本书的目的是系统介绍随机微分方程的基础理论及其在数理金融中的应用。要达到此目的，必须解决两个问题：一个是随机微分方程的基本理论；另一个是随机微分方程在数理金融中的具体应用。本书的前9章主要介绍随机微分方程的一些基础理论，后9章主要介绍随机微分方程在数理金融中的具体应用。

本书比较注重基本理论、原理、基本方法和实例等方面的介绍，以求达到抛砖引玉的作用。

本书系统介绍了随机微分方程的基础理论，并重点叙述了随机微分方程在数理金融中的具体应用。前9章主要介绍了布朗运动、Ito积分、随机微分方程解的存在性和唯一性、伊藤分布、扩散理论、随机微分方程在边界值问题和最优停时问题中的应用。后9章主要介绍了非均衡市场中套利选择、市场完备性条件、完备市场下期权定价和套期交易策略的选择、Black-Scholes公式及其应用、期权价格的计算、与期权定价密切相关的利率模型、特殊类型的金融模型、Hamilton-Jacobi-Bellman方程与风险投资等金融工程中的一些核心内容。

本书可供高等院校本科生、研究生、教师和相关研究单位的科研人员参考。

前言

第1章 绪论

 1.1 随机微分方程的起源和应用

 1.2 随机微分方程的经典应用举例

 1.3 随机微分方程与数理金融的关系

 1.4 本书的主要内容

第2章 预备知识

 2.1 概率空间、随机变量和随机过程

 2.2 布朗运动

 2.3 布朗运动与金融数学

第3章 Ito积分

 3.1 Ito积分的构造

 3.2 Ito积分的一些性质

 3.3 It0积分的推广

 3.4 Ito积分与Stratonovich积分的比较

第4章 伊藤公式与鞅表示定理

 4.1 一维的伊藤公式

 4.2 多维的伊藤公式

 4.3 鞅表示定理

第5章 随机微分方程解的存在性和唯一性

 5.1 随机微分方程的一些实例和求解方法

 5.2 随机微分方程解的存在性和唯一性定理

 5.3 随机微分方程强解和弱解

第6章 伊藤分布的基本性质

 6.1 马尔可夫性

 6.2 强马尔可夫性

 6.3 伊藤分布算子

 6.4 Dynkin公式

 6.5 特征算子

第7章 扩散理论

 7.1 Kolmogorov倒向方程

 7.2 Feynman-Kac公式

 7.3 鞅问题

 7.4 伊藤过程函数的扩散条件

 7.5 随机时间变化

 7.6 Girsanov定理

第8章 在边界值问题中的应用

 8.1 复合Dirichlet-Poisson问题的解的唯一性

 8.2 Dirichlet问题

 8.3 Poisson问题

第9章 在最优停时问题中的应用

 9.1 时齐情形

 9.2 非时齐的情形

 9.3 积分限制下的最优停时问题

 9.4 与变分不等式的联系

第10章 非均衡市场中投资组合套利分析

 10.1 基本定义

 10.2 基本引理

 10.3 非均衡市场套利机会的存在性定理

 10.4 举例说明

第11章 基于随机微分方程的市场完备性理论研究

 11.1 基本定义

 11.2 基本引理

 11.3 市场完备性的判别定理与推论

 11.4 举例说明

第12章 基于随机微分方程在完备市场下的期权定价与套期交易策略的选择

 12.1 基本定义

 12.2 两个引理

 12.3 均衡价格的存在性定理

第13章 Black-Scholes公式及其应用

 13.1 Black-Scholes公式的推导

 13.2 Black-Scholes公式的应用

 13.3 Black-Scholes公式下的美式期权

第14章 期权价格的计算

 14.1 欧式期权与美式看涨期权价格的计算

 14.2 美式看跌期权价格的数字化计算

 14.3 有限维不等式的数字解法

 14.4 美式看跌期权的二项计算方法

第15章 与期权定价密切相关的利率模型

 15.1 模型的基本性质

 15.2 几个古典模型

第16章 其他金融模型

 16.1 不连续的随机金融模型

 16.2 风险资产模型

第17章 与期权价格计算相关的几个函数的模拟与程序设计

 17.1 均匀分布[0，1]上的模拟

 17.2 高斯分布的模拟程序设计

 17.3 指数分布的模拟

 17.4 泊松随机变量的模拟

 17.5 布朗运动的模拟

 17.6 随机微分方程的模拟

 17.7 跳跃分布模型模拟

 17.8 高斯变量分布函数的估计

 17.9 Brennan和Schwartz方法的补充

第18章 Hamilton-Jacobi-Bellman方程与风险投资

 18.1 随机控制问题描述

 18.2 Hamilton-Jacobi-Bellman方程

 18.3 HamiltoIl-Jacobi-Bellman方程的应用

参考文献