数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。数学的好玩有不同的层次和境界。

本书以通俗艺术的形式介绍40余个中国古算名题；讲解我国古代很有影响的一些数学方法，并对相关的中算典籍、著名数学家的生平及其贡献做了简要介绍。不同的读者都会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻。有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛、启迪学生心智。

本书以通俗艺术的形式介绍韩信点兵、苏武牧羊、李白沽酒等40余个中国古算名题；以题说法，讲解我国古代很有影响的一些教学方法，如更相减损法、出入相补法、大衍求一术等；依法传知，叙述这些算法的历史背景和实际应用，并对相关的中算典籍、著名数学家的生平及其贡献给了简要介绍。诗书画文结合，趣味浓厚，对中学、大学师生和数学爱好者有启迪和参考价值。

编者的话

第一版总序

第二版前言

第一版总前言

1 苏武牧羊

 为什么规定十九年七闰

 祖冲之的贡献

2 粒米求程

 积黍起度

3 排鱼求数

 我国古代的计量制度

4 三藏取经

 数的传说

5 洛书释数

 杨辉和他的纵横图

6 竿索求长

 “九九表”自荐的故事

 筹算和珠算

7 方田求积

 《九章算术》

8 凫雁相逢

 刘徽——中国第一代知名数学家

9 书生分卷

 胡术五、黄澍寻访程大位故居

10 以碗知僧

 珠算一代宗师——程大位

11 五渠灌水

 更相减损术

12 三女归宁

 最小公倍数

13 环山相会

 从“三女归宁”到“环山相会”

 五星同会

14 三兵巡营

 求周期

15 船缸均载

 怎样开平方

 怎样记(a+b)n的公式

16 圆田求积

 刘徽割圆

17 系羊问索

 珠算宝典——《算法统宗》

18 推车问里

 祖冲之的“约率”和“密率”

 连分数

19 僧分馒头

 “生金蛋的母鸡”——“今有术”简介

20 客去忘衣

 反比例和连比例

21互易推本

22  诵课倍增

 吴敬与《九章算法比类大全》

23 三等赔偿

 衰分术简介

24 浮屠增级

 我国最早的数学选技赛

25 李白沽酒

 递推公式an+1=can+d的应用

26 群羊逐草

 一次假设法

27 隔墙分银

 盈不足术简介

28 蒲莞同高

 二次假设法

29 双鼠穿垣

 盈不足术的应用与探究

30 雉兔同笼

 我国古代的方程理论

31 物不知数

 从“物不知数”谈起

 《孙子算经》

32 古算摘奇

 二谈“物不知数”

33 韩信点兵

 孙子定理

34 三偷盗米

 “大衍求一术”浅说

35 百鸡问题

 时日醇勤奋治学

 陈景润解“百鸡问题”

36 獐兔鼠歌

 更相减损法和二元一次不定方程

37 三翁垂钓

 五猴分桃

 马克思解不定方程

38 戏放风筝

 刘徽、赵爽证勾股定理

39 葭生中央

 殴几里得证勾股定理

40 竹折抵地

 《张丘建算经》

41 三斜求积

 秦九韶三斜求积与海伦公式

42 窥望海岛

 刘徽的重差法

43 望敌远近

 用矩之道

44 临台测水

 丈量步车

45 遥度圆坡

 王守义和《数书九章新释》

参考文献

凫一般指野鸭。本题说，野鸭从南海飞往北海，需要7天，雁从北海飞往南海需要9天。今二鸟分别从南、北海同时起飞，问多少天后二鸟相逢？

本题虽然简单，在中算书籍里却很典型。它反映了我国数学家处理分数问题时的基本思想方法，这种思想方法叫齐同术。用现代的话说，化异分母为同分母叫同其母，要保持分数值不变，必须齐其分子，齐同以后才可以进行加减运算。为使读者了解古人的解题思想，今引其解法，并略加说明。

术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法而一。

“按此术，置凫七日一至，雁九日一至，齐其至，同其日。定63日凫9至，雁7至。今凫雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同，即得相逢日。”

这段话的意思，用一个数表来表示，即

凫 雁

日[7  9]同其日[63 63]并齐至为共至  [63]

至[1  1]齐其至[9  7]并齐至为共至  [9+7]

即63日相逢16次，故相逢日数为

63/7+9-63/16=3 15/16(日)

刘徽又给出另一解释：凫一日飞全程的1/7。雁一日飞全程的1/9，按同其日齐其至的要求，分别记为9/63和7/63。若把南北的距离设想为飞63天的话，则凫雁共飞9+7=16次，所以相逢日数是

63/16=3 15/16

对于小学生来说，这是一个容易题，常用的方法这里就不介绍了。

数学家

刘徽——中国第一代知名数学家

刘徽(图9-1)是我国魏晋时代的著名数学家。他对数学的巨大贡献和辉煌业绩，史书记载不多，只在《隋书·律历志》上略载：“陈留王四年(263)刘徽注《九章》。”刘徽的生卒年代不详，据李俨先生考据，“其卒年当在晋代”。从刘曾受封为淄乡男和一些其他史料分析，郭书春先生认为，他可能是山东邹平县人。由于他才华出众，成果丰硕，沈康身先生把他列为中国第一代知名数学家。

刘徽为《九章算术》所写序言和注解是一个宝库，从中可以看出他的数学思想、治学态度和教学方法，即使在今天，也值得学习、钻研。他在《九章》序言里说：

“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探颐之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子。虽曰九数，其能穷纤人微，探测无方。至于，以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。”

从这里可以看出，他在深入探索奥秘的过程中，还逐渐领悟其中的道理。刘徽在数学方面的成就可以概括为两个方面：一是清理古代数学体系，完善理论基础；二是推陈出新，取得了一批出色的数学成果。《九章算术》和《欧氏几何》在思维方法上有很大的不同。《九章》强调辩证思维，这里“悟”很重要，只有深入的“悟”，才有最后的“觉”。事物之间，虽然枝叶纷繁，必有主干支撑，一定要削枝强干，彼此类推。“析理以辞，解体用图”是刘徽常用的方法，也是中算的特色，学者不仅要明“形数结合”之理，还要明“寓理于算”之理，把形象思维和逻辑思维结合起来。学数学不能满足于“懂了，会了”的要求，还要不断探索研究。现在开设的研究性课题就是为了发展这方面的能力。  10 书生分卷

毛诗春秋周易书 九十四册共无余 毛诗一册三人读春秋一本四人呼 周易五人读一本 要分每样几多书就见学生多少数 请君布算莫踌躇答曰：《毛诗》四十册，《春秋》三十册，《周易》二十四册。学生一百二十名

选自《算法统宗》

《毛诗》、《春秋》和《周易》是儒家的三部经典著作。《毛诗》相传是西汉毛亨、毛苌所著。《春秋》是编年体的春秋史，相传是孔子根据鲁国史官编的《春秋》加以整理而成。《周易》又称《易经》相传是周人所作。

《毛诗》、《春秋》和《周易》共94本，一群学生共读这些书籍，平均3个人合读《毛诗》一册，4个人合读《春秋》一本，5个人合读《周易》一本。问学生有多少人？三书分别有多少册？

解法1 算术方法

根据题意，平均每个学生可派读《毛诗》1/3本，《春秋》1/4本，《周易》1/5本。就一个学生来说，他派读的册数是

1/3+1/4+1/5=4×5+3×5+3×4/5×3×4＝47/60

已知三种书的总册数为94册，故学生数为

94÷47/60=94×60/47：120(人)

《毛诗》：120÷3=40册；《春秋》：120÷4=30册；《周易》：120÷5=24册。

解法2 一元一次方程

设学生共有x人，则《毛诗》有x/3册，《春秋》有x/4册，《周易》有x/5册，共计

x/3+x/4+x/5=94，47/60x=94

所以  x=120(下略)

名人轶事

胡术五、黄澍寻访程大位故居

程大位虽然是徽州人，但却鲜为人知。我国珠算界的老前辈胡术五一直注意寻访程的故居。

1950年初，政府为了调整皖南区的中等教育结构，将建国前的一所公立中等职业学校及三所私立中学合并成立皖南区屯溪中学。胡术五、黄澍均调入该校任教。胡是黄的老师，到校后，二人便合作进行一些调研。1953年通过学生程某终于在屯光乡前园村找到了程大位的故居，程某就是程大位的后裔。当时程氏祠堂尚未破坏，“隶首薪传”的巨匾高悬堂上。但文物保护还没有提上日程。

20世纪60年代初期，珠算教育受到重视，小学普遍开了珠算课，农村初中为适应当时社会经济发展的需要，也开设了珠算课，有关珠算历史文化的研究，也逐步开展起来，余介石、华印椿诸位先生是积极的倡导者。

1964年四川成都大学教授余介石写信给退休在屯溪的胡术五，希望他调查一下程大位的故居和家族谱系的情况。因为当时有人怀疑程大位的家乡“海阳”是广东的“海阳”，余想查明实据，以正讹传。

余介石先生原籍徽州黟县，与胡术五是同学同乡，都是在东南大学的前身东南高师数学系毕业。抗战时他们合作编写了《复兴中学数学教科书》，合译了《葛、斯、龙三氏微积分》等，在数学教育界享有盛誉。

胡接信后便又邀黄澍等同赴屯溪镇屯光公社调查，找到了程大位的后裔程华先，并在程氏宗祠门前合影留念。查明了程大位乃是徽州休宁(古称海阳，隶属徽州)屯溪镇前园村人，“海阳”之误，缘由于此。

程氏故居算明代建筑，小商人家，比不上徽州的豪门大贾。虽然程氏大祠堂有一点名气，但也破败不堪，是生产队的仓库。明代巨匾“隶首薪传”被压在仓底，由于年代太久，又没有很好保护，四角已经腐朽，“文革”期间被销毁。1986年程大位纪念馆修建以后，由黄澍重书了《隶首薪传》的新匾。与此同时，在程梦周先生的支持下，找到了程氏族谱，查明程氏家族的谱系和后裔，也找到了多种版本的《算法统宗》和《算法纂要》。这样，程大位之谜就彻底解开了。国内外许多杂志相继发表了有关程大位生平的纪念文章。黄澍的《程大位卒年资料》和本书作者的《程大位与明代徽商》相继在日本《珠算史研究》杂志上发表。

在安徽省财政厅和珠算协会的关注下，在中国珠算协会朱希安会长和安徽珠算协会许遵普会长直接指导帮助下，由黄山市政府筹建的“程大位纪念馆”于1986年建成、举行了开馆典礼并召开了“纪念程大位逝世380周年大会”。国内外众多学者云集于此，开展学术研究和交流活动。现在纪念馆已成为珠算学术交流的中心和爱国主义教育基地。P35-41

《好玩的数学》丛书自2004，年10月出版以来，受到社会各界广泛好评，各分册先后重印5～7次，平均发行量近25 000套，是近年来国内图书市场上少见的一套叫好又叫座的科普图书。《好玩的数学》丛书从多个角度展示了数学的“好玩”，将现代数学和经典数学中许多看似古怪、实则富有思想哲理的内容最大限度地大众化，努力使读者“知其然”更“知其所以然”；不仅使读者领略到数学的好玩、数学的美，也让读者从中感悟到数学与文学、数学与艺术、数学与文化的交融、汇合；把数学的好玩提升到了相当高雅的层次，让一般读者也能领略数学的博大精深。丛书于2004年获科学时报杯“科学普及与科学文化最佳丛书奖”，2006年又被国家新闻出版总署列为“向全国青少年推荐的百种优秀图书”之一。

为了满足更广泛的读者的需求，我们组织作者对丛书做了一次修订，凝缩了几部书稿的篇幅，删除了部分难度较大的内容，以保证《好玩的数学(普及版)》的内容更加通俗易懂，且每本书的定价都在20元左右，希望能让更多喜欢这套书的读者朋友读得懂、买得起。

《好玩的数学》丛书出版后，主编张景中院士陆续接到了一些科普作家来信，希望能加入撰稿，有些科普作家还给编辑部寄来了自己的得意之作，于是这次修订便补充进来其中优秀的两种新书(即《进位制与数学游戏》与《古算诗题探源》)。

这套丛书作者的平均年龄超过了70岁，希望在他们的示范和感召下，我国科普事业能新人辈出，创作出更多的优秀作品。

2008年6月

数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。

数学的好玩有不同的层次和境界。数学大师看到的好玩之处和小学生看到的好玩之处会有所不同。就这套丛书而言，不同的读者也会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛，启迪学生心智；可以作为学生课外读物，有助于开阔眼界，增长知识、锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学生，研究生甚至数学研究工作者，也会开卷有益。

——张景中