数学是如何照亮了人类历史进程中的起起伏伏？又是怎样组成人们的生活情境和乐趣？
如果说，数学是上帝给人们的说明书，那这本书就是对说明书的解读。
欧几里得以外的宇宙不是只有三维，虚数的由来从一段背叛的历史中产生，无理数的发现居然来自法老王的挑战，自然数0中充满禅意的虚无解脱了人们对自然数的认识……
数学的浪漫和璀璨，远远比你想象中要简单！

翁贝托·博塔兹尼（Umberto Bottazzini），意大利人，国际知名数学史专家，曾任国际杂志《数学史》主编。2002年获邀在北京第24届国际数学家大会发表演讲，2006年荣获毕达哥拉斯奖，2015年荣获数学史领域列昂·艾伯特·怀特曼纪念奖，2017年受邀访问中国科学院自然科学史研究所。

前言 它们在数百年的黑暗中闪耀，用数学照亮了人类的历程
第一章 计算时间和物件
刻痕与结绳
数字的发明
自然数
第二章 表示虚无的数字0
虚无的悖论
虚无的空间
零变成了一个数字
0和1，一切数字的渊源
第三章 发现无理数
法老的挑战
是谁提出了毕达哥拉斯定理？
一桩逻辑上的丑闻
奇妙的五角星和黄金比例
第四章 正方形与圆形
圣殿里的水盆与书写员的田地
测量大气和月亮
刻苦钻研的古代“割圆者”
测量圆形的阿基米德
探索“真正”的化圆为方
π的本质
第五章 虚数
一个关于秘密与背叛的故事
把方程式变成诗
负数的平方根
计算虚数
第六章 非欧几何的世界
不止于三维
“真正”的空间几何
“想象”几何
弯曲空间
后记 数学的本质就在于它的自由

它们在数百年的黑暗中
闪耀，用数学照亮了人类的
历程
世上存在先后。人类的
事件更迭总是有先有后，事
物和历史的本质亦是如此。
先与后被一瞬间划分——一
个影响了数十年，甚至数百
年的决定性瞬间。
大自然以一种不可预知
的方式运转着，然后会在某
些时刻猝不及防地出击，且
往往是惨痛的一击，在人类
历史上留下印记。正如公元
79年8月24日的那个时刻，
电闪雷鸣之下，维苏威火山
低沉的隆隆声不断从地底传
来，宣告着一场毁灭性的火
山喷发，即将抹平庞贝城所
有的生命迹象。从废墟遗址
中可以看出，庞贝先前是一
座交通、贸易发达的充满活
力的城市，后来却永远被埋
葬在灰烬之中。
“一开始，人们听到地下
深处传来一阵轰隆声，如雷
声一般。紧接着，一阵剧烈
的震动撼动了大半个城市。
在恐怖的六分钟之内，六万
人丧失了生命。起初，海水
退去，携卷着停泊在海上的
大船小舟，堤道和海滨露出
了水面。接着，它涨了回来
，伴随着隆隆巨响，掀起了
比往常高出十五米的巨浪。
”这段话讲述的并不是庞贝
城的故事，而是出自一位地
质学家写的专栏，讲述了
1755年11月1日里斯本大地
震来临的时刻。当时，一股
积蓄了千年之久的巨大能量
在短短一瞬进发，造成了骇
人听闻的后果。我们很清楚
，这样的灾难仍会重现。在
伏尔泰的小说《老实人》中
，坚持莱布尼茨式乐观主义
的邦葛罗斯安慰幸存者们时
，说：“如果没有这场灾难
，事物就无法继续进行了。
因为一切都是最好的安排。
”无论多么悲惨，在一位法
国启蒙思想家的笔下，这个
自然事件变成了人间喜剧中
一个滑稽可笑的意外。
歌德把历史称作“上帝的
神秘作坊”。在这个“作坊”
里，堆积着对人类来说无关
紧要的小事。只在极少时候
，它们才会被某些时刻照亮
，斯蒂芬·茨威格称之为“高
光时刻”。这些时刻“充斥着
潜在的悲剧与厄运，在某一
天、某一个小时，甚至常常
是在一分钟内降临，无可避
免”，改变的不仅仅是个人
，还往往是一个民族，甚至
所有民族的命运。
公元前44年的恺撒遇刺
事件，当布鲁图和卡西乌将
匕首刺入恺撒的身体，改变
世界命运的那一刻，有了先
前与后来。正如不幸的
1453年5月29日也划分出了
一个先前与后来。那一天，
拜占庭帝国灭亡，年轻的土
耳其苏丹穆罕默德‘在圣索
菲亚大教堂庆祝胜利。大约
一千年以前，罗马城遭到了
汪达尔人的洗劫，如今，这
座象征基督教信仰的城市—
—君士坦丁堡也被劫掠一空
。1815年的6月18日，拿破
仑遭遇滑铁卢的宿命时刻。
还有纳粹德国在1939年9月
1日入侵波兰国土的时刻，
以及侵略欧洲和全世界的时
刻。
每一个“宿命时刻”，都
是一个个事件串联的结果。
一连串的事件被紧密地编织
在一起，经过漫长的发展，
事件一个接着一个，然后突
然成熟。历史这个“神秘作
坊”不只生产武器和战争。
其中一些“宿命时刻”如繁星
般“熠熠生辉、永不熄灭”，
用艺术的光照亮“人性的脆
弱”。茨威格说：“当艺术的
领域诞生一位天才的时候，
他将会颠覆时代。当这样一
个历史时刻来临时，他的出
现将会影响之后的数十年、
数个世纪。”
在这本书中所提到的宿
命时刻，都发生在最遥远的
时空里。它们在数百年的黑
暗中闪耀着，用数学照亮了
人类的历程。一个不知名的
誊写人，在数千年前的一个
宿命时刻，冒出了一个天才
的想法——用同一个抽象符
号表示相同数量的动物或东
西。伯特兰·罗素说，两只
山鸡和两天都是数字2的例
子。印度、中国、东南亚地
区和中美洲的人民，都陆续
迎来那些宿命时刻：在他们
的头脑中，一个非凡的想法
成形了，即用一个特殊的符
号表示虚无，这个符号后来
成了一个数字。一个又一个
世纪流逝，千千万万个人来
到这世上又离去，才等到这
些时刻的来临。
在那些颠覆时代的宿命
时刻中扮演重要角色的人物
，如毕达哥拉斯，带有强烈
的传奇色彩。他们埋头钻研
不可能的问题，比如化圆为
方。他们将自己的才智倾注
于探索数学的奥秘，创造了
思维中的世界，并在其中找
到了可以真实描述现代“宇
宙工厂”的表达方式。不必
借助幻想去解释这些宿命时
刻的诞生，因为，正如茨威
格所说，在那些超凡时刻，
“历史不需要任何帮助”。

一本通俗好读的数学史，集结了数学史上那些令人尖叫的闪耀时刻。这本书通过通俗的语言，以讲故事的方式，为读者展示了改变了数学、改变了历史的闪耀时刻。比如，希帕索斯推翻了老师毕达哥拉斯“万物皆数”理论，引发第一次数学危机；虚数的由来是从一段背叛的历史中产生的；无理数的发现居然来自法老王的挑战……
从数学的角度看世界，了解不一样的逻辑和处世哲学。这本书中不仅有数学和历史，而且涉及人类学、哲学等方面的相关思考。书本通过对数学史的演变和发展，展现了当时社会思想碰撞的场面，以及数学家、思想家乃至平民的伟大智慧和逻辑，推动了人类文明的前进。

数学的本质就在于它的
自由
“您在学数学，对吗？”
在托马斯·曼的小说《陛下
》中，主人公德国王子克劳
斯·海因里希在与一位年轻
的美国客人聊天时，关切地
询问她的学业。“数学是不
是很难？学起来是不是特别
费脑子？”这位少女“像个男
人一样学习：学习代数和其
他艰深的东西”，她的回答
出乎意料：“我想不到比数
学更有趣的东西。这么说吧
，学数学就像是在空中嬉戏
，不，甚至可以说是在空气
之外嬉戏。”这本书里的故
事让你们体会到数字神秘的
魅力了吗？0从虚无中诞生
，黄金比例φ于世界中无处
不在，你们看到这些宿命时
刻了吗？你们理解π的深奥
本质了吗？可如果说数学是
世界上最有趣的，这个嘛…
…你们之中多数人可能都不
赞同斯别尔曼小姐的话，尤
其是她认为数学就像一个如
空气般轻盈的游戏。
默冬似乎说过这样的话
，你们还记得吗？在阿里斯
托芬的戏剧《鸟》中，我们
曾看见默冬拿着“测量空气
的工具”登场，吹嘘自己能
够化圆为方。《魔山》里的
律师帕拉万也希望找到化圆
为方的办法。他在瑞士高山
肺病疗养院里“夜以继日，
苦思冥想”如何化圆为方。
他“百折不挠，坚持不懈”，
笃信你们在这本书里看到的
失败尝试都不是真的。他“
全身心地沉浸”在学习中，“
感到很放松”，普鲁塔克笔
下被流放的阿那克萨戈拉在
狱中应该也是同样的感受。
这项徒劳的研究为托马斯·
曼书中“走上歧途的律师”提
供了慰藉。可我们知道那个
“空中游戏”并非高不可攀。
诺贝尔物理学奖获得者狄拉
克也说“数学家参与游戏并
在游戏中创造规律”；而在
物理学家参与的游戏中，“
规律由大自然提供”。只是“
随着时间的流逝，我们会愈
加明显地察觉到，那些在数
学家眼里有趣的规律，同样
也是大自然的选择”。
海因里希王子在少女的
笔记本里瞥见了“奇妙的象
形文字”，“巫术柱”上成列
的“占卜符号”和“咒语”。大
自然的规律似乎隐藏在这些
符号与咒语中，那些“巫术”
符号也被解读为现代数学语
言中的三角形和圆形。而伽
利略认为，大自然就是用数
学语言写成的。复数就是个
例子。一位富于幻想的数学
家在16世纪的一个宿命时刻
创造了复数——一种没有意
义的符号，而复数就是现代
量子力学中“微粒运行的场
所”。
可那个想象中的“甚至在
空气之外的”游戏有着无法
否认的纯美。这种美，源自
鲍耶、罗巴切夫斯基、高斯
和黎曼这些天才在宿命时刻
所创造的理论。他们革新了
我们对宇宙几何的看法和时
空观，直到我们在相对论中
找到了表达世界的方式。狄
拉克认为，相对论“在描述
大自然时，展现了前所未有
的数学之美”。正是它“令人
惊叹的数学之美”使物理学
家们接受了爱因斯坦的理论
，同时也为物理学带来了美
学上的深刻改变，正如那些
年，毕加索《亚威农的少女
》中杂乱的形体带来了绘画
审美上的变革。阿尔伯特·
格列兹和让·梅金杰在《论
立体派》（1912年）中说
，“如果想要比较画家的空
间和某种几何学，就要看向
那些非欧氏几何的科学家”
，引导读者“久久地思考黎
曼提出的某些定理”。如果
想欣赏达利的《耶稣受难》
（1954年），就要思索多
维空间。他们的这番话并非
出自偶然。
绘画艺术之美源于自由
的创造力，数学之美亦是如
此。19世纪德国数学家格奥
尔格·康托尔是现代数学无
穷理论的创造者，他也曾说
过，“数学的本质就在于它
的自由”。除此之外，我们
通过这本书还想传达什么呢
？当远古先祖在骨头上刻痕
，数字出现在他们指间，也
就是当数字开始阐释世界的
时候，我们看见，在数学发
明的高光下闪耀的宿命时刻
，在人类历史进程中划分先
后的那些瞬间，自由在其中
涌现。

刻痕与结绳
有人听说过鲁滨孙吗？他是丹尼尔·笛福写的一部小说《鲁滨孙漂流记》里的英雄。去年（2019年）是这部小说诞生300周年。你们还记得它讲了什么故事吗？鲁滨孙年少时离开了自己出生的城市约克，在非洲海岸经历了数次惊险的冒险。之后，海员鲁滨孙在巴西定居，成了一个甘蔗种植园主，将种植园经营得顺风顺水。在巴西，只有少数获得西班牙国王和葡萄牙国王批准拥有奴隶专营权的商人可以进行奴隶贸易，但是他们不可以把奴隶公开贩卖给有需要的人。因此，鲁滨孙的朋友们——一群种植园主决定出资装备一条船，前往几内亚，购买大量的奴隶，偷偷地把他们运到巴西的一个海岸上卸下，然后瓜分。这帮人说服了鲁滨孙加入他们。
鲁滨孙十分不情愿出海购买奴隶。在海上航行了几周后，他们的船遭遇了一次可怕的暴风雨。船被狂风暴雨裹挟着，几天后触了礁，被撞得七零八碎，搁浅在了一座小岛附近。鲁滨孙上了岸，成了这次海难唯一的幸存者，其他船员则全部遇难。
在那里待了十天或是十二天之后，我突然想到，我没有纸笔和墨水，可能会忘记时间，甚至会把休息日和工作日弄混。为了避免这种情况，我把一个树干做成十字架的样子，竖在了自己第一次上岸的地方，用小刀在上面刻下了：我于1659年9月30日这一天在此处上岸。我每天都会在木桩的两边刻下划痕，第七天的刻痕比前面的长一倍。到了每个月的第一天，刻痕也会比前一天的长一倍。如此一来，我有了自己的日历，或者说是一个计算着周、月、年的记录柱。
在那一刻，在那片海滩上，身处那个时代的鲁滨孙再次发现和使用了一种人类数百万年前发明的计时方法。20世纪30年代，在摩拉维亚的下维斯特尼采出土了一块属于旧石器时代的狼骨，证实了这点。这块狼骨上有55道刻痕：最开始的25道，被均分成5组，每组5道，最后一道，也就是第25道，比前面的长一倍；接下来的30道刻痕，也被平均分成了6组。刻下这些划痕的史前人类或许是想数数他羊群里的羊，以5为基础的计数极有可能是从手的手指数目获取的灵感。可是，如果你们问他，他有多少只羊，他是无法回答的。他没有数字的概念，更没有可以表达数字的话语。他大概只能给你看看他刻在狼骨上的划痕，然后说：瞧，这刻痕和我的羊一样多。当羊群从我面前经过，我照着手指头，一组一组刻下的。
普罗透斯的做法与此相同。荷马在《奥德赛》中写道，普罗透斯通常会“望着所有海豹，指着它们，五只五只地数着，然后躺下睡觉，就像羊群中的牧羊人”。鲁滨孙需要计算的可不是羊或海豹，而是周和月，因此他在计算中引用了一个重要的变体。你们也会有同感，如果一个人想要计算时间的流逝，一只手上的五根手指派不上什么用场。与下维斯特尼采的牧羊人不同，鲁滨孙生活在17世纪，他有数字的概念，也知道计算。因此，他遵循基督教历法，不是在每个第五天，而是在每个第七天都刻一条双倍长的刻痕，做出的恰恰是糅合了古巴比伦历的犹太历。 位于乌干达和刚果边境的爱德华湖边上有一个地方，叫伊桑戈。下维斯特尼采的狼骨出土后，过了大约二十年，在伊桑戈附近发掘出了一块骨头，或许是狒狒的一块小腿骨，大约出现在两万年前。和下维斯特尼采的狼骨一样，伊桑戈骨上也有大量刻痕，共有三列，每列的刻痕又有不同的分组。第一列共有48道，其他两列分别有60道。关于我们的远祖智人为什么刻下这些划痕，出现了各种各样的猜想。你们也可以推测一下。比如，每列的刻痕数都是12的倍数，这只是个巧合吗？其中一列每组的刻痕数为11，13，17和19，都是10到20之间的质数，这也是偶然吗？有人猜测，如果这些刻痕数与质数没有什么更深的关系，那这也许是一种以12为基础的计量进制，就像我们钟表的计量系统一样，这个猜想正确吗？
或许，刻在勒邦博骨上的29道划痕显示的意义更明晰。勒邦博骨也是狒狒的一块小腿骨，出现在约3.7万年前，于1973年出土于南非和斯威士兰之间的勒邦博山脉。有人猜想这块骨头上的刻痕有一种仪式的含义，与月相更替周期，也就是两轮满月之间的天数有着某种联系。这种推测确实看起来有道理。当人们在法国南部阿尔卑斯山的一个洞穴里发掘到一片旧石器晚期（约1.2万年前）的骨头时，他们发现，虽然远隔千里，相隔万年，但这片骨头上也有被分组刻下的29道划痕，使人不禁联想到阴历，怎能不为之惊讶呢？
卢梭称《鲁滨孙漂流记》为“有关自然教育的最贴切之论”。无论如何，当笛福写这本小说时，他当然不可能知道这些出土文物，可他对另一种类似的计数方法却有着直接的认识。这种方法在数世纪前被引入英国，在笛福生活的年代仍在使用。
在12世纪，亨利一世规定，财务部在木棍上刻痕以核算国家财政。1855年6月27日，查尔斯·狄更斯在伦敦的行政改革协会发表了一场精彩的演讲，他毫不犹豫地称这种计数方式是“一种原始野蛮的方式”。你们可以想象，财政计算账目“就像鲁滨孙在荒岛上计算日子一样”！这种特别的计数方式是什么样的呢？将榆树枝做成