“数学先锋“5卷本系列丛书记录了从古至今的∞位享誉世界的著名数学家，他们都对数学的发展作出了突出的贡献，是面对挑战，克服前行道路上的障碍的新技术、新观念和数学理论的代表。

本书收录了全世界10位数学家的传记，通过他们的成就，我们可以瞥见这些数学先锋的生活和思想。每章都有一位数学家的丰富信息，包括个人研究、发现和对该领域作出的持久贡献等，并附有总结和相关出版物与在线参考文献列表。

本书包含了近40张黑白照片和线条插图。同时还有出版物、网络资源和相关协会的列表等参考文献。“数学先锋”是一套基础读物，适合学生、教师以及普通的读者阅读，通过阅读这套书，读者可以了解到历史上曾经对数学作出过巨大贡献但并不为人们所熟知的这些数学家。

本书记叙的十位不平凡的人物，有着不同的国籍，各异的人生经历，迥然的性格特质，但他们都是20世纪上半叶的数学先锋。以希尔伯特的23道数学难题始，他们首先聚焦于刚刚创立的集合论，进而扩展到整个数学领域的重新审视，他们中的大部分参与并成就了哥廷根的辉煌。数学在动荡的战争岁月没有停下脚步，相反，最初的计算机研发与军用密切相关，数学没有国界，但数学家有国界，冯·诺依曼、图灵、霍珀和维纳都在战时发挥了重要的作用。三位女数学家中竞有两位叫格蕾斯，她们的学识和成就更来之不易，因而她们的智慧和奋斗精神令人赞叹。本书后半部分的三位美国数学家以涉猎广泛、多才多艺见长，不再是单一的数学家身份，而拉马努金和艾迪斯这对天才与怪才似乎只为数学而生……

前言／1

鸣谢／1

简介／1

1.戴维·希尔伯特（1862—1943）

新世纪的数学难题／1

早年／2

不变量论／2

代数数论／3

几何／4

20世纪的数学难题／5

分析和理论物理／6

数学的基本原理与无限／7

战争与退休／9

结语／10

扩展阅读／10

2.格蕾丝·西斯霍姆·杨（1868—1944）

数学合作／13

早期生活及教育／14

生活和事业的伴侣／15

关于无穷导数的独立工作／17

最后的日子／19

结语／19

扩展阅读／20

3.瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（1882—1969）

数论与波兰数学学校／21

在数论上的早期工作／22

关于集合论的研究／24

波兰数学学校／26

有关数论的进一步研究／28

结语／31

扩展阅读／31

4.艾米丽·艾米·诺特（1882—1935）

抽象代数学家／33

早年／34

不变量论／35

职位挣扎／36

理想理论／37

国际影响／38

非交换代数／38

荣誉和赞赏／39

在美国的最后日子／40

结语／40

扩展阅读／41

5.斯瑞尼瓦萨尔·爱金格尔·拉马努金（1887—1920）

印度数论学家／43

社会影响／44

笔记本岁月，1904—1914／45

留学英国，1914—1919／48

回到印度，1919—1920／51

结语／52

扩展阅读／52

6.诺伯特·维纳（1894—1964）

控制论之父／55

神童／56

调和分析／57

战争年代的研究／60

控制论／61

结语／64

扩展阅读／64

7.约翰·冯·诺依曼（1903—1957）

科学和技术中的数学／67

早年的集合论研究／68

量子理论／69

博弈论／70

算子理论／7l

原子武器与核能／72

计算机结构和数值分析／73

自动机理论／75

结语／76

扩展阅读／77

8.格蕾丝·莫瑞·霍珀（1906—1992）

计算机软件的开拓者／79

早年生活和教育／80

编程和调试马克系列计算机／80

编译器和COBOL编程／83

回到海军／85

结语／86

扩展阅读／87

9.阿兰·图灵（1912—1954）

现代计算之父／89

教育和中心极限定理／90

图灵机的引入／90

破译德国海军密码／93

ACE和MADAM计算机工程／94

人工智能的图灵测试／95

生物生长中的数学思想／96

结语／97

扩展阅读／97

10.保罗·艾迪斯（1913—1996）

旅行研究伙伴／99

聪明的艾迪斯／100

第一篇研究论文／100

共同的研究合作／101

四处游历的数学家／103

丰富的数学贡献／104

怪才／105

结语／108

扩展阅读／108

译者感言／111

20世纪的数学难题

1900年在巴黎召开的第二届数学家大会上，希尔伯特进行了一次题为《数学难题》（Mathematical problems）的演讲，指出了10个他认为影响下个世纪数学发展进程的核心问题。这篇被国际上多家数学期刊转载的演讲全文实际上包含了覆盖数学各个领域的23个难题：6个数学公理基础问题，6个代数数论问题，6个代数与几何问题和5个分析问题。这些问题中几乎没有一个是针对某一点的，绝大部分都代表整个研究活动。贯穿20世纪，当每一个希尔伯特难题被征服的时候，都会引起整个国际数学界的关注。德国数学家赫尔曼·外尔（Hernann Weyl）称解决难题的人为数学家中的“荣誉阶级”（Honor Class）。

公理化组的第一个难题，需要证明连续性假设（continuum hypothesis），其引出的成果撼动了整个数学的基础。连续性假设，由俄罗斯数学家乔治·康托（Georg Cantor）于1879年提出，他断言每个实数的无穷子集都是或者可数的无穷集，如正整数集，或者包含连续的基数，如实数全集。厄恩斯特·朗美罗（Ernst Zermello）、伯特兰·罗素（Bertrand Russell）、库尔特·哥德尔（Kurt Godel）都对这一问题的不同方面作出卓越贡献。美国数学家保罗·科恩（Paul Cohen）于1963年显示这个假设无法用其他集合论的公理证明。尽管问题的答案与希尔伯特的预期很不相同，却圆满达成了他想要激起广泛数学研究的初衷，包括质疑基础的假设。

希尔伯特的第七个难题，最具体的问题之一，代数数论方面，达成了希尔伯特的另一个目标，即被解决之后引出新的问题。这个问题需要证明任形式的表达式都是超越数，如果a和6同是代数数（即整系数多项式方程的根），并且6是无理数（不能表达为两整数之商）。这种形式的数包括，即希尔伯特数。1934年，俄罗斯数学家亚历山大·格尔方德（Aleksandr Gelfond）提供了满意的证明，而后此问题被称为格尔方德定理。拓展原初问题的疆域，数学家想要知道如果a与6都是超越数，那么ab是否为超越数。这个更具有普遍性的问题在原初问题解决70多年后仍持续激励着数学家们为之奋斗。

这23个希尔伯特难题不仅是一些艰涩难题的集合，在他精心措辞的讲稿里，希尔伯特解释了每个问题之所以作为一个重要的数学议题呈现在这里的原因。他认为每个问题的解决都会产生一个照亮特殊领域和相关概念的理论，他坚持众多绝妙问题的存在正是数学学科健康发展的证据。国际数学界作出热烈回应，欣然接受了希尔伯特具有远见卓识的难题。

分析和理论物理

希尔伯特与他的同事们一起致力于这23个难题，专注于最后的一组难题，分析成为他1902—1912年的研究重点。希尔伯特1904年对迪拉克法则（Dirchlet principie）所做的推广帮助第20道难题取得进展，这道难题需要寻求为一些指定值在给定数域边界建立函数并使得它的导数在数域内部满足一个给定的偏微分方程的原理。1905年，他提供了关于满足两个特殊临界值的线性微分方程的存在性的第21道难题的不完全解法。希尔伯特在变分法方面做了广泛研究，这是一个寻求满足一系列微分方程并使一个相关表达式值最小的函数的分支。他在这一领域的工作对所有难题中最具广泛性的一个，即需要大量运用变分技巧的23题作出贡献。

希尔伯特对分析最重要的贡献便是无限维向量空间，现在叫做希尔伯特空间。那些包含无穷个满足一定收敛判别准则的函数集合使他的工作涉及积分方程，即包含未知函数及其积分形式的方程。在1912年出版的《线性积分方程的代数学原理》（Principies of the algebraic theory of linear integral equtions）一书中希尔伯特总结了1904—1910年的工作。由于他的数论报告已在15年前做出，这部论著为很多数学家开拓了新的研究疆域。

希尔伯特在分析方面的工作，与他的23个难题以及在不变量论、数论、几何上的成就，巩固了他作为世界最顶尖数学家的地位。1910年，匈牙利科学院授予他“波尔约奖”（Bolyai Prize）。这项以匈牙利几何学家雅诺什·波尔约（JfinosBolyai）命名的奖项，表彰希尔伯特在数学领域产生的巨大影响。在授奖致辞中，科学院高度评价了希尔伯特思想的深刻性、方法的原创性及逻辑证明的严谨性，这些都成为希尔伯特具有影响力工作的卓越特质。

由于希尔伯特空间在物理现象分析方面的独特作用，希尔伯特的后续研究深入数学物理。他对量子力学、气体动理论、放射理论都作出了贡献。1915年他与阿尔伯特·爱因斯坦（Alber Einstein）保持每日通明信片，当时爱因斯坦在哥廷根大学物理系，这两个人各自独立地完成了广义相对论的场方程。1924年，柯朗出版了他的《数学物理方法》（Methods of Mathematical Physics），希尔伯特作为共同作者出现，他在此为各种物理学理论建立了严格的数学基础。这本著作及柯朗于1937年出版的同名第二卷书从希尔伯特的讲稿和论文中汲取了许多营养。

P5-7

人类孜孜不倦地探索数学。在数字、公式和公理背后，是那些开拓人类数学知识前沿的先驱者的故事。他们中有一些人是天才儿童；有一些人在数学领域大器晚成。他们中有富人也有穷人；有男性也有女性；有受过高等教育的，也有自学成才者。他们中有教授、天文学家、哲学家、工程师；也有职员、护士和农民。他们多样的背景证明了数学天赋与国籍、民族、宗教、阶级、性别和是否残疾无关。

“数学先锋”是一套5卷本的丛书。它记录了50位在数学发展史上扮演过重要角色的数学家的生平。这些数学家并不是最为显赫的数学家，但是他们的生平事迹和所作的贡献对初高中学生很有意义。总的来看，他们代表着成千上万人多样的天赋。无论知名的还是不知名的，这些数学家都在面对挑战和克服障碍的同时，不断发明新技术，发现新观念，扩展已知的数学理论。

“数学先锋”丛书的每一本书都介绍了生活在一定历史时期的10位数学家的生平和成就。《数学的诞生》记录了从公元前700一公元1300年古希腊、印度、阿拉伯和中世纪意大利的数学家。《天才的时代》介绍了14—18世纪的数学家，他们来自伊朗、法国、英国、德国、瑞士和美国。《数学的奠基》展现了19世纪欧洲各国的数学家。《现代数学》与《数学前沿》分别记录了20世纪早期和20世纪晚期各国的数学家。

“数学先锋”丛书讲述了人类试图用数字、图案和等式去理解世界的故事。其中一些人创造性的观点催生了数学新的分支；另一些人解决了困扰人类很多个世纪的数学疑团；也有一些人撰写了影响数学教学几百年的教科书。还有一些人是他们的种族、性别或者国家中最先因为数学成就获得肯定的先驱。每位数学家都是突破已有的基础，使后继者走得更远的创造者。

从10进制的引入到对数、微积分和计算机的发展，数学历史中最重要的思想经历了逐步的发展，每一步都是无数个人的贡献。很多数学思想在被地理和时间分割的不同文明中独立的发展。在同一文明中，一些学者的名字常常遗失在历史中，但是他作出的某一个发明却融入了后来数学家的著述中。因此，要准确地记录谁是某一个定理或者某一个确切思想的首创者总是很难的。数学并不是由一个人创造，或者为一个人创造，而是整个人类的求索。

一页页翻过，仿佛走近了那个刚刚逝去的年代——1900—1950年——是今日繁荣的前传，而这些数学家们的身影也似乎生动地浮现在眼前，不再只是一些定理和命题的定语。交完最后一次译稿虽如释重负，随又怀念起翻译的日子，仿佛这段生活因为数学和历史而不寻常起来。

感谢翻译过程中编辑老师的指导，感谢我的朋友白皓和刘钫提供的帮助，感谢父母的理解和支持。

王 潇

2007年10月于北京大学