格拉瑟曼编著的《金融工程中的蒙特卡罗方法》是应用统计学丛书之一，本书介绍了蒙特卡罗方法在金融中的用途，并且将模拟用作呈现金融工程中模型和思想的工具。《金融工程中的蒙特卡罗方法》可供金融工程、金融数学、统计学等专业的研究生阅读，也可供金融行业的从业人员及相关领域的专业人士和技术人员参考。

格拉瑟曼编著的《金融工程中的蒙特卡罗方法》源于作者在哥伦比亚大学多年教学的讲稿。书中介绍了蒙特卡罗方法在金融中的用途，并且将模拟用作呈现金融工程中模型和思想的工具。《金融工程中的蒙特卡罗方法》大致分为三个部分。第一部分介绍了蒙特卡罗方法的基本原理，衍生定价基础以及金融工程中一些最重要模型的实现。第二部分描述了如何改进模拟精确度和效率。最后的第三部分讲述了几个特别的论题：价格敏感度估计，美式期权定价以及金融投资组合中的市场风险和信贷风险评估。

《金融工程中的蒙特卡罗方法》可供金融工程、金融数学、统计学等专业的研究生阅读，也可供金融行业的从业人员及相关领域的专业人士和技术人员参考。

第1章 基础

 1.1蒙特卡罗原理

 1.1.1介绍

 1.1.2第一个例子

 1.1.3模拟估计的有效性

 1.2衍生品定价准则18

 1.2.1定价和复制19

 1.2.2套利和风险中性定价23

 1.2.3基准变换30

 1.2.4风险的市场价格34

第2章 随机数与随机变量的产生37

 2.1随机数的产生37

 2.1.1一般考虑37

 2.1.2线性同余发生器40

 2.1.3线性同余发生器的实现42

 2.1.4格子结构45

 2.1.5组合发生器和其他方法47

 2.2一般抽样方法50

 2.2.1逆变换方法51

 .2.2.2接受–拒绝方法55

 2.3正态随机变量和向量59

 2.3.1基本性质59

 2.3.2一元正态变量的产生61

 2.3.3多维正态(样本)的产生67

第3章 构造样本路径74

 3.1布朗运动74

 3.1.1一维情况74

 3.1.2多维情况85

 3.2几何布朗运动88

 3.2.1基本属性88

 3.2.2路径依赖型期权91

 3.2.3多维情况99

 3.3gauss短期利率模型103

 3.3.1基本模型和模拟103

 3.3.2债券价格106

 3.3.3多因子模型112

 3.4平方根扩散过程114

 3.4.1转移密度函数116

 3.4.2gamma分布和poisson分布的抽样119

 3.4.3债券价格123

 3.4.4扩展125

 3.5带跳跃的过程128

 3.5.1一个跳跃扩散模型128

 3.5.2纯跳跃过程136

 3.6远期利率模型:连续利率142

 3.6.1hjm框架143

 3.6.2离散漂移项148

 3.6.3实现153

 3.7远期利率模型:简单利率158

 3.7.1libor市场模型动态过程158

 3.7.2衍生品定价164

 3.7.3模拟166

 3.7.4波动率结构和校准173

第4章 方差缩减技术177

 4.1控制变量法177

 4.1.1方法和例子177

 4.1.2多元控制变量188

 4.1.3小样本事件191

 4.1.4非线性控制194

 4.2反向变异法196

 4.3分层抽样法200

 4.3.1方法和例子200

 4.3.2应用210

 4.3.3后分层221

 4.4拉丁超立方体抽样法224

 4.5匹配标的资产法232

 4.5.1路径调整的矩匹配法233

 4.5.2加权的蒙特卡罗法240

 4.6重要性抽样法243

 4.6.1原理和例子243

 4.6.2依赖路径的期权255

 4.7结束语264

第5章 准蒙特卡罗267

 5.1一般原则267

 5.1.1偏差269

 5.1.2vandercorput序列271

 5.1.3koksma-hlawka边界273

 5.1.4网格和序列276

 5.2低偏差序列278

 5.2.1halton序列和hammersley点集278

 5.2.2faure序列283

 5.2.3sobol’序列288

 5.2.4进一步构造300

 5.3格规则301

 5.4随机准蒙特卡罗304

 5.5金融中的应用307

 5.5.1数值算例307

 5.5.2策略的实施314

 5.6结束语318

第6章 离散法320

 6.1介绍320

 6.1.1euler方法与第一次修正320

 6.1.2收敛阶325

 6.2二阶方法328

 6.2.1标量情况328

 6.2.2向量情况332

 6.2.3加入路径依赖性338

 6.2.4外推法340

 6.3延伸342

 6.3.1一般扩展342

 6.3.2跳跃–扩散过程343

 6.3.3均方误差的收敛344

 6.4极值和障碍跨越:布朗内插法346

 6.5改变变量350

 6.6结束语354

第7章 敏感性估计355

 7.1有限差分近似356

 7.1.1偏差和方差356

 7.1.2最优均方误差359

 7.2顺向微分估计364

 7.2.1方法和例子364

 7.2.2无偏性成立的条件370

 7.2.3数值逼近及相关方法373

 7.3似然比方法378

 7.3.1方法和例子379

 7.3.2偏差和方差的性质384

 7.3.3gamma388

 7.3.4逼近及相关方法390

 7.4结束语395

第8章 美式期权定价397

 8.1问题的公式表达397

 8.2参数逼近402

 8.3随机树方法406

 8.3.1高估计量407

 8.3.2低估计量409

 8.3.3实现412

 8.4状态空间分割415

 8.5随机网格方法418

 8.5.1一般框架418

 8.5.2似然比权重424

 8.6基于回归的方法和权重432

 8.6.1逼近连续值432

 8.6.2回归和网格权重437

 8.7对偶性443

 8.8结束语449

第9章 在风险管理中的运用451

 9.1损失概率和风险值451

 9.1.1背景451

 9.1.2var的计算454

 9.2运用delta-gamma近似的方差缩减461

 9.2.1控制变量461

 9.2.2重点抽样464

 9.2.3分层抽样469

 9.3厚尾情况475

 9.3.1厚尾分布的建模475

 9.3.2delta-gamma近似479

 9.3.3方差缩减482

 9.4信用风险487

 9.4.1违约时间及估值487

 9.4.2违约的相关性491

 9.4.3投资组合信用风险495

 9.5结束语502

附录a收敛和置信区间504

 a.1收敛概念504

 a.2中心极限定理和置信区间506

附录b

 b.1随机微积分的结果509

 b.2ito公式509

 b.3随机微分方程512

 b.4鞅514

 b.5测度变换517

附录c利率期限结构522

 c.1期限结构术语522

 c.2利率衍生品527

参考文献531

索引553

在讨论“看上去是而实际不是随机”的序列之前，我们应该指明一个纯随机数发生器意味着什么：我们指的是产生一系列随机变量的机制，并且这些随机变量仉，巩，…具有下述性质：

(i)每一个巩服从[O，1]上的均匀分布；

(ii)阢相互独立．性质(i)是一种方便但随意选择的规范化表述；从0到1／2之间的均匀分布，或是从其他简单分布中的取值，也都同样有用．单位区间上的均匀随机变量基本上可以转换为其他任何分布的样本，比如说，用2．2节和2．3节中描述的方法．性质(ii)更为重要．特别地，它意味着所有数对都应该是不相关的，更一般地，∽的值不能通过u1，…，∽一，的值来预测．

一个随机数发生器(为了强调它只是模拟随机性，它经常被叫做伪随机数发生器)在单位区间里产生一个有限序列u。，n2…．，uK．通常地，所产生的值部分地依赖于用户输入的参数．任何这样的序列都构成独立均匀分布∽…．，E，K的一组可能结果．一个好的随机数发生器要满足一个要求(得承认这个要求6-A严格)，即序~II@--／l@-(相对K来说)应该很难与独立均匀分布得到的序列相区别．

因此，一个有效的发生器必须能够产生符合上面的性质(i)和(ii)的数值．如果数值的个数K很大，落在单位区间的任意一个子区间的数值的比例应该大致与子区间长度相等一这就是均匀性．独立性表明这些数不应该存在可观察到的分布模式．用稍微精确的语言，即用统计的独立性测试方法不能够轻易地否定任何序列片段的独立性．

我们可以通过几个例子来具体说明以上及其他的一些考虑．线性同余发生器是下面形式的迭代：

Xi+l。axi modm，  f2．11

u冲1=Xi+l／lYt，  (2．2)这里，乘子。和模数m都是常整数，在初始值(种子)z。给出后，它们将决定其他数值的产生．种子通常是由用户给定的介于0和m一1之间的正整数．运算Ymod”z返回Y被m除后的余数(一个整数)．换句话说，

Y rood_r，0=Y—I y／m l m，  f2．31这里H代表小于等于z的最大整数．例如，7mod5=2；lOmod5=0；43mod5=3；3 mod 5=3．由于mod m运算的结果总是介于0和m一1之间的整数，所以由(2．1)(2．2)产生的输出结果札i总是介于0和(m一1)／m之间；特别地，它们落在单位区间里．

由于它的简单性和潜在的有效性，线性同余发生器在实际中得到最广泛的应用．我们将在2．1．2节对它们进行详细的讨论．这里我们用它们来说明在设计随机数发生器时的一般考虑．注意到，线性同余发生器有如下形式：

z。+1=．厂(zi)， “。+1=9(zi+1)，  (2．4)这里，。厂和9都是确定性函数．如果我们允许z。是向量，那么这种一般形式几乎包含所有随机数发生器．

在(2．1)中若n=6，m=11(在实际中，m应该很大；这些值只是为了举例说明)，考虑由这个线性同余发生器产生的序列％从zo=1开始，下一个值是6 mod 11=6，接下来是(6×6)mod 11=3．因此种子z0=1产生如下序列：

1，6，3，7，9，10，5，8，4，2，1，6，．．．．某一数值一旦再现，整个序列也会开始重复．的确，由于计算机只可能表示有限个数值，任何形如f2．4)中的式子的反复使用都将最终得到一个与前面某一z。相同的数，然后zi后面的所有的数也会随着重复．观察上面这个例子，在数值开始重复之前，介于1和m一1之间的所有十个不同整数全部出现在序列中f若我们让序列从0开始，则所有序列值都将为0，所以我们不允许z0=0)．如果我们保持m=1，但取n=3，种子z0=1，就会产生

1，3，9，5，4，1…．，而z。=2就会产生

2，6，7，10，8，2…．．因此，在这种情况下，可能值集合f1，2…．，10)分成两个循环，这意味着不管zo取什么值，在数值重复之前，乘子o=3产生了五个不同数，而乘子n=6产生了所有十个不同数值．能产生全部m一1个不同数值的线性同余发生器称作整周期的．在实际中，我们希望在有任何重复之前能够产生(至少)上千万的不同数值．仅仅选择很大的m值是不能保证这个性质的．因为如果参数0和m选得不好，它可能导致数值在集合f1，2，…，m一1}中的一个小的子集上不断循环重复。

P38-39

这是一本从金融工程视角研究蒙特卡罗方法的书。蒙特卡罗模拟已经成为金融衍生品定价和风险控制中的重要工具。这些应用反过来也导致了新的蒙特卡罗方法的提出以及对一些传统蒙特卡罗方法的新的兴趣。这也是一本从蒙特卡岁方法的视角来研究金融工程的书。理解模型的一种最好的方法，比如利率的期限结构．是通过模型的模拟实现；寻找更有效的模拟办法也会导致对模型的特性更深入的分析。

本书适合的读者是金融工程专业研究生、应用蒙特卡岁方法进行金融研究的研究人员以及在业界实现模型的金融人十。这本书是根据我任美国哥伦比亚大学、普林斯顿大学和丹麦奥胡斯大学授课时的讲稿提炼而成。来选课的是工程、数学、物理和金融专业的硕士及博十研究生。本书的内容选择也受到我与Mark Broadie共同编写的对专业人员进行培洲的教程的影响。这些培训通常与Leif Andersell和Phelim Boyle等人合作。与这些将蒙特卡罗方法应用于衍生品领域的实践者和同仁进行讨论，也帮助我形成了写这本书的思路。

金融T程专业的学生和人上多来自不同学术领域，在数学、统计、金融、计算机方面所受的训练也是程度不一，这使得我很难设定一个统一的授课标准。读懂这本书最重要的前提条件足熟悉用来阐述和分析金融中的连续时间模型的数学工具。先前对期权定价的基本原理有所了解将有助于理解本书，但这些知识并不是必需的。所需的金融数学工具包括It6微积分、随机微分方程和鞅。=朽中多次提到的最前沿的概念是测度变换，这个概念对期权定价和蒙特卡岁方法都至关重要，在这本书里不可避免地要多次提到，所以需要提前掌握它。如果你能理解Girsanov理论，就应该可以读懂本书。

尽管就本书内容而言使用金融数学语言非常重要，但就计算而言，其技术方面的微妙之处并不需要很多数学语言。我在本书中对数学工具的使用经常不是很严格，比如我会假设局部鞅是一个鞅，或者随机微分方程有解，而不太关注这些假设是否成立。有时候为了图方便，我会在没有考虑其可导性之前就进行求导，或还没确认可积性就对其积分。我这样做是为了能重点讨论对蒙特卡罗方法最重要的东两，而避免频繁被打断去讨论那些条件。不过每当这些条件不是显而易见或者对我们理解一种方法的适用范围很重要时，我会专门提出来。此外，附录中给出了有关随机微积分大部分数学工具的精确定义。

这本书分成三个部分。第一部分，也就是第1章到第3章，是蒙特卡罗方法的基础。第1章总结了衍生品定价和蒙特卡罗方法的理论基础。这一章解释了为何衍生品定价问题可以表达为积分形式，从而可以使用蒙特卡罗方法。第2章讨论了随机数的生成、非均匀分布的抽样以及蒙特卡罗方法的基本工具。第3章介绍了金融工程中使用的几个最重要的模型以及它们的模拟实现。第3章和第l章分别包括了更多的对模型和金融基础知识的讨论。因为来修蒙特卡罗课程的学生通常没有这方面的知识，并且如果对模型及其应用的背景知识有所理解，实现一个模拟会更有意义。而且也正是在模型的细节里，模拟的各种问题才随之而来。

如果说前二三章是讨论运行模拟的话，那么接下来的_二章则是如何将模拟运行得更好。第4章介绍通过降低蒙特卡罗估计中的方差来提高精确性。第5章讨论通过决定性的准蒙特卡罗方法来实现数值积分。第6章讨论离散化逼近连续时间模型所产生的离散化误差问题。

最后三章专门讨论了蒙特卡罗方法在金融中的应用。第7章介绍估计价格敏感值或“避险参数”。第8章讲美式期权定价问题，解决模拟中最佳停时问题。第9章讨论蒙特卡罗在风险控制中的应用。它讨论了市场风险的测量和投资组合中的信贷风险。最后一章所涉及的方法和模型与其他章都不一样，那些章主要讨论的是金融衍生品的定价问题。