第2章 莱布尼茨
微积分的两位创建者都因为在其他的方面也有建树而更闻名，这也许是独一无二的。在公众的心目中，艾萨克·牛顿往往被看成一位物理学家，而微积分的共同创建者戈特弗里德·威廉·莱布尼茨则多半被认为是一位哲学家。这既令人不悦又让人欣喜，不悦是因为这表明人们无视他们在数学上的贡献，而欣喜是由于人们公认创建微积分需要超越一般天才的奇才。
莱布尼茨兴趣广泛，贡献突出，具有渊博的知识。除了哲学和数学，他在历史、法学、语言、神学、逻辑学和外交方面都有杰出的成就。在年仅27岁时，莱布尼茨就凭借他发明的一台机械计算器加入了英国皇家学会，这台可以进行加、减、乘、除运算的机器以其复杂性被公认为一次革命。
虽然晚于牛顿，并且出生在另一个国度，莱布尼茨还是和牛顿一样有着一段热烈进行数学研究的时期。牛顿在17世纪60年代中期已经在剑桥大学建立了他的流数思想，而莱布尼茨是在十年之后在巴黎履行外交使命时完成他自己的奠基工作的。这使牛顿捷足先登，也让牛顿和他的同胞们后来认定这是事关优先权的唯一凭据。但是当莱布尼茨发表他的微积分成果时，牛顿的《分析学》和其他论文仍然以手稿的形式尘封着。关于接着发生的微积分发明权应该归功于哪一位的争论，已有很多著述，而且这并不是一个动听的故事。上百年来，现代学者们终于抹去了国家和个人的感情因素，认定牛顿和莱布尼茨各自独立创建了微积分。像水到渠成的一种观念的产生一样，微积分到了“呼之欲出”的时刻，只是需要极端敏锐的和总揽其成的思想将它变成现实。牛顿恰恰具有这种思想。
毫无疑问，莱布尼茨也具有这种思想。在1672年，他到巴黎担任外交官之前，莱布尼茨还是一个被认为对“阅读冗长的数学证明”缺乏耐心的新手。他不满足于自己的知识，花费时间填补缺口，大量阅读令人敬仰的数学家们的著作，远至古代的欧几里得(公元前3世纪前后)，近至他那个时代的帕斯卡(1623—1662)、巴罗以及他一度师从的克里斯琴·惠更斯(1629—1695)。开始的时候困难重重，但是莱布尼茨坚持了下来。他后来回忆说，尽管他还有很多不足，但是“不知从哪里来的．自信让我坚信，只要努力我就可以成为他们中的一员”。
莱布尼茨取得的成功是激动人心的。他在一段回忆文章中写道，他很快就“作好进行独立研究的准备，因为我阅读数学文献就如同别人阅读浪漫的小说一样轻松”。在几乎是狼吞虎咽地吸收同时代的人的成果之后，莱布尼茨把他们远远地抛在后面，创造了微积分，从而使他在数学上赢得名垂青史的业绩。
P24-26
伟大的思想家恩格斯曾经精辟地指出：“在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看成人类精神的最高胜利了。”20世纪最著名的数学家之一冯·诺伊曼称“微积分是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样估计也是不会过分的。”
微积分的思想可以追溯到久远的古代，从两千多年前一直到中世纪，东西方不断有人试图用某种分割的策略解决像计算面积和求切线这样的问题。但是，这种方法必须面对如何分割和分割到什么程度的问题，也就是人们后来才意识到的难以捉摸的“无穷小”量和“极限”过程的问题。人们经历了漫长的岁月也终究未能取得突破。最后，牛顿和莱布尼茨这两位先驱在前人工作的基础上创立了微分法和积分法，并且发现它们是一种对立统一的方法(这种对立统一表现为微积分“基本定理”)，再经伯努利兄弟和欧拉的改进、扩展和提高，上升到了分析学的高度。早期的微积分由于缺乏可靠的基础，很快陷入深重的危机之中。随后登上历史舞台的数学大师柯西、黎曼、刘维尔和魏尔斯特拉斯挽危难于既倒，赋予了微积分特别的严格性和精确性。然而，随着应用的扩大和深化，各种复杂和深奥的问题层出不穷，不断在分析学界引起混乱，导致微积分再度走向危机。到这时，数学家们才发现，严格性与精确性其实只解决了逻辑推理本身这个基础问题，而逻辑推理所依存的理论基础才是更根本也更难解决的问题。最终，当现代数学天才康托尔、沃尔泰拉、贝尔和勒贝格把严格性与精确性同集合论与艰深的实数理论结合起来以后，创建微积分的过程才终于到达终点。
本书把建立微积分的崎岖历程中发生的重大事件和出现的杰出人物，一一展现在读者面前。不过，作者的意图不在于单纯地叙述历史，也不在于讲解微积分知识和描绘数学家的传奇故事，而是要展现创建微积分的过程中的思想，揭示曲折的过程和最终的结果之间的必然联系，不仅让读者领略到大师们所取得的那些不可企及的成就，更让读者体会到他们付出的艰辛劳动。
作者William Dunham教授是知名的数学图书作家，写过不少优秀的高端数学科学读物，曾经荣获很多重要奖项。
在本书翻译中，我们力求减少差错和保持原书格调，但是限于我们自身的专业修养和文字水平，加上书中涉及大量史料和多种文字的引文，疏误之处在所难免，不当之处，敬请读者指正。
本书介绍了十多位优秀的数学家：牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、欧拉、柯西、黎曼、刘维尔、魏尔斯特拉斯、康托尔、沃尔泰拉、贝尔、勒贝格。然而，这不是一本数学家的传记，而是一座展示微积分宏伟画卷的陈列室。作者选择介绍了历史上的若干杰作(重要定理)，优雅地呈现了微积分从创建到完善的漫长、曲折的过程。
本书兼具趣味性和学术性，对基础知识的要求很低，可作为本科生、研究生和数学工作者的微积分补充读物，更是数学爱好者的佳肴。
“微积分”这一名称最早出现在哪本书中？第一本微积分教科书又是谁人所写？微积分究竟是谁人发明的？著名的洛必达法则居然是伯努利的研究成果？谁被誉为“分析学的化身”？谁又被誉为“现代分析学之父”？哪些数学天才使微积分的创建过程终于画上完美的句号？……本书将带你一一探究上述问题。
本书宛如一座陈列室，汇聚了十多位数学大师的杰作，当你徜徉其中时会对人类的想象力惊叹不已，当你离去时必然满怀对天才们的钦佩感激之情。作者同读者一起分享了分析学历史中为人景仰的理论成果。书中的每一个结果，从牛顿的正弦函数的推导。到伽玛函数的表示，再到贝尔的分类定理，无一不处于各个时代的研究前沿，至今还闪烁着耀眼夺目的光芒。
本书文风典雅，文笔优美，兼具趣味性和学术性。对于中学生75A大学师生，都是极为难得的课外读物。
