么叫作量，虽然我们可以用一般的知识来解释，但真要将它的内涵弄明白，也不容易。因此用它来解释别的名词，依然不能将那名词的概念明了地表示出来。

第二，就是用一般的知识来解释量，所谓计量的科学这个谓语也不能够明确地划定数学的领域。像测量、统计这些学科，虽然它们各有特殊的目的，但也只是一种计量。由此可知，仅仅用“计算的科学”这一个谓语联系到数学而成一个数学的定义，未免广泛了一点。 若进一步去探究，这个定义的欠缺还不止这两点，所以孔德（Comte）就加以修改而说：“数学是间接测量的科学。”照前面的定义，数学是计量的科学，那么必定要有量才有可计算的，但它所计的量是用什么手段得来的呢？用一把尺子就可以量一块布有几尺几寸宽、几丈几尺长；用一杆秤就可以量一袋米有几斤几两重，这自然是可以直接办到的。但若是测量行星轨道的广狭、行星的体积，或是很小的分子的体积，这些就不是人力所能直接测定的，然而由数学的方法可以间接将它们计算出来。

因此，孔德所下的这个定义，虽然不能将前一个定义的缺点完全补正，但总是较进一步了。孔德究竟是十九世纪前半期的人物，虽然他是一个不可多得的哲学家和数学家，但在他的时代，数学的领域远不及现在广阔，如群论、位置解析、投影几何、数论以及逻辑的代数等，这些数学的支流的发展，都是他以后的事。而这些支流和量或测量实在没什么关系。即如笛沙格 （Desargues）所证明的一个极有兴味的定理：“两三角形的顶点若在集交于一点的三直线上，则它们的相应边的交点就在一条直线上。

”

这个定理的证明，就只用到位置的关系，和量毫不相干。数学的这种进展，自然是轻巧地将孔德所给的定义攻破了。 到了 1970 年，皮尔士（Peirce）就另外给数学下了一个这样的定义：

“数学是产生‘必要的’结论的科学。”

不用说，这个定义比以前的都广泛得多，它已离开了数、量、测量等这些名词。我们知道，数学的基础是建筑在几个所谓公理上面的。从方法上说，不过由这几个公理出发，逐渐演绎出去而组成一个秩序井然的系统。所谓公式、定理，只是这演绎所得的结论。照这般说法，皮尔士的定义可以说是完整无缺吗？

不！依了几个基本的公理，照逻辑的法则演绎出的结论，只是“必然的”。若说是“必要”，那就很可怀疑。我们若要问怎样的结论才是必要的，这岂不是很难回答吗？

更进一步说，现在的数学领域里面，固然大部分还是采用着老方法， 但像皮亚诺（Peano）、布尔（Boole）和罗素这些先生们，却又走着一条相反的途径，对于数学的基础的研究他们要掉一个方向去下寻根问底的工夫。

于是，这个新鲜的定义又免不了摇动。 关于这定义的改正，我们可以举出康伯（Kempe）的来看，他说：“数学是一种这样的科学，我们用它来研究思想的题材的性质的。而这里所说的思想，是归依到含着相异和相同，个别和复合的一个数的概念上面。”

这个定义，实在太严肃、太文气了，而且意味也有点儿含混。在康伯 以后，布契（B?cher）把它改变一下，便这样说：“倘若有某一群的事件与某一群的关系，而我们所要研究的问题，又单只是这些事件是否适合于这些关系，这种研究便称为数学。”在这个定义中，有一点最值得注意，布契提出了“关系”这一个词来解释数学，它并不用数咧、量咧这些家伙，因此很巧妙地将数学的范围扩张到“计算”以外。

假如我们只照惯用的意义来解释“计算”，那么，到了现在，数学中有些部分确实和计算没有什么因缘。 也就因为这个缘故，我喜欢用“数学”这个词来译 Mathematics，而不喜欢用“算学”。虽然“数”字也还不免有些语病，但似乎比“算”字来得轻些。倘使我们再追寻一番，我们还可以发现布契的定义也并不是“悬诸国门不能增损一字”的。不过这种工夫越来越细微，也不容易理解。而我这篇东西不过想给一般的数学读者一点儿数学的概念，所以不再往里面穷追了。

将这个定义来和罗素所下的比较，虽然距离较近，但总还是旨趣悬殊。那么，罗素的定义果真是开玩笑吗？

我是很愿意接受罗素的定义的，为了要将它说得明白些，也就是要将数学的定义——性质——说得明白些，我想这样说：“数学只是一种符号的游戏。”

假如，有人觉得这样太轻佻了一点儿，严严正正的科学怎么能说它是“游戏”呢？那么，这般说也可以：“数学是使用符号来研究‘关系’的科学。”

对于数学这种东西，读者大都有过这样的疑问，这有什么意思呢？这有什么用呢？本来它不过让你知道一些关系，以及从某种关系中推演出别的关系来，而关系的表出大部分又只靠着符号，这自然不能具体地给出什么用场和意义了。

为了解释明白上面提出的定义，我想从数学中举些例子来讲，更方便些。一开头我们就看“一加二等于三”。

在这一个短短的句子里，照句子法上的说法，总共是五个词：“一”“二”“三”“加”“等于”。这五个词，前三个是一类，后两个又是一类。什么叫“一”？什么叫“二”？什么叫“三”？这实在不容易解答。它们都是数，数是抽象的，不是吗？我们能够拿一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶给人家看，但我们拿不出“一”来，“一”是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶。一个这样，一个那样，这些的共相。从这些东西我们认识出这共相，要自己保存，又要传给别人，不得不给它起一个称呼，于是就叫它是“一”。我为什么叫“薰宇”，倘若你要问我，我也回答不上来，我只能说，这只是一个符号，有了它方便你们称呼我，让你们在茶余酒后要和朋友们批评我、骂我时，说起来方便些，所以“薰宇”两个字是我的符号。

同样地，“一”就是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶……这些东西的共相的符号。这么一说，自然“二”和“三”也一样只是符号。至于“加”和“等于”在根源上要说它们只是符号，一样也可以，不过从表面上说，它们表示一种关系。所谓“一加二”是表示“一”和“二”这两个符号在这里的关系是相合；所谓“等于”是表示在它前后的两件东西在量上相同。所以归根到底“一加二等于三”只是三个符号和两个关系的联缀。

单只这么一个例子，似乎还不能够说明白。再举别的例子吧，假定你是将代数学完了的，我们就可以从数的范围的逐渐扩大来说明。 在算术里我们用的只是 1，2，3，4，…这些数，最初跨进代数的门 槛，遇到 a，b，c，x，y，z，总有些不习惯。你对于二加三等于五，并不惊奇，并不怀疑；对于二个加三个等于五个，也不惊奇，也不怀疑；但 对于 2a+3a=5a 你却怔住了，常常觉得不安心，不知道你在干什么。其实 呢，2a+3a=5a 和 2+3=5 对于你的习惯来说，后者不过更像符号而已。有了这一个使用符号的进步，许多关系来得更简单、更普遍，不是吗？若是将 2a+3a=5a 具体化，认为 a 是一只狗的符号，那么这关系所表示的便是两只 狗碰到了三只狗成为五只狗；若 a 是一个鼻头的符号，那么，这关系所表示的便是两个鼻头添上三个鼻头总共就成了五个鼻头。 再掉转一个方向来看，在算术中除法常有除不尽的时候，比如2÷3。

遇见这样的场合，我们便有几种方法表示： （1）2÷3=0.667 弱（2）2÷3=0.6……2 （3）2÷3=0.6 4 （4）2÷3= 2 3 第一种只是一个近似的表示法；第二种表示得虽正确，但用起来不方便；第三种是循环小数，关于循环小数的计算，那种苦头你总尝到过；第四种是分数，

2

3

是什么？你已知道就是 3 除 2 的意思。对了，只是“意思”， 毕竟没有除。这和 3 除 6 得 2 的意味终是不同的。所谓“意思”便是“符号”。因为除法有除不尽的时候，所以我们使用“分数”这种符号。有了这种符号，于是我们就可以推究出分数中的各种关系。

在算术里你知道 5-3=2，但要碰到 3-5 你就没办法，只好说一句“不能够”。“不能够”？这是什么意思？我替你解释便是没有办法表示这个关系。但是到了代数里面，为了探究一些更普遍的关系，不能不想一个方法 来突破这个困难。于是有些人便这样想，3-5 为什么不能够呢？他们异口 同声地回答，因为还差2 的缘故。这一回答，关系就成立了，“从3 减去5 差 2”。在这个当儿又用一个符号“-2”来表示“差 2”，于是这关系就成为 3-5=-2。这一来，真是“功不在禹下”。有了负数，我们一则可探讨它自身所包含的一些关系，二则可以将我们已得到的一些关系更普遍化。

又如在乘法中，有时只是一些相同的数在相乘，便给它一种符号，譬 如 a×a×a×a×a 写成 a5。这么一来，关于这一类的东西又有许多关系可以发现了，例如：

不但这样，这里的 n 和 m 还只是正整数，后来却扩张到负数和分数去而得出下面的符号：