函数空间理论是泛函分析的重要内容，起源于对积分方程的求解和变分法的研究。希尔伯特在积分方程的研究中洞察到函数空间的相关理论。在用现代抽象术语表述希尔伯特思想的过程中，追随者们逐渐建立了抽象函数空间理论。本书在积分方程的视角下，对函数空间理论产生的背景、形成的原因、发展的过程进行了论述，着重探究了希尔伯特与其追随者们之间的思想传承。 本书有助于更好地理解函数空间理论的历史发展进程，进而更全面地理解近现代数学思想。

李亚亚，甘肃会宁人，博士后，西安财经学院讲师，主要研究方向为近现代数学史。
王昌，陕西泾阳人，博士，西北大学副教授，博士生导师，主要研究方向为近现代数学史。

第1章 弗雷德霍姆的积分方程理论1
1.1 弗雷德霍姆积分方程思想的来源1
1.1.1 沃尔泰拉的启发2
1.1.2 科克的成果4
1.2 弗雷德霍姆的积分方程理论12
1.2.1 定义“系数行列式”13
1.2.2 讨论“系数矩阵的秩”15
1.2.3 分两种情形处理方程17
第2章 希尔伯特对积分方程的早期探索23
2.1 希尔伯特研究积分方程的原因23
2.2 希尔伯特的特征值理论26
2.2.1 希尔伯特的代数问题26
2.2.2 定义特征值、特征函数31
2.2.3 建立广义主轴定理34
2.2.4 建立函数的展开定理38
2.3 微分方程上的应用40
第3章 希尔伯特的一般理论45
3.1 希尔伯特的目标45
3.2 希尔伯特的谱理论46
3.2.1 有限维的情形47
3.2.2 定义点谱、连续谱50
3.2.3 有界无穷二次型的谱分解54
3.2.4 全连续概念的引入56
3.3 谱理论在积分方程上的应用59
第4章 希尔伯特空间的诞生68
4.1 希尔伯特序列空间的建立68
4.1.1 施密特的早期工作69
4.1.2 希尔伯特序列空间的诞生75
4.2 里斯-费舍尔定理的建立80
4.2.1 勒贝格积分的建立80
4.2.2 里斯的相关工作90
4.2.3 费舍尔的相关工作93
第5章 抽象巴拿赫空间理论的开始97
5.1 具体巴拿赫空间的发现97
5.2 抽象算子理论的开端103
5.3 紧算子理论的建立106
5.4 巴拿赫空间理论的开始111
5.4.1 巴拿赫空间的定义111
5.4.2 巴拿赫空间上的算子115
第6章 抽象希尔伯特空间理论的开始120
6.1 抽象希尔伯特空间的定义120
6.2 抽象希尔伯特空间的算子126
人名列表133
术语列表136
参考文献140