本书共分十章，主要介绍了概率论和随机过程的一些预备知识，广义O-U过程与随机微分方程，随机吸引子，随机非线性Schrodinger方程，随机KdV方程，大气海洋模型及其随机动力系统，随机微分方程在金融中的应用等内容。本书可供大学数学专业、应用数学专业和计算数学专业的高年级学生、研究生、教师以及相关的科技工作者阅读参考。

本书共分10章， 主要内容涉及几类重要的随机偏微分方程及其随机动力系统。前3章着重介绍概率论以及随机过程中的一些预备知识，包括Ito随机积分理论；从第4章开始，主要讨论由布朗运动以及Lévy过程驱动的随机非线性偏微分方程。本书详细介绍了这些随机偏微分方程的解的存在性理论及其长时间行为，如随机整体吸引子及其Hausdorff维数估计等理论，涵盖了这些方程的一些前沿结果以及作者研究的最新成果。

本书可供大学数学专业、应用数学专业和计算数学专业的高年级学生、研究生、教师以及相关的科技工作者阅读参考。

第1章 概率论和随机过程的一些预备知识1

 1.1 概率论的预备知识1

1.1.1 概率空间1

1.1.2 随机变量及其概率分布4

1.1.3 随机变量的数字特征6

 1.2 随机过程的预备知识10

1.2.1 Markov过程13

1.2.2 遍历论的基本知识18

 1.3 鞅21

 1.4 Wiener过程和布朗运动29

 1.5 Poisson过程36

 1.6 Lévy过程40

1.6.1 特征函数和无穷可分性40

1.6.2 Lévy过程概述42

1.6.3 Lévy-Ito分解43

 1.7 分数阶布朗运动46

第2章 随机积分及Ito公式48

 2.1 随机积分48

2.1.1 Ito积分49

2.1.2 一般情形的随机积分55

 2.2 Ito公式58

 2.3 无穷维情形63

2.3.1 Q-Wiener过程及其随机积分63

2.3.2 随机积分的性质及Ito公式70

 2.4 核算子以及Hilbert-Schmidt算子74

第3章 广义O-U过程与随机微分方程77

 3.1 广义O-U过程77

 3.2 线性随机微分方程82

 3.3 非线性随机微分方程89

第4章 随机吸引子94

 4.1 确定的非自治系统94

 4.2 随机动力系统96

 4.3 在随机发展方程中的应用99

4.3.1 具有可加噪声的Navier-Stokes方程100

4.3.2 白噪声驱动的Burgers方程104

4.3.3 随机非线性波动方程107

 4.4 Ginzburg-Landau方程及其随机动力系统112

4.4.1 随机吸引子的存在性114

4.4.2 随机吸引子的Hausdorff维数117

4.4.3 随机广义Ginzburg-Landau方程的一些结果121

第5章 随机非线性Schrodinger方程123

 5.1 L2理论123

5.1.1 逼近方程126

5.1.2 定理的证明131

 5.2 H1理论136

5.2.1 可加噪声情形138

5.2.2 乘积噪声情形145

第6章 随机KdV方程152

 6.1 准备工作152

 6.2 可加噪声情形155

6.2.1 线性方程156

6.2.2 非线性方程165

 6.3 乘积噪声情形168

 6.4 随机KdV方程的吸引子172

6.4.1 解的存在性173

6.4.2 弱紧集的存在性及主要结果175

 6.5 随机KdV-BO方程181

6.5.1 随机KdV-BO方程解的存在性181

6.5.2 弱阻尼随机KdV-BO方程解的长时间行为194

第7章 Lévy过程驱动的随机偏微分方程203

 7.1 Poisson白噪声驱动的随机抛物方程203

7.1.1 主要结论205

7.1.2 定理的证明206

 7.2 Lévy噪声驱动的随机抛物方程213

7.2.1 估计215

7.2.2 存在性的证明221

第8章 大气海洋模型及其随机动力系统223

 8.1 模型的提出223

 8.2 解的存在唯一性224

8.2.1 局部存在性225

8.2.2 整体存在性227

 8.3 随机吸引子的存在性229

8.3.1 问题(P2)的解的存在唯一性以及正则性229

8.3.2 在L2(D)中的耗散性质232

第9章 随机LandauLifshitz方程234

 9.1 问题的提出与随机积分234

9.1.1 方程的提出234

9.1.2 Strotonovich积分235

 9.2 SLL方程的整体弱解236

 9.3 光滑解的整体存在性239

9.3.1 ε>0时的局部解239

9.3.2 先验估计与整体解242

 9.4 方程(SLLε-1)和(SLLε-2)的等价性248

第10章 随机微分方程在金融中的应用249

 10.1 一些基本概念及其模型249

 10.2 Girsanov定理252

 10.3 期权定价模型255

10.3.1 欧式期权255

10.3.2 美式期权263

10.3.3 亚洲期权267

 10.4 一类倒向随机微分方程268

参考文献271