《数学女孩》系列以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探寻数学之美的过程。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的数学科普书”。《数学女孩6：庞加莱猜想》以百年数学难题“庞加莱猜想”为主题，从柯斯堡七桥问题入手，详细讲解了拓扑学、非欧几何、流形、微分方程、高斯绝妙定理和傅里叶展开式等数学知识，还原了庞加莱猜想的探索历程，带领读者一同追寻“宇宙的形状”。整本书一气呵成，非常适合对数学感兴趣的初高中生以及成人阅读。请翻开本书，一同加入主人公们的探索之旅吧。

结城浩，生于1963年，日本技术作家和程序员。二十年来笔耕不辍，在编程语言、设计模式、数学、密码技术等领域，编写著作三十余本。代表作有《数学女孩》系列、《程序员的数学》等。

序言
第1章 柯尼斯堡七桥问题
1.1 尤里
1.2 一笔画问题
1.3 从简单的图开始
1.4 图与次数
1.5 这也是数学吗
1.6 逆定理的证明
第2章 默比乌斯带和克莱因瓶
2.1 楼顶
2.1.1 泰朵拉
2.1.2 默比乌斯带
2.2 教室
2.3 图书室
2.3.1 米尔嘉
2.3.2 分类
2.3.3 闭曲面的分类
2.3.4 可定向曲面
2.3.5 不可定向曲面
2.3.6 展开图
2.3.7 连通和
2.4 归途
第3章 泰朵拉的身边
3.1 家人的身边
3.2 0的附近
3.2.1 练习
3.2.2 全等与相似
3.2.3 对应关系
3.3 实数a的附近
3.3.1 全等、相似、同胚
3.3.2 连续函数
3.4 点a的附近
3.4.1 前往异世界的准备
3.4.2 距离的世界：实数a的δ邻域
3.4.3 距离的世界：开集
3.4.4 距离的世界：开集的性质
3.4.5 旅程：从距离的世界到拓扑的世界
3.4.6 拓扑的世界：开集公理
3.4.7 拓扑的世界：开邻域
3.4.8 拓扑的世界：连续映射
3.4.9 同胚映射
3.4.10 不变性
3.5 泰朵拉的身边
第4章 非欧几何
4.1 球面几何
4.2 现在和未来之间
4.3 双曲几何
4.3.1 所谓的“学习”
4.3.2 非欧几何
4.3.3 鲍耶与罗巴切夫斯基
4.3.4 自己家
4.4 跳出勾股定理
4.4.1 理纱
4.4.2 距离的定义
4.4.3 庞加莱圆盘模型
4.4.4 半平面模型
4.5 超越平行公理
4.6 自己家
第5章 跳入流形
5.1 跳出日常
5.1.1 轮到我了
5.1.2 为了打倒恶龙
5.1.3 尤里的疑问
5.1.4 考虑低维的情况
5.1.5 会歪成什么样子呢
5.2 跳入非日常
5.2.1 樱花树下
5.2.2 内外翻转
5.2.3 展开图
5.2.4 庞加莱猜想
5.2.5 二维球面
5.2.6 三维球面
5.3 要跳入，还是跳出
5.3.1 醒过来时
5.3.2 Eulerians
第6章 捕捉看不到的形状
6.1 捕捉形状
6.1.1 沉默的形状
6.1.2 问题的形状
6.1.3 发现
6.2 用群来捕捉形状
6.2.1 以数为线索
6.2.2 线索是什么
6.3 用自环来捕捉形状
6.3.1 自环
6.3.2 自环上的同伦
6.3.3 同伦类
6.3.4 同伦群
6.4 掌握球面
6.4.1 自己家
6.4.2 一维球面的基本群
6.4.3 二维球面的基本群
6.4.4 三维球面的基本群
6.4.5 庞加莱猜想
6.5 被限制的形状
6.5.1 确认条件
6.5.2 捕捉我所不知道的自己
第7章 微分方程的温度
7.1 微分方程
7.1.1 音乐教室
7.1.2 教室
7.1.3 指数函数
7.1.4 三角函数
7.1.5 微分方程的目的
7.1.6 弹簧振动
7.2 牛顿冷却定律
第8章 高斯绝妙定理
8.1 车站前
8.1.1 尤里
8.1.2 让人惊讶的事
8.2 自己家
8.2.1 妈妈
8.2.2 罕有之物
8.3 图书室
8.3.1 泰朵拉
8.3.2 理所当然的事
8.4 加库拉
8.4.1 米尔嘉
8.4.2 倾听
8.4.3 解题
8.4.4 高斯曲率
8.4.5 绝妙定理
8.4.6 齐性和各向同性
8.4.7 回礼
第9章 灵感与毅力
9.1 三角函数训练
9.1.1 灵感与毅力
9.1.2 单位圆
9.1.3 正弦曲线
9.1.4 从旋转矩阵到两角和公式
9.1.5 从两角和公式到积化和差公式
9.1.6 妈妈
9.2 合格判定模拟考
9.2.1 不要紧张
9.2.2 不要被骗
9.2.3 需要灵感还是毅力
9.3 看穿算式的形式
9.3.1 概率密度函数的研究
9.3.2 拉普拉斯积分的研究
9.4 傅里叶展开式
9.4.1 灵感
9.4.2 傅里叶展开式
9.4.3 超越毅力
9.4.4 超越灵感
第10章 庞加莱猜想
10.1 公开研讨会
10.1.1 课程结束之后
10.1.2 午餐时间
10.2 庞加莱
10.2.1 形状
10.2.2 庞加莱猜想
10.2.3 瑟斯顿的几何化猜想
10.2.4 哈密顿的里奇流方程
10.3 数学家们
10.3.1 年表
10.3.2 菲尔兹奖
10.3.3 千禧年大奖难题
10.4 哈密顿
10.4.1 里奇流方程式
10.4.2 傅里叶的热传导方程
10.4.3 颠覆性的想法
10.4.4 哈密顿计划
10.5 佩雷尔曼
10.5.1 佩雷尔曼的论文
10.5.2 再前进一步
10.6 傅里叶
10.6.1 傅里叶的时代
10.6.2 热传导方程
10.6.3 分离变量法
10.6.4 重叠积分
10.6.5 傅里叶积分
10.6.6 观察类似的式子
10.6.7 回到里奇流方程
10.7 我们
10.7.1 从过去到未来
10.7.2 冬天来了
10.7.3 春天不远了
尾声
后记
参考文献和导读

容貌好、性情佳、风度
又出众，
与世人交往，都无一点
瑕疵之人。
——清少纳言《枕草子》
①
形状、形状、形状。
我们一眼就能看出形状
。
肉眼所看到的物体的样
子，就是形状。
但，真是如此吗？
改变位置，形状也会跟
着改变。
改变角度，形状也会跟
着改变。
形状真的就是肉眼所看
到的那样吗？
声音的形状、香味的形
状、温度的形状。
看不到的东西，就没有
形状了吗？
钥匙小小的，
小到可以被我们握在手
中。
宇宙大大的，
大到我们可以在其中徜
徉。
还有因为太小而看不到
的形状，
以及因为太大而看不到
的形状。
说起来，我们自己有形
状吗？
让我们用手中小小的钥
匙，打开眼前的门，
跃入大大的宇宙中吧！
为了终有一天会找到自
己的形状。
为了终有一天……会找到
你的形状。

《数学女孩》系列第六弹！属于《数学女孩》系列的第六部作品。主要登场人物包括“我”、米尔嘉、泰朵拉、表妹尤里和理纱。数学与青春的故事一如既往地围绕着这五个人展开。日本数学会强力推荐，绝赞的数学科普书。原版全系列累计发行突破57万册！在动人的故事中走近数学，在青春的浪漫中理解数学。

我是作者结城浩。
不才拙笔，为各位献上
《数学女孩6：庞加莱猜想
》一书。
本书是
·《数学女孩》（2007年
①）
·《数学女孩2：费马大
定理》（2008年）
·《数学女孩3：哥德尔
不完备定理》（2009年）
·《数学女孩4：随机算
法》（2011年）
·《数学女孩5：伽罗瓦
理论》（2012年）的续篇
，属于《数学女孩》系列的
第六部作品。主要登场人物
包括“我”、米尔嘉、泰朵拉
、表妹尤里和理纱。数学与
青春的故事一如既往地围绕
着这五个人展开。
从第五本《数学女孩5：
伽罗瓦理论》出版到本书完
成已经过了六年。会隔那么
久，主要是因为我需要一段
时间好好消化庞加莱猜想的
内容。
本书提到的数学内容主
要包括拓扑学、基本群、非
欧几何、微分方程、流形、
傅里叶展开式以及庞加莱猜
想。想进一步学习的读者，
可以看一下本书最后列出来
的参考文献。
《数学女孩》系列的姊
妹篇、数学内容较平易近人
的《数学女孩的秘密笔记》
系列也在陆续出版。
另外，我也因为《数学
女孩》系列与《数学文章创
作方法》①等著作实绩，获
得了由日本数学会颁发的
2014年出版奖，在此表示
感谢。
本书和《数学女孩》系
列的前五本一样，都使用
LaTeX2e和Euler字体(AMS
Euler)排版。排版方面，多
亏了奥村晴彦老师的
《LaTeX2g精美文章制作入
门》②一书，在这里对奥村
晴彦老师深表感谢。本书版
式使用OmniGraggle、TikZ
和TEX2img制作，在此对这
些工具的开发者表示感谢。
另外，我还想对那些阅
读我写作过程中完成的原稿
，并发表宝贵意见的以下各
位，以及匿名人士致以诚挚
的谢意。当然，本书中若有
错误，均为我疏漏所致，以
下人士不负任何责任。
赤泽凉、井川悠佑、石
井遥、石宇哲也、稻叶一浩
、上原隆平、植松弥公、内
田大晖、内田阳一、大西健
登、镜弘道、北川巧、菊池
夏美、木村严、桐岛功希、
工藤淳、毛塚和宏、藤田博
司、梵天宽松、前原正英、
增田菜美、松浦笃史、松森
至宏、三宅喜义、村井建、
山田泰树、米内贵志。
感谢所有一直以来支持
着本系列图书的读者。
感谢一直支持我写完本
书的野泽喜美男总编。
感谢我最爱的妻子和两
个儿子。
谨以本书献给去年离世
的岳母。
最后，感谢一直把本书
读完的您。
我们有缘再会。

第1章
柯尼斯堡七桥问题
在几何学中，距离领域一直都备受瞩目。
不过，还有一个领域几乎不为人所知。
最先谈及这个领域的莱布尼茨，
将其称为“位置几何学”。
——莱昂哈德·欧拉
1.1尤里
“最近哥哥给人的感觉好像不太一样。”尤里说。
现在是星期六的下午，这里是我的房间。
上初中三年级的表妹尤里来找我玩。
我们从小一起玩到大，她总是直接叫我“哥哥”。
尤里穿着牛仔裤，栗色的头发扎成了马尾辫。她从我的书架上抽出
几本书，懒洋洋地读着。
“哪里不一样了？”我反问她。
“怎么说呢，有点太沉稳了，感觉很无聊喵。”
尤里一边翻着书，一边用她独特的猫语说道。
“是吗？毕竟我已经上高三了，也该有高考生的样子了。”
“不是。”她马上否定了我的解释，“哥哥以前会和我玩很多不同的游戏，但是最近，应该说是暑假结束后，就没怎么理我了。现在都已经是秋天了！”
话毕，尤里把手上的书“啪”地合起。那是一本给高中生读的数学书，虽然里面有一些比较难的内容，但尤里应该也能读懂。
“都已经是秋天了……不不不，正因为已经是秋天了，身为高考生，才得开始认真读书啊。再说，你也快中考了吧？” “你是想说，初三学生也得有点中考生的样子吗？”
伶牙俐齿的尤里明年也要中考了。她的成绩并不差，所以应该能考进想读的学校，也就是我就读的高中。
“可是上学好无聊啊。”尤里边叹气边说。
啊，是因为“那个家伙”转学了吧。
1.2 一笔画问题
“对了，你知道柯尼斯堡七桥问题吗？”
“柯尼……什么？”尤里反问。
“柯尼斯堡，是一座城市的名字。这座城市有七座桥。”
“不知道。听起来像奇幻小说。这座城市有七座神圣的桥，勇者需要通过这些桥，才能打败恶龙……”
“呃……不是这样的。柯尼斯堡七桥问题是历史上很有名的数学问题。”
“这样啊。”
“也就是一笔画问题。”
“是指一笔画完所有的边吗？”
“是的。具体来说，就是柯尼斯堡这座城市有河流经过，然后市内有这样的七座桥。”
“这不是六座桥吗？a、b、c、d、e、f。”
“右下方不是还有g桥吗？陆地有四块，分别是A、B、C、D；桥
有七座，分别是a、b、c、d、e、f、g。”
“噢，然后要用一笔画的方式走过所有的桥吗？”
“没错。不管从A、B、C、D中的哪一块陆地开始都行。在不重复经过同一座桥的条件下，能不能走遍所有的桥呢？”
问题1-1 （柯尼斯堡七桥问题）
在不重复经过同一座桥的条件下，能不能走遍柯尼斯堡的七座桥呢？
“要走遍所有的桥，但不能重复经过同一座桥。也就是说，每座桥都
只走一次，对吧？”
“没错，条件只有这些。”
“不对。”尤里笑嘻嘻地说，“还得加上不可以游泳过河之类的条件，不是吗？‘勇者啊，切记不要游泳过河。””
“当然。既然是和桥有关的问题，就不能游泳过河嘛。”
“而且还要加上只有一个人过桥的条件才行。要是没有这个条件，只要七个人分工，就可以马上走完七座桥了。”
“知道了，知道了。过桥的只有一个人，而且不能坐直升机、火箭过河，也不能挖地道过河，当然也不能瞬间移动。”我边摇头边说。尤里总是追究这些细节。
“还有，一定要回到一开始出发的那块陆地吗？”
“最后不用回到一开始出发的陆地。当然，回去也没关系。在柯尼斯堡七桥问题中，只要没有重复走过同一座桥，并且每座桥都有走过就行了。”
“有办法一次走完这些桥喵？呜，我觉得应该可以。”
“那就试试看吧。”
尤里拿着自动铅笔，尝试用一笔画的方式走完这些桥。
“……”
“怎么样？完成了吗？”
“不行，办不到。你看，假设我们从A开始走，按照a→e→f→b→c→d的顺序过桥，最后就没有路可以走了。这样就没有办法过g桥了。” 按照a→e→f→b→c→d的顺序过桥（没办法过g桥）
“是啊。走过d桥来到陆地B时，会发现连接陆地B的五座桥都已经走过了，没办法再从B走到其他陆地。但是，还有一座g桥没有过。”
“没错。”
“说不定还有其他走法呢。可以试着从其他陆地开始走。”
“我试了很多种走法，就是不行。”
“试了很多种走法并不代表试完了所有走法，不是吗？”
“话是没错……”尤里说，“但肯定不行。”
“那么，这就是你猜想的结论，对吧？”
“什么意思？”
“为了解开柯尼斯堡七桥问题，你用了许多方法，最终认为不可能用一笔画的方式走完所有的桥。但你还没有用数学方法证明这个结论，所以这只是你个人的猜想。”
P3-5