本书不仅对变分法的基本概念、理论和方法作了严谨的介绍和沦述，而且特别注重介绍变分法在解决椭圆型方程中的应用。本书中的许多证明都被有意识地分解成几个步骤，每何个步骤都给出子目标，这样不仅利于读者理解证明思路和过程，而且更便于总结命题条件与结论之间的因果关系。本书在内容上尽量做到自封，只是在极少数地方引用了代数拓扑和泛函分析中的命题，也尽量给出参考文献，以便读者查阅。

本书可作为数学系分析类研究生专业教材，也可作为数学系高年级本科生选修课教材。

本书主要内容安排如下：

第1章概述变分理论的主要思想、基本概念和术语。通过广义解将微分方程的求解与泛函极值问题的求解联系起来，提出了现代变分理论的中心任务：通过寻求适当泛函的临界点求解微分方程的解。最后介绍了几个源自物理和几何的具体例子，首先利用物理定律或几何性质，给出适当的能量泛函，再导出欧拉一拉格朗日(Euler-Lagrange)方程。

第2章研究索伯列夫(Sobolev)空间的基本性质。索伯列夫空间已经成为应用泛函分析知识得到微分方程信息的最合适的工作空间，本章主要介绍后面内容将要用到的主要性质，如基本不等式、嵌入定理，以及各种意义下的强弱收敛关系。关于索伯列夫空间知识的完整介绍，可以参考R，Adams和J.Fournier编著的《SobolevSpaces》第2版，以及L.C.Evans编著的《Partial Differential Equations》的第5章。

第3章介绍巴拿赫(Banach)空间中的微积分，给出了作为全微分和方向导数推广的弗雷歇(Frtchet)导数和加托(G~teaux)导数的定义，以及它们之间的相互关系。考察了涅梅茨基(Nemytski)算子的连续性，这在验证泛函满足紧性条件——(PS)条件时很有用。最后，为了在第5章中构造伪梯度向量场，我们介绍了巴拿赫空间中抽象函数初值问题的可解性。

第4章讨论求解极值问题的直接方法，以及它在不同情形时的推广。首先导出了求解极值问题最重要的概念——下半连续性。由下半连续性和埃克兰(Ekeland)变分原理，从下有界的泛函中很容易得到(PS)序列。为得到极小值点，我们需要一定的紧性条件，以从(PS)序列中抽取收敛的子列，这就是(PS)条件。(PS)条件在变分理论中起着重要的作用，局部地，它保证(PS)序列中收敛子列的存在性；整体地，它保证泛函水平集在含有临界值的水平之间可以作连续形变。

第5章介绍形变原理。为了方便学习，我们首先介绍希尔伯特(Hilbelt)空问中的形变原理，因为这时可以运用梯度场这个概念。然后介绍一般巴拿赫空间中的形变原理，这要推广希尔伯特空间中的梯度场，提出伪梯度场这个概念。同时，我们分别介绍不带(PS)条件和带有(PS)条件两种不同情形时的形变原理，以便应用时对不同情形加以选择。

第6章介绍极小极大方法。首先，我们叙述一个一般性的极小极大原理，而将山路引理、指标理论和环绕方法作为其推论给出，这样就更能看出这几种方法的统一性。对于每种方法，我们都介绍几个应用实例，以说明如何针对具体问题选择合适的方法。

第7章介绍失去紧性的变分问题。我们首先介绍波霍扎叶夫(Pohozaev)型积分恒等式，并由此得出一些不存在性结果，特别是拟线性椭圆型方程在临界增长情形下解的不存在性结果。我们注意到，此时紧性的缺失是由于泛函在某些非紧群作用下所具有的不变性所导致的。为消除这些非紧群作用的影响，我们将求解空间加上某种对称性，从而重新获得紧性。但是，对于一般非紧泛函(可能没有对称性)，由P.L.Lions所发展起来的集中紧性原理刻画了泛函极小化序列的收敛性态：紧性、消失性或二分性。而关于一般(PS)序列的收敛性态，straJwe等给出了全局紧性定理。

第8章研究源自水波方程的广义Kadomtsev-Petviashvili方程在高维空间中孤波解和稳态解的存在性。这部分综合应用了前面的各种理论方法。

第9章介绍索伯列夫不等式中最佳常数的达到函数。在第7章中，我们发现达到函数的显式形式在求解具有临界增长的方程时起着重要的作用。由于许多文献中直接给出其显式形式，但是没有具体推导过程，所以在此我们从1维情形的Bliss引理开始，推导出一般情形时达到函数的显式形式，并综述了它在求解Yamabe问题中的应用。

本书适合高等院校数学系微分方程、微分几何以及数学物理等专业的研究生学习变分法理论，前半部分也可以作为数学系高年级本科生的选修课教材，特别是有关Sobolev空间的知识、Banach空间微积分以及变分法的直接方法。

Preface

1 Introduction

1.1 Basic ideas of variational methods

1.2 Classical solution and generalized solution 

1.3 First variation, Euler-Lagrange equation

1.4 Second variation

1.5 Systems 

Sobolev Spaces

2.1 HSlder spaces

2.2 Lp spaces

   2.2.1 Useful inequalities

   2.2.2 Completeness of LP(f2)

   2.2.3 Dual space of LP(f2)

   2.2.4 Topologies in LP(f2) space

   2.2.5 Convolution

   2.2.6 Mollifier

2.3 Sobolev spaces

   2.3.1 Weak derivatives

   2.3.2 Definition of Sobolev spaces

   2.3.3 Inequalities

   2.3.4 Embedding theorems and trace theorems

3 Calculus in Banach Spaces

3.1 Frechet-derivatives

3.2 Nemyski operator

3.3 Gateaux-derivatives

3.4 Calculus of abstract functions

3.5 Initial value problem in Banach space

4 Direct Methods

4.1 Lower semi-continuity

4.2 A general lower semi-continuity result

4.3 Ekeland variational principle

4.4 Palais-Smale condition

4.5 Constrained variational problems

   4.5.1 Lagrange multiplier method

   4.5.2 Weak sub- and super-solutions

   4.5.3 Nehari manifold

5 Deformation Theorems

5.1 Deformations in Hilbert space

5.2 Pseudo-gradient vector field

5.3 Deformations in Benach space

6 Minimax Methods

6.1 General minimax principle

6.2 Mountain pass lemma

6.3 Z2 index theory

   6.3.1 Minimax principles for even functionals

   6.3.2 Symmetric mountain pass lemma

6.4 Linking argument

6.5 p-Laplacian with indefinite weights

   6.5.1 Linking results

   6.5.2 Existence results

7 Noncompact Variational Problems

7.1 Pohozaey type identities

7.2 Symmetry and compactness

7.3 Concentration compactness principles

   7.3.1 The locally compact case

   7.3.2 The limit case

7.4 Unconstrained problems involving critical Sobolev exponent

   7.4.1 Local compactness

   7.4.2 Nonhomogeneous problem

   7.4.3 Global compactness

8 Generalized K-P Equation

8.1 Solitary waves

   8.1.1  Existence of nontrivial solitary waves

   8.1.2 Nonexistence of nontrivial solitary waves

8.2 Stationary solutions to GKP equation in bounded domain

   8.2.1 Existence results

   8.2.2 Nonexistence results

9 Best Constants in Sobolev Inequalities

9.1 Best constants

   9.1.1 l-dimensional case, Bliss Lemma

   9.1.2 m-dimensional case, symmetrization

9.2 Applications

   9.2.1 Yamabe problem

   9.2.2 Problems with critical Sobolev exponents

   9.2.3 Global compactness

9.3 Extensions

   9.3.1 Gagliardo-Nirenberg inequality

   9.3.2 The Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities

Appendix A Elliptic Regularity

A.1 Local boundedness

A.2 HSlder continuity

Bibliography

Index