爱迪生曾说过：“惊奇就是科学的种子。”“科技探索第一视野”正是一套让人备感惊奇、超酷超炫的科学书，立足于21世纪的最新科技发展喊果，紧跟时代步饯，以独特的视角、生动的文字、丰富的想象力，书中全面阐述科学知识、揭秘复系的科学现象、洞悉自然科学规徨，让你领略到看似枯燥的科学其实很精彩、很有趣。

这本《数学中的奥秘》(作者王建)是该系列中的一册。

这本《数学中的奥秘》(作者王建)是编者精心收集整理大量资料之后，汇编而成的，囊括了各个方面的数学知识。希望读者们通过阅读《数学中的奥秘》，能轻松地掌握许多数学知识，这样编者们编写本书的目的就达到了。

数学起源

第一节 数的形成

一、数的形成

二、数觉与等数性

第二节 数的语言、符号与记数方法的产生

一、数的语言

二、记录数的符号——数字

三、古代的进位制

数学算术知多撒后

第一节 人类对自然数的探索及研究

一、对自然数的早期认识

二、自然数的早期研究

第二节 符号“0”的产生

第三节 整数见闻

一、完全数

二、亲和数

三、勾股数

第四节 小数的产生与表示

第五节 最早的二进制

第六节 数的运算

第七节 “算术”的含义

第八节 算术的基因和基理

第九节 关于素数

一、素数的故事

二、素数的生产

第十节 你知道有多少孪生质数吗?

一、有多少个质数

二、质数的奇妙分布

三、数学难题的出现

四、在寻找质数公式的崎岖道路上

几何奥妙的探索

第一节 几何的起源

一、形的起源

二、几何图形

三、实验几何

第二节 《几何原本》内容提要与点评

第三节 蝴蝶定理

第四节 勾三股四弦五

一、中国的345三角形

二、徒手在正方形纸片上做出24个345三角形

三、方圆之中的345三角形

第五节 化圆为方的问题

数学符号的产生与演进

一、加法符号“+”

二、减法符号“-”

三、乘法符号“×”

四、除法符号“÷”

五、等号“=”、大于号“>”、小于号“<”

六、小括号“()”、中括号“[]”、大括号“{}”

七、根号“□”

八、指数符号“an”

九、对数符号“log”，“In”

十、虚数单位i、π、e以及a+bi

十一、函数符号

十二、求和符号“∑”、和号“S”、极限符号及微积分符号

十三、三角函数的符号与反三角函数的符号

十四、其他符号

模糊数学初探

第一节 由一个古希腊问题引出的模糊概念

第二节 集合的产生

一、一个“疯子”的后遗症

二、集合与集合之间的关系

三、模糊集合是由普通集合拼凑而成的

四、模糊关系

五、有趣的聚类图

六、从模糊相似矩阵到模糊等价矩阵

数学中的危机

第一节 第一次数学危机

第二节 有理数与无理数的探索

一、平易近人的有理数

二、神出鬼没的无理数

三、有理数是米，无理数是汤

第三节 问遍天堂地狱，谁人知晓丌的真面貌

第四节 第二次数学危机

一、第二次数学危机概况

二、代牛顿圈改《流数简论》

第五节 皮囊悖论

一、集合与皮囊悖论

二、整体等于其半

三、神秘的康托尔尘集

第六节 理发师悖论与第三次数学危机

数学中七个“千年大奖问题”

第一节 NP完全问题

第二节 霍奇猜想

第三节 庞加莱猜想

一、令人头疼的世纪难题

二、艰难的证明之路

三、庞加莱猜想的意义

第四节 黎曼假设

一、黎曼假设的提出

二、黎曼假设概况

第五节 杨-米尔斯理论

第六节 纳维-斯托克斯方程

第七节 BsD猜想

探索路上的数学家

第一节 人类首席数学家——欧几里得

第二节 数学之神——阿基米德

第三节 现代数学方法的鼻祖——笛卡儿

第四节 为全人类增添光彩的人物——牛顿

第五节 此人就是一所科学院——莱布尼茨

第六节 数学界的莎士比亚——欧拉

第七节 历史上最伟大的数学家——高斯

第八节 20世纪最伟大的数学家之一——冯·诺依曼

第九节 陈景润与哥德巴赫猜想

巧用数学解决生活中的问题

一、怎样让客人等吃饭的时间最少

二、怎样寻找落料的最优方案

三、数字密码锁为什么比较安全

四、怎样计算用淘汰制进行的比赛场数

五、怎样计算用单循环制进行的比赛场数

六、怎样安排循环赛的程序表

七、为什么大奖赛评分时要去掉最高分和最低分

八、生活中的分数

九、巧分奖金

十、猴子分桃子

十一、不添篱笆扩羊圈

十二、盲人看瓜

十三、爱因斯坦的舌头

十四、稀世珍宝

十五、牛郎和织女

正整数的产生是在有史以前，人类起先并没有数的概念，对于物质世界中的数量关系的认识，只有一些模糊的感觉，这种感觉，有人称之为“数觉”。已经证实，有些动物，如许多鸟类也具有“数觉”。由于入类能认识世界，改造世界，在长期实践过程中，形成了数的概念。

在远古时代，原始人为了谋生，最关心的问题是——有没有野兽、鱼和果实，有则可以饱餐一顿，无则只好饿肚子。因此，人类就有了“有”与“无”的认识。进一步认识“有”的结果，引出了“多”与“少”的概念。这就使人类对数量关系从孤立的认识提高到了比较阶段。

在多与少的分辨中，认识“1”与更多的区别又是必然而关键的一步。从孩儿认识“1”的过程可以推测，人们最初对“1”的认识是由于人通常是用一只手拿一件物品产生的。也就是说，它是由一只手与一件物品之间的反复对应，在人的头脑中形成的一种认识。

建立物体集合之间的一一对应关系是数(sh0)“数”活动的第一步。在这一活动中，不仅可以比较两个集合的元素之间的多或少，更主要的是可以发现相等关系，即所谓的等数性。

尽管集合与映射的概念直到19世纪才出现，但人们对集合间等数性的认识与集合间的一一对应思想却早已有之。因而，人们用所熟悉的东西来表示一个集合的数量特征。例如，数“2”与人体的两只手、两只脚、两只耳朵、两只眼睛等联系在一起。汉语中的“二”与“耳”同音，也即某一个集合中元素的个数与耳朵一样多，这就是利用了等数性。据说，古代印度人常用眼睛代表“二”。

在数的概念形成过程中，对等数性的认识是具有决定意义的。它促使人们使用某种特定的方式利用等数性来反映集合元素的多少。

根据考古资料，远古时代，人们用来表示等数性的方法很多，例如，利用小石子、贝壳、果核、树枝等或者用打绳结或在兽骨和泥板上刻痕的方法。这种计算方法的痕迹至今仍在一些民族中保留着。有时候，为了不丢失这些计算工具，而把贝壳、果核等穿在细绳或小棒上，这样记下来的并不是真正的、抽象的数，只是集合的一类性质——数量特征的形式转移。

除了实物计数，人们还利用自己的身体来计数，利用屈指来计数：表示一个物体伸一个指头，表示两个物体伸两个指头，如此下去。直到现在，南美洲的印第安人还是用手指与脚趾合在一起表示数“20”。屈指计数为五进制、十进制等记数制的产生提供可能，当这种可能变成事实时，数的概念连同有效的计数技术也就产生了。

等数性刻画了集合的基数。当人们利用屈指记数时，不自觉地从基数转入了序数。例如，要表示某一集合包含三件事物时，人们可以同时伸出三个手指，这时的手指表示基数。如果要计数，他们就依次屈回或伸出这些手指，这时手指起了序数的作用。

无论是实物计数还是屈指计数都不是最理想的计数方法。实物计数演变为算筹、算盘。屈指计数沿着两个方向发展。

一个方向是探求手指计数的更理想的发展。例如，新几内亚的锡比勒部族人，利用手指和身体的其他部位，可以一直计数到27。中国有一种手指计数法，最高可算到10万。即使在现代，除了小孩初学计数时仍用手指外，在证券交易所也有用手指计数的。但随着数的语言、符号的产生，教育的普及，屈指计数的技术最终还是被淘汰了。

屈指计数发展的另一个方向是指计数和实物计数相结合，这个方向上创造出了进位制计数方法和完整的数的概念。

概念和语言、符号是密切相关的。概念是语言和符号的思想内容，而思想是在语言符号中形成的。数的符号和语言也是形成数的概念的必要条件和表达概念的手段，因而能巩固概念。

在数的概念形成之前，没有表达数的专门语言，因而只能用“群”、“帮”、“套”、“堆”、“束”来表示“多”的整体性语言。

等数性的发现，产生了相应的语言。例如，在不同的民族，用耳朵、手、翅膀来表示“二”，用“鸵鸟的脚趾”(四趾)来表示“四”，用“手”表示“五”。

早期数的概念并不是抽象的，而是相当具体的。例如，在英国哥伦比亚的辛姆珊族的语言中，不同种类事物的数的词语是不一样的。

根据语言学家的研究，数学语言的结构，几乎都是一致的，人的十个手指都留下了不可磨灭的印迹。在大部分语言中，十以下的数都有各自的名称，十以上的数就用了某种组合原则。当然也有“五进制”的，即五以下的数都有各自的名称，五以上的数就用了组合原则，这起源于习惯用一只手计数的民族。不管各民族的数名如何不一致，它们都是数概念形成的明证。

数字，即数的符号，是一种文字语言。数字帮助建立了一些不能从简单的观察和直接计算中发现的数的概念。在数的概念形成之后，它则起到了把概念以可见的形式再现的作用。有了数字，给出了抽象数概念的简单的具体化身，它也给出了非常简单地实现各种运算的可能。

数字产生于记数的需要，几乎每一个民族都有过自己的记数符号。P3-5

数学是一门极富实用意义的学科，它包含了深刻的奥妙，发人深思。

数学就像一颗闪烁着人类智慧光芒的明珠，干百年来吸引着无数的数学爱好者和数学工作者，他们在探索数学的道路上奉献出了自己全部的才华和智慧。

数学更像人们时刻离不开的良师益友，因为这门学科有着巨大的实用价值，正如一些数学家所说的那样：“在数学的世界里，甚至还有一些像诗画那样美丽的风景。”加里宁也说过：“数学可以使人们的思想纪律化，能教会人们合理地思维着。无怪乎人们说数学是思想的体操。”

在攀登数学高峰的道路上，研究数学的人们遇到了一个又一个难题，然后又一个一个地将这些难题解决掉，而这些难题，千奇百怪、林林总总，如同一朵朵绚丽的花朵，激发着人们挑战数学的勇气。

在知识繁荣的嗲天，数学已经是一门应用范围极广、内容极为丰富、系统极其庞大的学科，是人们认识客观世界的重要工具，也是研究各门学科必不可少的重要工具。所以，我们编纂了这本《数学中的奥秘》。

这本书是编者精心收集整理大量资料之后，汇编而成的，囊括了各个方面的数学知识。希望读者们通过阅读本书，能轻松地掌握许多数学知识，这样编者们编写本书的目的就达到了。