本书介绍蜚声世界的我国三大古典智力游戏，即七巧板、九连环和华容道。对这三个游戏的起源、发展和演变有详尽的叙述和考证，重点讨论其中的数学问题，如七巧板能构成多少凸多边形，九连环状态与格雷码的对应，解华容道的网络图等。本书题材广泛，材料丰富、翔实，文笔流畅，内容生动、有趣、有益，读来引人入胜。本书适于有高中及高中以上文化程度的各阶层、各年龄段人群阅读。

数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。就《好玩的数学》丛书而言，不同的读者也会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛，启迪学生心智；可以作为学生课外读物，有助于开阔眼界，增长知识、锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学生，研究生甚至数学研究工作者，也会开卷有益。本书是《好玩的数学》丛书中的一册，介绍蜚声世界的我国三大古典智力游戏，即七巧板、九连环和华容道。

编者的话

第一版总序

第二版前言

第一版前言

第一部分 千姿百态七巧板

1 七巧板简史

 1.1 宋黄伯思的燕几图

 1.2 明严澄的“蝶翅几”

 1.3 七巧板的问世

 1.4 童叶庚的益智图

2 七巧板的制作

 2.1 基于一个正方形底板制作七巧板

 2.2 基于两个正方形底板制作七巧板

 2.3 七巧板无穷奥妙的数学基础

3 七巧板数学

 3.1 七巧板能构成多少凸多边形

 3.2 对13个凸多边形的讨论

 3.3 七巧板能构成多少五边形

 3.4 七巧图的边数

 3.5 七巧图扩展成凸多边形的面积

 3.6 孪生七巧图

 3.7 七巧图中的空洞

 3.8 七巧板的几何变换

 3.9 七巧板悖论

4 七巧板游戏

 4.1 单人拼图造型

 4.2 七巧图变换

 4.3 增减正规七巧图边数游戏

 4.4 “SlidingTangram”游戏

5 七巧板妙用

 5.1 七巧板用于演示数学定理

 5.2 七巧板用于幼儿教育

 5.3 七巧板用于智力测验

 5.4 七巧板用于商业活动

 5.5 七巧板用作传递信息的工具

 5.6 七巧板为北京申奥成功出力

6 外国七巧板

 6.1 阿基米德的“小盒子”

 6.2 日本的七巧板

 6.3 德国的“多巧板”

 6.4 萨姆·洛伊德和杜德尼对七巧板的贡献

7 七巧板从平面到立体

 7.1 立体七巧板的起源

 7.2 立体七巧板中的数学

 7.3 立体六巧板及其他

第二部分 九连环和华容道

8 千变万化九连环

 8.1 九连环简史

 8.2 九连环的组成与结构

 8.3 九连环的基本操作

 8.4 九连环的解法

 8.5 对九连环解法的分析

 8.6 九连环与格雷码

 8.7 千变万化的九连环

 8.8 九连环的应用

9 不可思议的华容道

 9.1 华容道游戏的来历之谜

 9.2 掌握华容道游戏的规律

 9.3 华容道典型布局——横刀立马解法详析

 9.4 华容道的开局式

 9.5 解华容道的网络图

 9.6 华容道在国外

 9.7 国外的“华容道”

附录一 七巧图参考拼法

附录二 一横类华容道的网络图

参考文献

七巧板是中国最古老的智力玩具之一，相传已有数千年的历史，在全国各地、各民族中都广泛流行。在北京地区就流传着有关七巧板的这样一首歌谣：

七巧板，真好玩，

姑娘小子都喜欢。

正方形，三角形，

七块小板拼图案。

摆只鸡，摆条鱼，

摆只蝴蝶舞翩跹。

摆小桥，摆帆船，

摆朵荷花浮水面。

随心所欲翻花样，

动手动脑乐无边。

是的，由一个正方形，五个三角形，一个平行四边形组成的七个小纸片(或者小木片、塑料片……)，不但可以摆出千姿百态的男女老幼、飞禽走兽、鱼鸟花虫、山水草木、楼台亭阁……令人趣味无穷，而且其中还蕴含着许多有趣的数学问题，使人神往。相比之下，目前商场中出售的价格不菲的种种拼图玩具，虽然有成百上千块不规则的小图板，但它的最终目标只有一个：拼出一幅固定的平面图画。除了需要耐心，用以消磨时光以外，它哪能像七巧板这样，仅凭七个规则的图板，就能给游戏者以充分发挥想像力和创造力的空间，在享受无穷乐趣中又锻炼了智力呢?这里，我们首先给出七巧板的人物造型，共108幅，见图0—1，我们就称之为“七巧板108将全图”吧。它们不但表现出了多姿多态、各具个性的人物，甚至还能区分出男性、女性。七个简简单单的几何图形的纸片，竟然有如此丰富的表现力，恐怕对绝大多数人来说都是大出意料的。

七巧板简史

由于古代文献中缺乏必要的记载，因此，七巧板是我们的哪位老祖宗在什么时候发明的已不可考。在笔者见到的资料中，只有坂垠严夫的《世界益智发明精选》 (汉译本由台北故乡出版有限公司出版，1989)明确说它是1800年发明的，但没有给出依据。在《中国大百科全书》中，对七巧板的来历有如下一段简短的介绍：

“七巧板由宋代的燕(宴)几图演变而来。黄伯思撰《燕几图》。明代严澄著《蝶几谱》将方形案几改为三角形，用13张三角形的案几合为蝶翅形，称为蝶翅几，也可拼出各种图形。清初始有七巧板。嘉庆(1796—1820)养拙居士著《七巧图》刊行，使之流传。”

由党海政主编的《休闲娱乐百科全书》 (中国广播电视出版社，2000)支持了上述七巧板由燕几图发展而来的说法。看来，在没有考古新发现之前，我们只能接受专家们的这一观点。那么，什么是燕几图呢？

1.1 宋黄伯思的燕几图

古时“燕”、“宴”相通，因此所谓“燕几”也就是“宴几”，即宴请宾客的案几，创始人是黄伯思。在邓广铭、程应僇主编的《中国历史大辞典(宋史卷)》(上海辞书出版社，1984)中，对黄伯思有如下介绍：

“黄伯思(1079—1118)邵武(今属福建)人，字长睿，别字霄宾，又号云林子。元符进士。历通州司户、河南府户曹参军，有吏干。天资敏悟，好古文奇字。洛下公卿家古器款识，均能辨认是非，遂以古文名家。曾纠正王著所辑之续正法帖，成《刊误》二卷。各体书法，皆至妙绝。片纸只字，为人所宝。迁校书郎，又迁秘书郎，得睹册府藏书，学问大进，著有《东观余论》、《法帖刊误》等。”  从以上介绍看来，黄伯思在当时是名气不小的文人和大书法家。他首先设计了由6件长方形案几组成的“燕几”，6件案几可分可合，自称“纵横离合变态无穷”。设宴招待宾客时，视人数多少和菜肴丰约而设几，因以六为度故又名“骰子桌”。燕几除用于宴席外，又可以陈设古玩、书籍，成为“无施而不宜”的器具。黄的朋友宣谷卿十分欣赏燕几，并建议增设一小几，以增加变化，因此改名为“七星”。黄伯思最后编定《燕几图》刊行，见图1-1。

黄伯思在《燕几图》中首先明确制定了燕几的形制，即(1米=3尺，1尺=10寸，1寸：10分)：

长卓一样二只，纵长七尺，可坐四人；横广一尺七寸五分，脚高二尺八寸。

中卓一样二只，纵长五尺二寸五分，可坐三人；横广并脚同前。

小卓一样三只，纵长三尺五寸，可坐二人；横广并脚同前。

由此可见，在长、中、小三种案几的尺寸之间有如下关系：

(1)几宽1.75尺是大几长度的1/4，中几长度的1/3，小几长度的1/2。

(2)中几长度为大几长度减去宽度。

(3)小几长度为中几长度减去宽度，且恰为大几长度之半。

由于有以上尺寸关系，利用这些案几就可以排列组合出种种不同的形状来。黄伯思将图形分为20类(他称之为“体”)，40种(他称之为“名”)，并“因体定名，因名取义”，详细记载于《燕几图》中。例如第八体第三种他名之为“瑶池”，见图1.2，实际上是用2条大几和2条中几围成一个正方形。对这种制式用于什么场合，黄伯思写道：“虚中以顿烛台、香几，冬以顿炉，赏花以顿饼斛。”意思是说，中间空出来的地方可以放烛台、香几，点香、点烛，冬天则可以放火炉，赏花的时候则可以放盛饼的器具。你看，这是设计得多么舒适、幽雅的环境，无怪他取名为瑶池了。其他各种形制也都有很有诗意的名称，如把7个案几拼合在一起的各种长方形称为“三函”、“屏山”、“回文”等等；取6件拼排的名为“磬矩”、“千斯”、“一厨”、“朵云”等；取5件拼排的有“扬旗”、“小万”、“垂箔”等。凡此种种无不凝聚着设计者的智慧和独具匠心，既非常实用，又充满着审美情趣，为拼图玩具开了先河。P1-10

2002年8月在北京举行国际数学家大会(ICM2002)期间，91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。

数学真的好玩吗？不同的人可能有不同的看法。

有人会说，陈省身先生认为数学好玩，因为他是数学大师，他懂数学的奥妙。对于我们凡夫俗子来说，数学枯燥，数学难懂，数学一点也不好玩。

其实，陈省身从十几岁就觉得数学好玩。正因为觉得数学好玩，才兴致勃勃地玩个不停，才玩成了数学大师。并不是成了大师才说好玩。

所以，小孩子也可能觉得数学好玩。

当然，中学生或小学生能够体会到的数学好玩，和数学家所感受到的数学好玩，是有所不同的。好比象棋，刚入门的棋手觉得有趣，国手大师也觉得有趣，但对于具体一步棋的奥妙和其中的趣味，理解的程度却大不相同。

世界上好玩的事物，很多要有了感受体验才能食髓知味。有酒仙之称的诗人李白写道：“但得此中味，勿为醒者传”，不喝酒的人是很难理解酒中乐趣的。

但数学与酒不同。数学无所不在。每个人或多或少地要用到数学，要接触数学，或多或少地能理解一些数学。

早在2000多年前，人们就认识到数的重要。中国古代哲学家老子在·《道德经》中说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”古希腊毕达哥拉斯学派的思想家菲洛劳斯说得更加确定有力：“庞大、万能和完美无缺是数字的力量所在，它是人类生活的开始和主宰者，是一切事物的参与者。没有数字，一切都是混乱和黑暗的。”

既然数是一切事物的参与者，数学当然就无所不在了。

在很多有趣的活动中，数学是幕后的策划者，是游戏规则的制定者。

玩七巧板，玩九连环，玩华容道，不少人玩起来乐而不倦。玩的人不一定知道，所玩的其实是数学。这套丛书里，吴鹤龄先生编著的《七巧板、九连环和华容道——中国古典智力游戏三绝》一书，讲了这些智力游戏中蕴含的数学问题和数学道理，说古论今，引人入胜。丛书编者应读者要求，还收入了吴先生的另一本备受大家欢迎的《幻方及其他——娱乐数学经典名题》，该书题材广泛、内容有趣，能使人在游戏中启迪思想、开阔视野，锻炼思维能力。丛书的其他各册，内容也时有涉及数学游戏。游戏就是玩。把数学游戏作为丛书的重要部分，是“好玩的数学”题中应有之义。

数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。比如，以数学家欧拉命名的一个公式

e2πi=1这里指数中用到的π，就是大家熟悉的圆周率，即圆的周长和直径的比值，它是数学中最重要的一个常数。数学中第2个重要的常数，就是上面等式中左端出现的e，它也是一个无理数，是自然对数的底，近似值为2.718281828459…。指数中用到的另一个数i，就是虚数单位，它的平方等于-1。谁能想到，这3个出身大不相同的数，能被这样一个简洁的等式联系在一起呢？丛书中，陈仁政老师编著的《说不尽的π》和《不可思议的e》，分别详尽地说明了这两个奇妙的数的来历、有关的轶事趣谈和人类认识它们的漫长的过程。其材料的丰富详尽，论述的清楚确切，在我所知的中外有关书籍中，无出其右者。

如果你对上面等式中的虚数i的来历有兴趣，不妨翻一翻王树禾教授为本丛书所写的《数学演义》的“第十五回 三次方程闹剧获得公式解 神医卡丹内疚难舍诡辩量”。这本章回体的数学史读物，可谓通而不俗、深入浅出。王树禾教授把数学史上的大事趣事憾事，像说评书一样，向我们娓娓道来，使我们时而惊讶、时而叹息、时而感奋，引来无穷怀念遐想。数学好玩，人类探索数学的曲折故事何尝不好玩呢？光看看这本书的对联形式的四十回的标题，就够过把瘾了。王教授还为丛书写了一本《数学聊斋》，把现代数学和经典数学中许多看似古怪而实则富有思想哲理的内容，像《聊斋》讲鬼说狐一样最大限度地大众化，努力使读者不但“知其然”而且“知其所以然”。在这里，数学的好玩，已经到了相当高雅的层次了。

谈祥柏先生是几代数学爱好者都熟悉的老科普作家，大量的数学科普作品早已脍炙人口。他为丛书所写的《乐在其中的数学》，很可能是他的封笔之作。此书吸取了美国著名数学科普大师加德纳25年中作品的精华，结合中国国情精心改编，内容新颖、风格多变、雅俗共赏。相信读者看了必能乐在其中。

易南轩老师所写的《数学美拾趣》一书，自2002年初版以来，获得读者广泛好评。该书以流畅的文笔，围绕一些有趣的数学内容进行了纵横知识面的联系与扩展，足以开阔眼界、拓广思维。读者群中有理科和文科的师生，不但有数学爱好者，也有文学艺术的爱好者。该书出版不久即脱销，有一些读者索书而未能如愿。这次作者在原书基础上进行了较大的修订和补充，列入丛书，希望能满足这些读者的心愿。

世界上有些事物的变化，有确定的因果关系。但也有着大量的随机现象。一局象棋的胜负得失，一步一步地分析起来，因果关系是清楚的。一盘麻将的输赢，却包含了很多难以预料的偶然因素，即随机性。有趣的是，数学不但长于表达处理确定的因果关系，而且也能表达处理被偶然因素支配的随机现象，从偶然中发现规律。孙荣恒先生的《趣味随机问题》一书，向我们展示出概率论、数理统计、随机过程这些数学分支中许多好玩的、有用的和新颖的问题。其中既有经典趣题，如赌徒输光定理，也有近年来发展的新的方法。

中国古代数学，体现出算法化的优秀数学思想，曾一度辉煌。回顾一下中国古算中的名题趣事，有助于了解历史文化，振奋民族精神，学习逻辑分析方法，发展空间想像能力。郁祖权先生为丛书所著的《中国古算解趣》，诗、词、书、画、数五术俱有，以通俗艺术的形式介绍韩信点兵、苏武牧羊、李白沽酒等40余个中国古算名题；以题说法，讲解我国古代很有影响的一些数学方法；以法传知，叙述这些算法的历史背景和实际应用，并对相关的中算典籍、著名数学家的生平及其贡献做了简要介绍，的确是青少年的好读物。

读一读《好玩的数学》，玩一玩数学，是消闲娱乐，又是学习思考。有些看来已经解决的小问题，再多想想，往往有“柳暗花明又一村”的感觉。

举两个例子：

《中国古算解趣》第37节，讲了一个“三翁垂钓”的题目。与此题类似，有个“五猴分桃”的趣题在世界上广泛流传。著名物理学家、诺贝尔奖获得者李政道教授访问中国科学技术大学时，曾用此题考问中国科学技术大学少年班的学生，无人能答。这个问题，据说是由大物理学家狄拉克提出的，许多人尝试着做过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的解法。李政道教授说，著名数理逻辑学家和哲学家怀德海曾用高阶差分方程理论中通解和特解的关系，给出一个巧妙的解法。其实，仔细想想，有一个十分简单有趣的解法，小学生都不难理解。

原题是这样的：5只猴子一起摘了1堆桃子，因为太累了，它们商量决定，先睡一觉再分。

过了不知多久，来了1只猴子，它见别的猴子没来，便将这1堆桃子平均分成5份，结果多了1个，就将多的这个吃了，拿走其中的1堆。又过了不知多久，第2只猴子来了，它不知道有1个同伴已经来过，还以为自己是第1个到的呢，于是将地上的桃子堆起来，平均分成5份，发现也多了1个，同样吃了这1个，拿走其中的1堆。第3只、第4只、第5只猴子都是这样……问这5只猴子至少摘了多少个桃子？第5个猴子走后还剩多少个桃子？

思路和解法：题目难在每次分都多1个桃子，实际上可以理解为少4个，先借给它们4个再分。

好玩的是，桃子尽管多了4个，每个猴子得到的桃子并不会增多，当然也不会减少。这样，每次都刚好均分成5堆，就容易算了。

想得快的一下就看出，桃子增加4个以后，能够被5的5次方整除，所以至少是3125个。把借的4个桃子还了，可知5只猴子至少摘了3121个桃子。

容易算出，最后剩下至少1024—4=1020个桃子。

细细地算，就是：

设这1堆桃子至少有z个，借给它们4个，成为x+4个。

5个猴子分别拿了a，b，c，d，e个桃子(其中包括吃掉的一个)，则可得

a=(x+4)/5

b=4(x+4)/25

c=16(x+4)/125

d=64(x+4)/625

e=256(x+4)/3125

e应为整数，而256不能被5整除，所以(x+4)应是3125的倍数，所以

(x+4)=3125k(k取自然数)

当k=1时，x=3121

答案是，这5个猴子至少摘了3121个桃子。

这种解法，其实就是动力系统研究中常用的相似变换法，也是数学方法论研究中特别看重的“映射一反演”法。小中见大，也是数学好玩之处。

在《说不尽的兀》的5.3节，谈到了祖冲之的密率355/113。这个密率的妙处，在于它的分母不大而精确度很高。在所有分母不超过113的分数当中，和π最接近的就是355/113。不但如此，华罗庚在《数论导引》中用丢番图理论证明，在所有分母不超过336的分数当中，和π最接近的还是355/113。后来，在夏道行教授所著《π和e》一书中，用连分数的方法证明，在所有分母不超过8000的分数当中，和兀最接近的仍然是355/113，大大改进了336这个界限。有趣的是，只用初中里学的不等式的知识，竟能把8000这个界限提高到16500以上！

根据π=3.1415926535897…，可得│355/113—π│<0.00000026677，如果有个分数q/p比355/113更接近丌，一定会有

│355/113一q/p│<2×0.00000026677

也就是

355p一113q i/113p<2×0.00000026677

因为q/p不等于355/113，所以│355p-113q│不是0。但它是正整数，大于或等于1，所以

1/113p<2×0.00000026677由此推出

p>1/(113×2×0.00000026677)>16586

这表明，如果有个分数q/p比355/113更接近π，其分母p一定大于16586，

如此简单初等的推理得到这样好的成绩，可谓鸡刀宰牛。

数学问题的解决，常有“出乎意料之外，在乎情理之中”的情形。

在《数学美拾趣》的22章，提到了“生锈圆规”作图问题，也就是用半径固定的圆规作图的问题。这个问题出现得很早，历史上著名的画家达·芬奇也研究过这个问题。直到20世纪，一些基本的作图，例如已知线段的两端点求作中点的问题(线段可没有给出来)，都没有答案。有些人认为用生锈圆规作中点是不可能的。到了20世纪80年代，在规尺作图问题上从来没有过贡献的中国人，不但解决了中点问题和另一个末解决问题，还意外地证明了从2点出发作图时生锈圆规的能力和普通规尺是等价的。那么，从3点出发作图时生锈圆规的能力又如何呢？这是尚未解决的问颛。

开始提到，数学的好玩有不同的层次和境界。数学大师看到的好玩之处和小学生看到的好玩之处会有所不同。就这套丛书而言，不同的读者也会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛、启迪学生心智；可以作为学生课外读物，有助于开阔眼界、增长知识、锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学生、研究生甚至数学研究工作者，也会开卷有益。数学大师华罗庚提倡“小敌不侮”，上面提到的两个小题目都有名家做过。丛书中这类好玩的小问题比比皆是，说不定有心人还能从中挖出宝矿，有所斩获呢。

罗嗦不少了，打住吧。谨以此序祝《好玩的数学》丛书成功。

张景中2004年9月9日

数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。

数学的好玩有不同的层次和境界。数学大师看到的好玩之处和小学生看到的好玩之处会有所不同。就这套丛书而言，不同的读者也会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛，启迪学生心智；可以作为学生课外读物，有助于开阔眼界，增长知识、锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学生，研究生甚至数学研究工作者，也会开卷有益。

——张景中