热爱是快乐学习和工作并不断取得卓越进步的源泉和伟大动力。朱俚治编著的《最拓展思维的数学之旅》由著名高校的教授、专家、学者执笔，以高屋建瓴的视角，以实践作为切入口，为青少年学生揭示和展现学科世界中的美，引领他们抛开应试的压力和思维束缚，以一种轻松、自然的心态来面对和探索科学知识，激发青少年对科学、对实验、对学好理科的兴趣，激发他们探究科学世界的热情，真正达到提高综合素质、培养科学素养的目的。

作者语言亲切流畅、平直易懂，体现了基础性、趣味性，符合中学生的认知水平和心理，内容方面，体现了数学精神和对数学的整体认识，能给读者很高层面的指导作用。对数学原理介绍性的内容无不体现了科学家独到的视角，闪耀着智慧的光芒。

朱俚治编著的《最拓展思维的数学之旅》内容共分三部分：其一是数学与数量，内容广泛涉及数学的定义和数学三次危机，从古希腊数学一直讲到近代微积分、现代模糊数学和中介数学；其二是数学与空间，从古代欧氏几何第五公设问题一直讲到非欧几何与星际宏观空间结构；其三是数学与方法，从左脑与右脑的分工合作一直讲到各种发明创造的数学方法，其中还包括取得成功的要素之一，即勤奋努力与意志坚强。

中学生与小学高年级学生都能读懂本书的全部内容。《最拓展思维的数学之旅》还对涉及的古今中外的相关人物的生平作了介绍，让孩子们从小就对科学家的治学方法和修身品质有所认识，并从中受到启发和励志。

引论

第一章 数学大厦和它的墙基

 第1节 什么是数学和数学研究什么

 第2节 数学在应用上的极端广泛性与数学在学科分类中的实际位置

 第3节 数学之文化素质品格

 第4节 数学大厦墙基上的裂缝及其修补方法

4.1 悖论概念的演变与定义

4.2 数学危机

 第5节 模糊数学与中介数学

5.1 数学研究对象的再扩充

5.2 精确性与模糊性

5.3 有中介与无中介

5.4 模糊数学大厦的墙基问题

 第6节 古今中外与本章内容相关的主要学者和人物之生平简述

第二章 星际宏观空间与地球直观空间在结构上迥然不同

 第1节 欧几里得几何原本

1.1 数学与空间

1.2 欧几里得和他的《几何原本》

1.3 第五公设问题

 第2节 欧几里得——希尔伯特几何公理系统

2.1 欧几里得的《几何原本》中的缺点

2.2 欧几里得——希尔伯特几何公理系统的结构及其解读方式

 第3节 罗拔切夫斯基几何学

3.1 欧几里得几何思维模式的定型和新几何思维模式的显现

3.2 发明新几何的若干相关历史情况与罗拔切夫斯基的科学品质

3.3 再讲罗拔切夫斯基的平行公理（V）

3.4 欧氏几何与罗氏几何的相容性

3.5 欧氏平行公理（V）与罗氏平行公理（V）相对于绝对几何系统的独立性

 第4节 古今中外与本章内容相关的主要学者和人物之生平简述

第三章 数学方法论

 第1节 什么是数学方法论

1.1 数学方法论的内涵与由来

1.2 国际科学家联盟下属的一个大型国际会议

1.3 我国教育模式的现状和继续推广数学方法论的必要性

1.4 左脑与右脑的分工合作

1.5 勤奋与意志

 第2节 经验归纳法

 第3节 类比推理法

 第4节 抽象分析法

 第5节 映射反演法

 第6节 古今中外与本章内容相关的主要学者和人物之生平简述

参考文献

数学之文化素质品格

数学有两种品格，一是工具品格，二是文化素质品格。对于数学的工具品格，我们在上一节中已经说清楚了，这是由于数学在应用上的极端广泛性，以致任何一门学科的研究和发展，都要直接或间接地运用数学工具。数学的工具品格是永远不会被人们淡忘的，因为在人类社会的发展中，总有一种挥之不去的短期效益思维模式存在，并且有不断膨胀的现象，而我们无论做什么事，都离不开数学工具，这就必然导致人们对数学之工具品格越来越重视，特别是在一种功利思潮上升的情况下，还会形成数学纯粹工具论的观点，所以数学的工具品格在人们的印象中只会愈来愈突出。至于数学之文化素质品格，我想小朋友们可能从来就没有听说过，也就不知道什么叫数学之文化素质品格。让我先解释一下，所谓数学之文化素质品格，指的是数学不仅在应用上非常有效，还有一个更重要的作用，就是数学能提升一个人的文化素质综合水平，能培养一个人的道德修养和客观公正的品质。听到这里，小朋友们可能会觉得这实在太玄乎了，数学课又不是道德修养课，两者怎么联系起来呢？不要着急，下面我要给大家讲几个古今中外的典型故事，到时候你们心中的疑团就会解开了。其实数学之文化素质品格，早就被古希腊大学问家发现了，并且贯彻到教学和办学方式中去，然而随着时代的变迁，社会思维模式的功利化，直到今天，数学之文化素质品格，不仅被人们淡忘，而且已经不为广大教育工作者重视，更不为广大受教育者所知晓，几乎变成了只有少数数学哲学专家，在学术讨论会上讨论的话题了。这实在太可惜也太偏废了，所以我要和小朋友们认真讨论一下数学之文化素质品格的问题。让我先讲一个古希腊大学者柏拉图（Plato）的办学思想和办学方针的故事。

柏拉图是古希腊伟大的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一。柏拉图创办了一所哲学学校，所开设的课程都是关于社会学和政治学，以及关于道德起源和行为准则方面的伦理学，总之都是关于社会科学和人文科学方面的课程。但是柏拉图却在哲学学校门口挂牌告示，没有学习过欧几里得几何知识的人，不要入学就读，也就是没有资格成为哲学学校的学生。这就奇怪了，难道前面所列之哲学学校里所设置的课程，必须要以几何知识为基础才能学懂吗？或者这类课程中的什么论点需要用什么几何定理去进行推演吗？当然都不是，哲学学校里所设置的每一门课程，都不可能以几何知识为工具进行学习。柏拉图坚持必须经过几何知识的考核，才能人学读书的原因，根本不是立足于数学之工具品格，而是作为一位高智慧的学者，他充分认识到立足于数学之文化素质的学习和训练，对于陶冶一个人的情操，锻炼一个人的思维能力，直至提升一个人的综合素质水平，都有非凡的功效。所以柏拉图认为，只有经过严格的数学训练，才能真正深入学习他所设置的课程，才能真正领悟课程的内容和精神，否则就只能肤浅地学到一点皮毛，很难成才，也很难对社会作出贡献。这样看来，柏拉图是一位深知数学之文化理念和文化素质之重要意义的高智慧人物。

美国有一所世界闻名的军事学校，叫做西点军校。西点军校历史悠久，建校已有两个世纪，培养了大批高级的军事指挥员，也有许多美国的著名将领毕业于西点军校。数学在现代战争中的实用价值是人人皆知的，所以数学的工具品格在现代军事技术和现代战争中是非常突出的。在西点军校的教学计划中，学员们要学习许多在实战中发挥重要作用的数学课，例如运筹学、优化技术和可靠性方法等等。小朋友们一时听不明白这些课程的名称没有关系，我要说的是，西点军校的教学计划还规定，学员们还要必修多门与实战根本挂不上钩且理论性很强的高深的数学课。西点军校之所以这么做，当然也是立足于数学的文化素质品格。因为他们充分认识到，只有通过严格的数学训练，才能使得学员们在军事行动中，能把那种特殊的活力与高度的灵活性相互结合起来，才能使学员们具有把握军事行动的能力和适应性，从而为他们驰骋于疆场打下坚实的基础。这就说明，当今社会仍有有识之士，在高等教育的教学计划中，重视和贯彻柏拉图的高智慧古识。

我还想给小朋友们讲讲英国社会怎样培养律师的情况。大家知道，从事律师职业的人，在英国社会中比较受到尊重。据我们了解，英国律师在大学里要必修多门高等数学课程，这既不是因为英国的法律条文要用什么数学方法去计算，也不是英国的法律课程要以什么高等数学知识作为基础，而只是出于这样一种认识，那就是只有通过严格的数学训练，才能使之具有坚定不移而又客观公正的品格，并使之形成一种严格而精确的思维习惯，从而对他们取得事业的成功大有益助。这也说明，他们充分认识到数学的学习与训练，绝不是实用主义的单纯传授知识，而深知数学之文化理念和文化素质原则，在造就一流人才中的决定性作用。

总体来说，我们在上文中说到的那些学生或学员，当他们后来成为哲学大师、著名律师或运筹帷幄的将帅时，实际上早已把学生时代所学的那些非实用性数学知识忘得一干二净了。但那种铭刻于头脑中的数学精神和数学文化理念，却会长期地在他们的事业中发挥重要作用。他们当年所受到的数学训练，一直会在他们的思维方式中潜在地起着根本性作用，并且受用终身。这就是数学之文化素质品格的至高价值所在。P22-25

本人大学本科毕业，学的是计算机专业，虽然学了几门相关的数学课，但对数学的了解和认识很肤浅。其实我小时候对数学很感兴趣，考大学时大家说计算机专业比较容易找到工作，家长就没有让我去学数学。我家对门住的是一位中学数学教师，他毕业于师范大学数学系，他上课讲得特别好，远近学校都知道。我念书时有什么数学上的问题和困难，都去求教于他，我上高一时他就退休了。他姓居，大家都叫他居老师，他现在年纪更大了，人们都叫他居老。他和院子里其他老先生完全不同，他既不去钓鱼、打牌休闲，也不和其他老先生瓣一起聊天，却喜欢和院子里的小孩在一起玩，孩子们都围在他身边听他讲故事，都是些小学高年级学生或初中生，我也加入了他们的行列，但我稍大一点，已上高中一年级了。居老用很科普的讲法给我们讲高等数学，我们都能听明白，所以一到节假日，孩子们都往居老家里跑。居老讲得绘声绘色，我们也听得很专心。那时我有个随身听，就把居老讲的内容全部录音下来了。长大以后回想起来，还感到十分有兴趣，所以一有空我就坐在电脑前打开录音机，播放居老给我们讲的数学故事，一面就在键盘上敲敲打打。几个月前我把它全部打印出来让居老过目，他开心地笑起来。但他说我文字水平很一般，他又花了不少时间加以修改和润色。居老毕竟年纪大了，视力大不如前，我很过意不去，但他说他十分乐意做这件事。说实在话，单凭我是写不出这本书来的，我实际上只是这本书的执笔者，而且水平有限，疏漏之处在所难免，敬请读者批评指正，我也会及时和居老沟通。首先我要向居老致敬和衷心感谢，还要向本书的编辑表示衷心感谢，他们为本书的付印和出版，付出了辛勤的劳动，而且出版社对此科普读物的选题也十分精彩，堪称智慧之举，对孩子们未来的成长发展，实有非凡的社会效益。