《从√2谈起（典藏版院士数学讲座专辑）》是“中国科普名家名作”系列之一。是我国著名数学家、计算机专家张景中院士创作的科普读物，包括庞大的无理数家族；用有理数逼近无理数；天衣无缝的数直线；无穷小之谜等十章内容。

张景中，数学家，中国科学院院士。
多年从事几何算法和定理机器证明研究，其成果曾获国家发明二等奖，中国科学院自然科学一等奖，国家自然科学二等奖。
热心数学教育，提出教育数学的思想，并从事中学教学改革和微积分教学改革的研究。
热爱科普事业，其所著《教育数学丛书》曾获中国图书奖，《数学家的眼光》等科普作品曾获国家科学技术进步二等奖、第六届国家图书奖、“五个一”工程奖、全国科普创作一等奖。所主编的《好玩的数学》丛书获国家科学技术进步二等奖。

第一章 从√2谈起
第二章 庞大的无理数家族
第三章 用有理数逼近无理数
第四章 最好的分数
第五章 奇妙的黄金数
第六章 近似的数学
第七章 天衣无缝的数直线
第八章 无穷小之谜
第九章 π和e
第十章 数系巡礼
习题解答或提示
附录 关于连分数的几个基本命题的证明

这本书的名字叫《从√2谈起》，我想，读者更
想知道的是，在“谈起”之后，往哪里谈，谈到什
么地方为止。
√2是人们最早认识的无理数之一，也是中学生
最早知道的最简单的无理数。从√2谈起，自然会谈
到其他的无理数。比如：除了√2，还有哪些常见的
无理数？怎样证明一个数是无理数？无理数都可以
用根式表示吗？是无理数多还是有理数多？
我们知道，√2=1.414…是无限不循环小数。怎
样把它算得更精确一些呢？会算√2，会不会算2√2
，2√2？√2是方程式x2-2=0的根，那么，更高次代
数方程式的根怎么计算？能不能利用初中代数里学
过的知识，计算高次方程式的根呢？等等。这些，
都是我们“谈起”的内容。
此外，我们还将简单谈谈你所熟悉的π和不大
熟悉的e，以及和“黄金分割”有关的“无理数三兄
弟”。关于它们，有着耐人寻味的故事和游戏。
怎么样，想了解这些知识吗？那么，就请你翻
到第一章吧！书中用到的知识，大部分是初中学过
的。当然，你也可以不从头看起，直接看中间的几
章。

张景中院士是我国著名数学家、计算机专家，曾任中国科普作家协会理事长。他的不讲数学理论只讲数学思想，用日常生活中的浅显事例，向青少年普及数学的创作手法，是我国数学科普创作的一大飞跃。他的数学科普作品，不同于一般的科普读物，它不是简单的材料收集和整理，而是一个站在科学前沿的学者的真知灼见。
《从√2谈起（典藏版院士数学讲座专辑）》是由张景中先生撰写的数学科普读物，全书共分为10章内容。

第七章 天衣无缝的数直线
数学史上最让人惊奇的事情之一，是实数系的逻辑基础竟迟至19世纪后叶才建立起来。
正整数是容易理解的，简单的计数就要用到它。3岁的孩子，也会数他手中的水果糖。
分数也是容易理解的。因为它可以归结为整数之比。
但是，无理数的本质是什么？直到18世纪，无理数对数学家们来说仍然是一个谜，但人们又不能不和无理数打交道。
随着农业生产的发展，人们为了掌握季节变化的规律，需要天文知识，要测算日月星辰的位置。这样三角学发展起来了。√2被发现400多年后，人们已会计算许多角度的三角函数值，这些值绝大多数是无理数。
到了1500年前后，人们不但会解二次方程式，而且开始会解一些特殊的三次方程式了。这些方程式的根，很多是无理数。
又过了不到100年，纳皮尔（1550年-1617年）发现了对数。我们知道，有理数的对数差不多都是无理数。
无理数的广泛使用，促使越来越多的数学家开始探讨无理数的实质。
对无理数，有的数学家坚持不承认主义。他们认为，尽管为了研究几何问题不能不用到无理数，但我们想把它数出来的时候（用小数表示出来），它们就无止境地往远跑，使我们无法准确地掌握它！既然缺乏准确性，又怎么能叫做数？所以，无理数不是数，它是隐藏在无穷迷雾后面的某种东西。
也有不少数学家认为，无理数是地地道道的数，因为无理数可以表示实实在在的几何量，可以用有理数来逼近；但他们也没有提出无理数的系统理论。
还有很多数学家，像中国、印度等东方国家的数学家，他们大胆地应用无理数，并不关心无理数的本身是什么。他们不觉得这里面有多大逻辑上的缺陷。
顺便提一下，当时，由于解二次以上的代数方程式，负数和虚数也开始在运算中使用。16世纪的欧洲数学家们，被负数、无理数、虚数弄得晕头转向，就像刚上中学的中学生，觉得这是一些难以理解的“怪物”。
随着科学的发展，负数被大家理解了，虚数也得到了合情合理的说明；但无理数之谜的谜底，直到19世纪中叶，才被真正揭开！
这是因为，由于19世纪的工业技术革命，机器被大量使用，人们在生产实践中提出了许多新问题，促使微积分迅速发展。微积分要研究变量，变量被人们理解为“连续变化”的量。什么叫连续变化呢？比如，x连续地从0变到1，这是什么意思？你可以回答说，x要取到0和1之间的一切实数。这“一切实数”又是哪些？除了有理数，算不算无理数？如果要算，无理数是什么？
这是迫切需要回答的问题。不回答这个问题，微积分的很多基本定理就证不出来。比方说：圆到底有没有面积？圆内一点和圆外一点，用一条连续曲线连起来，这曲线和圆为什么一定会相交？这些一看就对的事，偏偏证不出来！这说明关于实数的理论太不完整？
让人惊奇的是，这个2000多年没有解开的无理数之谜，只要采用一个新的观点，便迎刃而解！
这个新观点，其实并不新，它是从欧几里得以来人们就有了的一种看法，只是大家都没把它说清楚罢了。
什么看法呢？
这就是直线的连续性。在直线上取定一个原点，一个单位长，一个正方向，直线就变成了数轴。直线是连续的，直线上面每个点可以表示一个实数，所以实数也是可连续变化的。
但是，究竟什么叫做“连续”，又不容易说清楚了。
形象地说，连续，就是没有缝隙，就是天衣无缝。如果再问什么叫天衣无缝，那该怎么回答呢？
让我们动脑又动手吧。给你一把最最锋利的刀，你甩尽全身力气，在这根天衣无缝的数直线上砍一刀，把它斩成两截，会发生什么呢？
因为直线是天衣无缝的，这一刀一定砍在某个点上，或者说，砍中了一个实数。否则，岂不是有缝隙了？
如图7—1，假定从点A的位置把直线砍断，这个点A到什么地方了呢？在左半截上，还是右半截上？
不在左边，就在右边！反正不会两边都有，也不会两边都没有；因为点不可分割，也不会消失掉！
这是想象，从想象中悟出一个道理来。所谓直线的连续性，就是这么一回事：不管把直线从什么地方砍断成两段，总有一段是带有端点的，也只有一段是带有端点的！
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