本书与其他同类教材相比的特点在于以下几个方面。考虑到广义函数理论的抽象性和本科阶段学习的特点，我们主要以一个空间变量的情形来介绍Fourier变换方法和广义函数理论。我们首先选择速降函数空间作为基本空间来引入经典的Foreier变换，因为Fourier变换及其逆变换都是这个空间上的线性、连续的可逆交换，而且对于各种基本运算，如线性运算、卷积运算、微分运算等，都是封闭的。在这个空间上引入Fourier变换还在于没有脱离常义函数的框架但又易于推广到广义函数空间，这样就便于由浅入深地教学。特别地，我们先通过速降函数类和缓增函数类的对偶性质介绍了初值为初等函数的cauchy问题的解法，从而很自然地借助广义函数引入了初等函数的Fourier变换。

本书用数学分析和实变函数知识来讲解典型的数学物理方程理论。选材少而精，在介绍经典理论的同时，融入了偏微分方程的现代理论。内容安排由浅入深，循序渐进。

全书共分为四章，重点论述偏微分方程中典型方程的求解方法、广义函数空间上的Fourier变换方法和古典解性质，此外对于偏微分方程的弱解理论也给予了初步介绍。每章还配置了许多富有启发性的习题。

本书可作为高等学校数学类专业以及物理学、金融数学等相关学科的本科生教材或教学参考书，也可供在实际工作中需要利用偏微分方程基础知识的科研人员参考。

第一章 经典解法

 §1 二阶线性偏微分方程及其定解问题

1.1 典型的二阶线性偏微分方程

1.2 定解问题

1.3 解的空间与定解问题的适定性

 §2 分离变量法

2.1 第一初边值问题

2.2 第二初边值问题

2.3 第三初边值问题

2.4 Poisson方程的边值问题

 §3 行波法

3.1 齐次波动方程Cauchy问题

3.2 非齐次波动方程Cauchy问题

 §4 其他解法

4.1 幂级数解法

4.2 相似解解法

 习题

第二章 Fourier变换方法与广义函数初步

 §1 基本空间

1.1 连续函数空间

1.2 ξ(R)，D(瓞)和Φ(R)空间

 §2 速降函数空间上的Fourier变换方法

2.1 Φ(R)上Fourier变换的定义与性质

2.2 在速降函数空间中求解热传导方程

2.3 在缓增函数空间中求解热传导方程

 §3 LP空间与磨光算子

3.1 LP空间

3.2 磨光算子及其基本性质

3.3 LP函数的光滑逼近

3.4 变分学基本引理

 §4 广义函数

4.1 广义函数的定义

4.2 广义函数的判定

4.3 广义函数的运算

4.4 广义函数的极限

4.5 广义函数的磨光

4.6 局部可积函数的广义导数及其基本性质

4.7 广义函数的广义导数

 §5 广义函数空间上的Fourier变换方法

5.1 φ'(R)上Fourier变换的定义与性质

5.2 φ'(R)上的：Fourier变换方法

 §6 φ(RN)与φ'(RN)上的Follrier变换

6.1 φ(RN)上Fourier变换的定义与性质

6.2 φ'(RN)上Fourier变换的定义与性质

6.3 求解高维偏微分方程定解问题的Fourier变换方法

 习题

第三章 L2理论

51 H6lder空间和H1空间

1.1 Holder空间

1.2 H1空间

1.3 一维H1空间的性质

 §2 Poisson方程的L2理论

2.1 弱解的定义

2.2 与弱解相应的泛函的极值元

2.3 泛函极值元的存在性

2.4 弱解的存在唯一性

2.5 弱解的正则性

 §3 Laplace方程的基本解和Green函数及其应用

3.1 Laplace方程的基本解

3.2 Green函数及其基本性质

3.3 Green函数的存在性

3.4 Green函数法

 §4 热传导方程的L2理论和基本解理论

4.1 热传导方程的L2理论

4.2 热传导方程的基本解

 习题

第四章 古典解的性质

 §1 Poisson方程

1.1 弱极值原理

1.2 强极值原理

1.3 能量估计

 §2 热传导方程

2.1 极值原理

2.2 能量估计

 §3 弦振动方程

3.1 有界区间上的初边值问题

3.2 实数轴上的初值问题

3.3 半实数轴上的初边值问题

 习题

参考文献