数学的应用范围小到普通的“头发问题”，大到国家战略决策问题。它的普遍适用性，是其他学科无法匹敌的。
常见的黄金比例、音乐音阶、经典美术雕刻、建筑……这些美的背后，也无不存在数学的原理。
通过本书，你可以：
认识多元的数学，提高自己解决问题的能力；
感受人类历史长河中每次变革背后数学的力量；
体味数学家们拼搏创新的故事，了解数学的历史演变；
透过大自然、艺术品，感受美背后的数学感性之美。
除此之外，本书中还有很多会让你感叹“原来这也跟数学有所关联啊”的案例与故事，从中你会体验到数字本身的奇妙之处，发现数学所蕴含的合理性与数学之美无处不在。

永野裕之，1974年生于东京。高中就读于晓星高级中学，本科就读于东京大学理学部地球行星物理专业，硕士就读于东京大学宇宙科学研究所。高中时代曾参加过数学奥林匹克大赛，曾作为东京学生代表，参加过广中平佑先生主办的“第12届数理大研讨”。如今，担任小班培训学校·永野数学私塾的校长。改校曾被NHK、《日本经济新闻》、《商务杂志》等多家媒体报道，2011年《东洋经济周刊》评选出3所日本全国“优秀数学培训学校”，该校就是其中之一。另外，作者还是一位职业音乐指挥家。

第一章 了不起的公式
负数——数学界的转型
你能想象“1兆”的概念吗？
爆炸式增长的幂运算
数学女王与不可思议的整数
质数的未解之谜
第二章 了不起的天才数学家
欧美精英必读之书《几何原本》和欧几里得的秘密
拥有最强大脑的男人和博弈论
印度魔术师和令人惊叹的灵光一现
发现无穷的数学家背后的故事
证明不完全性定理的完美主义者
第三章 了不起的艺术性
数学的美来自内在的快感
毕达哥拉斯与数秘术
数学的前身是音乐、天文学？
欢迎来到曲线博物馆
平面密铺瓷砖中的数学问题
第四章 了不起的方便
一一对应与丰臣秀吉的绳子
费米定理与“估算”
首位出现最多的数字
寻找有效信息的方法
统计学改变国家制度
第五章 了不起的影响力
用N进制解决大数字
科学的依据——纳皮尔常数
人类对圆周率的探索
虚数和量子计算机
第六章 了不起的运算
用幻方锻炼大脑
你知道万能天平吗？
把双手变成计算器的方法
两位数相乘的快速心算法
“+” “-” “×” “÷” 是何时诞生的呢？
结语

请思考下面这个问题。
在日本横滨市内，是否
存在头发数量完全相同的
两个人？
（注：日本横滨市人口
大概有350万人，一个人的
头发最多有15万根。）
乍一看这个问题，肯定
有人会说：“头发的数量根
本就数不清，怎么可能有
答案？”当然，肯定也会有
人认为存在这样的两个人
。
据说一个人每天掉落的
头发有近100根。如果将用
放大镜才能观察到的头发
数量也考虑在内的话，确
实很难断言一个人的发量
。即使远看是光头的人，
在放大镜之下也不一定没
有一根头发。
同时我们也能理解人们
认为“有”的心理，这是一种
没有确凿证据的直觉，他
们可能会认为即使头发的
数量数不清楚，但是350万
人之中总会有两个人发量
一样吧。
但是，如果我们使用数
学方法加以解释，不论是
难以数清的头发根数问题
，还是难以佐证的直觉问
题，都会迎刃而解。我们
可以得出一个确定的答案
：存在头发数量完全相同
的两个人。而且，我们可
以拍着胸脯说：“日本横滨
市内100%存在头发数量完
全相同的两个人。”
为什么呢？这就是数学
中的鸽巢原理在发挥作用
。用晦涩的语言解释“鸽巢
原理”，即“正数整数n为元
素，n+1元素放到n个集合
中，其中必定有一个集合
存在两个以上的元素。”听
起来煞有其事，其实原理
非常简单。
打个比方来说，假设有4
只鸽子、3个鸽巢，鸽子全
部进入鸽巢时，一定会有
一个巢穴中存在两只（或
以上）鸽子。鸽巢原理简
单来说就是这个道理。使
用这个原理，我们就可以
推断“5人中一定存在相同血
型的人”“13人以上在一起，
一定有相同月份出生的人”
。我们再来看开篇的问题
，我们可以想象将350万人
的头发数量做上标记，“0根
”“1根”……“15万根”，然后
放入同样标记“X根”门牌的
房间中。
这样一来（房间总数少
于人数），一定会有两人
（或以上）进入同一个房
间。同一房间内的两人（
或以上）就是拥有相同头
发数量的人。
写到这里，大概会有人
跳出来反驳我了：“不对，
不确定每个人的头发数量
，根本就不知道应该让哪
个人进入哪个数字门牌的
房间，这个前提不成立。”
这么说也不无道理。但是
，即使不能确定每个人的
头发数量，也一定存在某
一头发数量在0~15万根的
人，而这个人一定会进入
同样数字门牌的房间（也
许，你可以想象命运让他
们每个人都进入正确的房
间）。无论如何，都一定
会出现待在同一房间内的
人。
鸽巢原理虽然简单至极
，但是应用广泛。东京大
学、京都大学、早稻田大
学、庆应大学等日本一流
大学的入学考试以及奥数
比赛中经常会出现使用这
个原理解答的试题。
除此之外，数学原理在
国家战略规划、企业决策
等过程中也发挥着重要作
用。
为世人所知的《天鹅湖
》《胡桃夹子》等作品的
作曲者彼得·柴可夫斯基曾
经这样说过：
“如果数学不美，恐怕数
学本身就不会产生了。它
将人类的绝世天才们吸引
得神魂颠倒，除了美之外
还有什么能拥有这么强大
的能量呢？”我完全同意他
的说法。
本书分为6个章节，将从
不同角度尽力为读者呈现
数学作为一门学科所具有
的了不起的价值和魅力。
第1章了不起的公式——
用数字记录世界。
第2章了不起的天才数学
家——奇人的极限抽象思维
。
第3章了不起的艺术性—
—充满感性的数学之美。
第4章了不起的方便——
现代社会的技术支撑。
第5章了不起的影响力—
—世界史中的数学。
第6章了不起的运算——
印度式数学、方便的心算
、数学谜题。
下面，我简单介绍一下
我自己。
鄙人毕业于东京大学理
学部地球行星物理专业，
后进入日本宇宙科学研究
所（现JAXA）攻读研究生
学位。中途离校，在探索
未来之时，也尝试过经营
餐厅，最终选择心仪的人
生目标——成为一名古典乐
指挥。曾赴维也纳求学，
归国后以乐队指挥为生。
婚后有子，机缘之下成立
了永野数学私塾，开始了
小班制数学辅导工作，学
生年龄分布广泛。
虽然人生起伏，经历数
业，但始终未曾远离数学
之本。
物理学中数学公式是比
语言更有力的雄辩之词，
宇宙真理永远不会违背数
学的合理性；经营管理中
，基于数据的数学判断是
家常便饭；音乐之美的合
理性可以从数学中发现；
而现在，一对一辅导、执
笔写书更是在传播数学的
意义。
本书中每一个故事都是
独立章节，读者朋友可以
根据目录，选择自己喜欢
的内容阅读。这本书其实
读起来很轻松，所以开卷
前请不要有畏难情绪。
就像人们对音乐、美味
的喜好不同一样，享受数
学的方式也不是唯一的。
无论在哪个领域、哪个层
面，数学都能散发出了不
起的魅力。这便是内含深
意的数学。
永野裕之

乌鸦和蜜蜂竟然也会数数！你能想象负3个面包是怎样的画面吗？如何计算每天离婚的人数？是否存在头发数量完全相同的两个人……20位天才数学家的故事，近40个数学概念，无数个了不起，永野裕之带你从不同角度体验数学之美！本书内容翔实，通过本书，你可以认识多元的数学，提高自己解决问题的能力；感受人类历史长河中每次变革背后数学的力量；体味数学家们拼搏创新的故事，了解数学的历史演变；透过大自然、艺术品，感受美背后的数学感性之美。

现在，你对数学的印象
是否发生了变化？在本书
所介绍的案例中，如果有
哪处能让你感叹“原来这也
跟数学有所关联啊”，作为
作者，我便感到莫大的喜
悦。
16世纪以后，数学的概
念、理论和方法论不仅被
应用于物理学、化学、生
物学、天文学等基础学科
，还用于工学、农学、医
学、经济学等应用学科。
除此之外，其应用范围还
扩展到了哲学、艺术领域
。在现代社会，第四次工
业革命（一场各行各业不
断开展技术革新的科技革
命，催生了AI、物联网、
互联网、纳米科技、自动
驾驶等新兴技术）如火如
茶，数学的存在感更是与
日俱增。
从今往后，世界上将不
存在任何与数学毫无关联
的事物。是否会有这么一
天，数学的存在感和用途
会扩大到足以支撑这句话
呢？从这个意义上讲，数
学的“了不起”之处直至今天
都仍在继续发展中。
本书介绍了毕达哥拉斯
、笛卡尔、费马、牛顿、
莱布尼茨、欧拉、高斯、
康托尔等多位天才数学家
的伟大贡献，并说明了他
们给数学发展史带来的重
大突破及其意义：方程、
函数、微积分、集合、概
率、统计……此外，本书还
介绍了负数、虚数、无限
、N进制等概念以及圆周率
和纳皮尔常数（自然常数e
）等不可思议的常数及其
巨大影响力。
不仅如此，本书特地在
第一章介绍了数学的魅力
点之一——“数学之美”，又
通过幻方、万能天平等谜
题，介绍了“运算”，使读者
能够从中体会到数字本身
所蕴含的奇妙之处。连我
自己都忍不住觉得本书内
容颇丰。这也说明了数学
这门学问就是如此博大精
深、海纳百川。
通过学习物理，我了解
了微分和积分的“了不起”之
处，这就是我迷上数学的
契机。仅需一个名为运动
方程的数学表达式，就可
以对力学的种种公式进行
积分运算。当我知晓这一
点时，我感到无比的惊讶
和感动，这种感情直到今
天都仍然深深地铭刻在我
的心中。
对我来说，这件事为我
打开了数学世界的大门。
在那之后，我发现数学所
蕴含的合理性与数学之美
无处不在，也学会了把数
学教给我的思考方式当作
人生之路的指南针。
正是这个数学的“了不起
”之处成为契机，使我不断
地积累经验，一路走来，
这也正是我下定决心要将
传播数学的意义和价值作
为终生事业的最大原因。
人们常说，想要精通一
门外语，最好的办法就是
找一位对象国语言为母语
的恋人。对数学来说，这
种方法也同样有效。高中
时期的我就是如此。通过
数学的“了不起”之处，我领
会了数学的魅力，从此爱
上了数学，数学能力自然
也就突飞猛进了。
即使不特意摆出“学习”
的态度，同样可以享受数
学带来的乐趣。但是，如
果能够通过学习数学，理
解各种各样的公式，一定
能更好地体会数学的魅力
。
本书在立项企划、题目
选定、书稿修改的各个阶
段中，均得到了钻石社田
畑博文先生的大力支持与
指导。在我反复推敲、修
改文稿的过程中，田畑先
生从读者的角度给予我诸
多良策。如果有读者觉得
本书很“通俗易懂”，那么田
畑先生一定是最大的功臣
。在此，我想向田畑先生
表示由衷的谢意。此外，
为本书的问世而尽心尽力
的各位，我想在此对大家
表示衷心的感谢。
我真心希望读者们能够
通过本书了解数学学问之
深奥、充满艺术性的数学
之美，以及数学作为一门
应用学科所拥有的巨大社
会影响力等内容，从而了
解数学的“了不起”之处（哪
怕只能向你传达其中的一
点）。希望本书能够成为
为你打开“数学之门”的契机
。
二〇二〇年四月
永野裕之

负数——数学界的转型
乌鸦和蜜蜂竟然也会数数！
19世纪德国著名数学家克罗内克（1823-1891）曾说：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”
据相关研究表明，1、2、3……这样的数字，不仅人类会数，动物也会数。
德国图宾根大学的研究表明，乌鸦可以完成“时间差对照实验”：在乌鸦面前放置两个电脑屏幕（样品组和测试组），屏幕上分别呈现两张带不同数量圆点的图片，先让乌鸦观看样品组的图片，然后停顿一秒钟，再让乌鸦观看测试组的图片，当两组图片中圆点数量相同时，乌鸦会去啄显示屏，此时乌鸦能够得到食物。让乌鸦参与实验后，乌鸦不仅能够理解实验的意图，且仅在两张图片中的圆点数量相同时去啄显示屏。
澳大利亚昆士兰大学的研究表明，蜜蜂也会数数。实验人员在隧道中做若干记号，随机在某个记号（比如3号）处放置花蜜，然后让蜜蜂多次通过隧道。实验结果表明，即使隧道中没有花蜜、只有记号，蜜蜂依旧会在3号记号附近聚集。
当然，考虑到蜜蜂有可能通过记号与入口的距离做出判断，实验人员改变了记号与记号之间的距离，继续让蜜蜂穿过隧道，而蜜蜂依旧会在3号记号处聚集，这一点引起了大家的广泛兴趣。
还有其他的案例，比如杜鹃。杜鹃繁衍时将自己的蛋下在黄莺的巢穴中，让黄莺孵化，这时，杜鹃每下一个蛋，都会将黄莺的蛋扔掉一个。
被称为“假数”的负数
负数的概念是人类发明的“新数字”概念之一，负数指比0小的数。早在公元2世纪的中国数学书和公元7世纪前半叶的印度数学书中，就可以看到负数的相关演算。
特别是在公元7世纪的印度，商人会将“10万的借款”记录为“负10万的收益”，这种记录方法在商业中被广泛运用。
而欧洲数学家开始接受负数的存在是在17世纪以后。以“我思故我在”闻名世界的笛卡尔（1596-1650），曾把通过方程式解出的负数称作“假数”。
直至18世纪，还有许多数学家无法理解负数的概念。
莱昂哈德·欧拉（1707-1783）是一名天才数学家，据说他“计算时毫不费力，就像人呼吸或者鹰在空中盘旋一样”。然而即便这样一位天才，也不可避免地犯了一个“错误”：他认为在y=的计算中，当x为正数时，x越接近0，则y的值越大；而负数比0小，那么当x为负数时，y将趋于无穷大。
你能想象“负3个面包”是怎样的画面吗？
为什么西欧的数学家们强烈抵制将负数纳入数学的范畴呢？为什么他们在遇到负数时会产生误解？
这是由于负数是没有办法被直观感受的数字。无须多言，我们无法将“负3个面包”放在眼前展示。通常，人们难以接受无法想象的事物。
然而，如果使用负数，就可以将两个相反的事物放在同一个概念中进行思考。例如，假设某公司某月收入300万日元，支出100万日元，如果不能使用负数计算，就必须要考虑收和支两个不同的概念，如若每个月的盈亏状况不等，计算便会十分复杂。
P2-5