不理解数学的本质，做再多题也没用。用直观的图解，让你搞清楚抽象的数学概念、定理、公式，从根本上提高你的数学理解力！

本书用直观的图解，让你彻底搞清楚抽象的数学概念、定理和公式；用贴近生活的例子，让深奥的数学知识变得通俗易懂；从学有所用的角度出发，重新唤起你对数学的兴趣。

没有照本宣科的枯燥理论，没有令人费解的逻辑推理，也没有复杂的运算。本书用直观的图解，让你彻底搞清楚抽象的数学概念、定理和公式；用贴近生活的例子，让深奥的数学知识变得通俗易懂；从学有所用的角度出发，重新唤起你对数学的兴趣。

图解数学学习法，从根本上提高你的数学理解力！

前言

1 找出看不见的直角三角形

 知道山的高度又怎么样

 怎样研究直角三角形

 用长度比来表示角度

 为个么要找出直角三角形

 转动的棒

 sin的由来

2 数字背后的意义

 不可思议的“行列”

 矩阵是怎么出现的

 什么是矩阵

 数字编组

 矩阵乘法运算，为什么由 变成

 矩阵活动漫画

3 改变视角，创造新数字

 指数背后隐藏着什第

 把大数字变成小数字

 连接乘法和加法的桥梁

 贷款和e

 使用e很方便

4 把复杂的问题变简单

 为什么要学习这种怪东西

 合二为一

 复数的好处

 虚数不是幽灵

 窥探高斯脑子里的想法

5 日常生活中隐藏着本质

 运用生活感觉

 将微分一分为二

 积少成多

 直观地理解微分

 无法“反祖”

 描绘微分和积分的关系

6 通过部分看整体

 重要的事要提前交待

 学微分方程学什么

 微分方程的精髓

 为什么微分方程不能应用

 整体藏在部分之中

 分离变量为什么很重要

 解微分方程

7 未来被等分

附录1 直观的诀窍在于默记和心算

附录2 自己算出来

Q&A 为什么不懂数学

人们总是异想天开，希望能预知将来会发生什么事情。概率这个概念，可以说就是人们“预见未来，把握现在”的愿望在数学上的体现。

换句话说，概率只有在事件还未发生、需要预见时才有意义。

人们好像都误解了这一点。大家想一想报道台风情况的新闻。播音员会说“台风仍在蔓延中”，这很可笑。摄制新闻和播放新闻有时间差，播放时台风可能已经结束了，这时再预测完全没有意义。

概率的情况也相同，说已经发生的事“概率多少”是完全没有意义的。

那么，数学上是怎么表示预知未来的概率的呢？数学是按照下面的步骤来思考的：

1．假设所有可能的结果，并一一列出来。

2．对所有的结果一视同仁，将其等量化。

3．计算每个结果与结果总数的比值。

这样算出来的概率，在未来面临选择的时候，为人们提供一个判断的依据，增加了自信。

人人都有数字信仰，不看到数字就觉得不可信。人们想通过数学精密的理论体系来预见、把握未知的将来，这才有了概率。

因此，概率思考的是还未发生的未来的事。等到事件发生以后，一切已成定局，再来谈概率就没有意义了。发生之前可以猜测概率是50％或。70％，发生以后概率不是O就是100％了。

这样看来，概率真是个“大老粗”。事物的屙l生千差万别，概率非要对它们“一视同仁”，强迫大家搞“一刀切”。不过，不这样做就无法进行预测。

我刚才说过，概率代表了人们“预知未来，把握现在”的愿望。换句话说，概率不仅是人们预测未来的工具，也是人们选择未来的判断依据。

要注意的是，概率是对未来的思考，而不是对未来的理解。

的确，概率是对未来的思考。但更为紧迫实际的是，现在该如何行动。因此，光知道未来将会发生什么事还不够，还要利用预测结果，指导现在的行动。

概率在数学体系中大放异彩的原因也正在于此。概率产生于现实世界，应用于现实世界。和其他许多数学概念不同，它不是抽象世界的产物。不过，概率中有其他数学概念中没有的思维转换。

可能大家觉得上面讲的都是理所当然的事，不需要废话。但是清楚地意识到概率讲的是未来的事很重要。数学有一种魔力，能把人带入它独特的抽象世界中。一旦进入这个世界，多数人就会拼命去追寻某一个问题的答案．深陷其中，再也出不来，于是忘记了自己最初为什么要学数学。

把这10张牌混在一起，然后随便抽出1张。抽出红桃、方块、黑桃、梅花的概率各是多少呢？这个问题很简单。

这就是答案。

但是，知道这个答案又怎样呢？不进一步思考，就无法把握概率的本质。只知道概率的值是完全没有意义的。

刚才说过，概率是指导行动的依据。要利用概率来指导行动，需要进行思维的转换。

概率是按照下图中的步骤求出来的。

但是，光求出概率的值还不够。还要问一问，求出了结果又怎样？求出概率的值并不是目的。

那目的是什么呢？

目的是“猜中抽出的是什么牌”。以“猜牌”为目的，就需要把刚才的步骤倒过来。

人都是功利主义者，为了达到目的，不管怎么偷换概念都无所谓。例如，在刚才扑克牌的例子中，本来概率是多次抽扑克牌得出的结果，我们却把它当成了红桃、方块、黑桃、梅花本来就具有的性质。

但是，只有这样做才能“猜出扑克牌”。也就是说，认为抽出红桃的概率是■，抽出方块的概率是■，抽出黑桃的概率是■，抽出梅花的概率是■，就能据此判断抽出的牌是什么牌面。

人是先思考再行动的动物。正因为如此，人才需要概率。

下面我们来看看实际生活中概率是怎样应用的。

我们最熟悉的概率，就是棒球的打率。

就像前面说过的，打率是把已知的结果数字化，所以可能有些人认为不能算是概率。确实如此，不过，打率还有一个特点，承认这个特点，才能承认它也是概率。

这个特点就是，打率是根据过去的成绩来猜测现在和未来的情况。

击球员站在打席上打出安打的可能性，可以通过过去的成绩(打出安打的打席数／总打席数)推测出来，这就是打率，是根据过去的情况预测将要发生的事。

这里请大家注意，我们默认了过去、现在、未来有相同的可能性。

这就是前面说到的概率等分原则，也就是“一刀切”。因为谁也不能保证过去发生的事和将要发生的事有相同的可能性。

击球手面临的状况随比赛进行不断变化。对方的投手是谁，跑垒员的上垒情况，自己的情况等。严格来说，每个打席、每个球，情况都各不相同。但是，我们完全无视这些差别，假设“不论何时、不论哪个打席都一样”。这个假设是打率成立的根本所在。如果不承认这一点，一切就都不成立。

重要的是，承认过去和未来的连续性。要预知未来，只有参考已经发生的事。

以西雅图水手队的铃木一郎的打率为例，他和亚历桑那州响尾蛇队的兰迪·约翰逊的比赛成绩是多少？和波士顿红袜子队的贝德洛·马鲁奇内斯的比赛成绩又是多少？像这样，先把过去所有打席的情况理清楚，得出铃木一郎的安打占总打席数的31．6％。于是，铃木一郎站在1号击球区的位置，不论过去还是现在，打出安打的可能性都一样。有了这个前提，31．6％就可以看做是“铃木一郎在这个打席上打出安打的概率(打率)”。

不过，有时这种假设并不成立，比如说经济预测。社会经济状况每分每秒都在发生变化。这时，过去和未来的连续性就无法保证。当社会结构发生变化，各种相关因素也发生巨大改变时，就不可能再根据过去的成绩预测未来。因此，经济预测都靠不住。P127-134

40年来，我一直有一个愿望——“要写一本这样的书”，今天终于如愿以偿了。

这个念头最初萌芽于我19岁刚上大学的时候。当时，我怎么也听不懂数学课，我想：“大概是我太笨了，脑子好使的人应该早就听懂了。”

不过，好歹我也考上了东京大学，还算是个高材生，经过努力，终于跟上了课程的进度。但是，我心里还是不舒服，觉得有些地方没彻底弄明白。“为什么心里觉得不舒服呢？”我想来想去，终于明白了。原来我会解数学题，却不了解数学的本质。

意识到这个问题以后，我就很想买一本清楚地揭示数学本质的书。但是，找来找去也找不到。最后，我觉悟到只能靠自己的头脑去理解和揣摩数学的本质。

从此以后，我开始了艰苦的征途。我像一只筋疲力尽的狗，流着大汗，汪汪哀号，为探究数学的本质而战斗。即使成了机械工程学方面的专家，这种状况也没有改变。直到60岁即将退休的时候，我才稍微有了点自信，觉得自己总算把握了数学的本质。

可是，或许什么时候我两眼一闭，辛苦得来的成果就会被带进棺材里去。所以我决定，等到退休后有了时间，一定要将我的心得写成一本书。我一直在为此努力。2001年，我退休了，终于写成了这本书。

这本好不容易才得以面世的书，是写给下面这些人的：

1．数学很差，但想学好的人，特别是想尽早找到窍门的人。

2．刚开始学数学的高中生，希望进行深入思考、理解数学的本质。

3．学过数学，现在已经进入社会、参加工作的人，虽然工作中不一定要用到数学。

4．至今还没有厌倦数学的人。

5．正在学习数学的大学生。

6．教授数学或是工程技术的老师。

7．希望把握数学本质的人。

本书和普通的数学书完全不同。它讲的是高等数学，但不是教科书，不会教你怎么解数学题。所以，不要把它当成考大学的参考书。不过，我保证读了这本书，你就能轻松地把握数学的本质。

抓不住思想和概念的本质，就像是穿着借来的衣服，总觉得不舒服。在本书中，我尝试挖掘出数学中隐藏着的思想和概念。书中的讲解不是停留在表面上，而是追根究底，挖掘出上位概念。只有理解了上位概念，才能真正理解。把握了概念的本质，获得了直观的感受，才不会一知半解、糊里糊涂。

数学学习中最大的问题，是很多人对数学产生了厌倦情绪。高中分为文科、理科，有些人就是因为不想学数学而选择了文科。

但是，数学真的那么招人厌吗？的确，现在这种教学方法，让人无法不讨厌数学。为什么呢？很简单，因为学生们没有真正理解数学。

用填鸭式的教学方式向学生灌输知识，学生不厌倦才怪。没人想去理解自己讨厌的东西。因此，理解也就变得遥不可及。

数学中有很多定义、定理。老师会解释这些定义、定理的证明过程，这本来没有错。但是，很多学生觉得证明过程和自己无关。为什么呢？因为学生觉得自己和老师身在两个世界里，老师们在数学的抽象世界里，自己则在现实世界中。老师们觉得理所当然的事，在现实世界中却显得不可理喻。找不到两个世界的交集点，就无法相互沟通。

但是，等等。其实我们的日常生活和数学的抽象世界是紧密相连的。例如，微分、积分和产业界紧密相关。生产量与社会整体活动成比例增长的机械制造业被称为“微分型产业”；现有生产量决定商业规模大小的维修业被称为“积分型产业”。  也就是说，数学老师只进行了抽象的解释，却没有向我们指明从现实世界进入抽象世界的路径。数学本来是人人都懂的东西。只要把日常生活和抽象世界紧紧联系起来，就能理解数学。

那么，怎样才算“理解”呢？理解就是外界的事物和头脑中原有的“模板”相符合。在本书最后的“Q&A”中我们还要详细谈到这个问题，请大家留意。总之，外界事物和头脑中的模板完全吻合，人们就觉得自己理解了这一事物。也就是说，理解是大脑中瞬间发生的、对对象的确认动作。换句话说，理解是一种直观感受。

有些人思想顽固，认为直观地理解是不科学的，这些人没有认真地·思考什么是理解。我认为，要弄清楚什么是理解，必须参考脑科学的研究成果。脑科学研究证明，理解时，在大脑中浮现出事物的形象十分重要。从一个平面上来理解数学是不行的。数学是三维，甚至是多维的立体事物。本书中的每一章，都揭示了这个多维体的一个侧面。我的目标是把“难懂的数学”变成“易懂的数学”，再从“易懂的数学”变成“可以运用的数学”。理解了数学却不能运用，也是毫无意义的。

最后，在进入正文之前，我想谈一谈本书的出版经过。2001年3月我从东京大学退休，最后一节课上讲道：“我想变成蝉。”30多年来，我一直埋首于大学这片“土壤”中，研究和教授工程学，过得很充实。但是，退休以后我却想像蝉一样爬出地面，在众人面前大声发表自己的言论。我想把自己一直以来的所思所想拿出来与大家分享。那节课结束时，我说：“从今以后，我要专心著书，比如我构思了40年的数学书。从今天开始，我正式退休了，我一定要写成这本书。”

岩波书店编辑部的永沼浩一听了我的最后一堂课，他一直记住了我的话。一年以后，他打电话来问：“老师，那本书写得怎么样了？”于是，我们一拍即合，决定出这本书。我退休后一直在工学院大学工作，我对学生们说：“我要写一本书，你们愿意帮忙吗？”学生们很高兴地答应了。于是，我把他们叫来，开了一个“烟村数学私塾”。每月不少于1次，每次上3个小时的课，坚持了几十次。他们向我倾诉了对数学的不满以及存在的疑问。永沼先生旁听并记录了我们讨论的主要内容。他还为我写了草稿，建议我采用合适的形式表达自己的想法。由于他的帮忙，这本书才得以完成。我向永沼先生表示深深的谢意。

另外，还要感谢长尾高明老师在百忙之中认真读完了我的书稿，提出了恳切的意见。

就这样，本书面世了。除了这本书，我还想写一系列书，主要是针对工科和理科的，如热力学、复变函数论、矢量张量、振动学等。全部完成大概要花上二三十年，我得好好利用有限的时间，争取多活几年了。

希望这本书能带给读者一些启发，从新颖有趣的角度来思考问题。如果能这样的话，我将万分欣慰。

烟村洋太郎