众所周知，地球和其他行星绕日运行的常识，一直到1609年开普勒行星定律的发现才真相大白。行星漫游于星际的行踪奇特，其理何在？此乃古天文学家的中心议题，也是希腊几何学的量天巨梦，堪称“千古之谜”。理性文明自公元前五六世纪一直到17世纪两千多年的演进与发展，其主轴与重大进展主要在几何、天文、物理；而上述千古之谜则是贯穿全局的主角。

本书以简朴明快的表述，概括了几何、天文、物理这两千年的探索历程与辉煌成就。古希腊几何基础论、开普勒的《新天文学》和牛顿的《自然哲学的数学原理》是理性文明中三个伟大的里程碑。本书的重点在于分别对上述三个重大突破提供简洁易懂的重访，特别是后两者。这对于大学理工科类学生和学有余力的高中生理解理性认知的途径很有裨益，对于培养读者理性解析思维的能力有启蒙和增进作用。

本书以通俗浅显的语言，介绍了从古希腊时代到牛顿时代关于天文学变革的历史，特别突出了开普勒关于行星运行理论的功绩。本书作者试图用初等数学推导再现，开普勒当年如何从第谷等前辈积累下来的浩瀚的天文观察数据中，获得行星运行三大定律的研究过程，同时又解释了牛顿如何从开普勒三大定律导出万有引力定律。

作为通俗的科学知识和科学历史的普及读物，本书对于大学理工科类学生以及学有余力的高中生，了解西方文明和理性思维的发展过程很有裨益，对读者养成理性思维的习惯、学习追求真理的精神有一定的启发作用。

第一章 古希腊几何基础论之浴火重生与连续世界的认知

1.中西定量平面几何之比较分析与希腊几何基础初论

2.希帕克斯的伟大发现——不可公度比的存在

3.欧多克斯之逼近论——几何基础论之震后重建

4.连续性与连续世界的认知

第二章 天文学的发生与内容

1.天文崇拜及神秘性

2.第一个天体模型——欧多克斯的同心球

3.阿利斯塔克对地心说之质疑

4.阿波罗尼斯的本轮一均轮、偏心圆与椭圆

5.古典天文学的奠基者——希帕克斯

6.集古代天文学大成的行星理论——托勒密系统

第三章 科学革命的序曲

1.目的论之宇宙观和文艺复兴

2.新柏拉图主义——数学与实体

3.哥白尼日心说之特质——简单性

4.行星逆行与日心系统之和谐性

5.精致与完善的天文观测者——第谷

6.对圆的迷思与太阳角色的不定性

第四章 开普勒三定律之探索与发现

1.启蒙与时代背景

2.概述行星运行三定律的探索历程

3.地球绕日运行的面积律：迈向新天文学的基础性重大突破

4.千古之谜，真相大白——又见椭圆

第五章 重访行星三定律的探索历程——师法其意、改弦更张、身历其境

1.重访之一：发现地球面积律的简洁途径

2.重访之二：发现地球椭圆律的简洁途径

3.重访之三：水到渠成，顺理成章——行星运行三定律

4.回顾、演练与展望

第六章 天地一体的万有引力定律

1.划时代《原理》一书之定义定律与核心内涵

2.月亮、苹果及抛体运动

3.微积分、几何和运动学的三连星

4.伽利略、笛卡儿与开普勒

5.面积律等同向心力——《原理》的首要命题

6.《原理》中的直接问题与逆问题

第七章 《原理》重要命题的阐述与特质

1.圆周运动的速度向量和面积律的数理分析

2.从面积律和椭圆律到平方反比力律——直接问题

3.平方反比力至椭圆律或圆锥曲线轨道——逆问题

4.球体的吸引力与积分之艺术

结束语

参考文献

感谢

第四章 开普勒三定律之探索与发现

1．启蒙与时代背景

（1）开普勒生平

人类和万物万象共处于其中的太阳系，在无垠的宇宙之中是微不足道的，其渺小程度比之于“沧海一粟”何止兆兆倍！但是对于生活在地球上的人类和万物，太阳系乃是孕育一切的世界，是大自然一个完美的创造与无上的“恩赐”。

自古以来，世代相承致力于大自然的认知与理解的理性文明中，地理和天文所研讨的地球和太阳系当然就是首务之要。如今，众所周知太阳系中除了地球之外，还有行星、行星的卫星、彗星、小行星等，展现着太阳系永恒之舞。但是这个大自然的完美的杰作，却又让身在其中的人类困惑达数千年之久，真所谓“当局者迷”！此事实乃理性文明史中的“千古之谜”！直到文艺复兴，幸有三位科学巨人：哥白尼、第谷和开普勒（J．Kepler，157l一1630，图4—1）世代相承，终于发现了行星运行三定律，此事才得以真相大白！

开创新天文学的主角开普勒出生于当时南德新教区域威尔的一个贫困家庭。幸赖当地的统治者重视教育，奖励学术，开普勒才能凭借着他优秀的成绩，靠奖学金逐步念到大学，就读于新教的学术中心杜宾根大学，甚得该校天文学教授梅思特林（M．Maestlin，1550—1631）的赏识，而他则是一个哥白尼日心论的鼓吹者。当年在天文学上，日心论和根深蒂固的托勒密地心论是学术界争论不休的热门议题。开普勒就曾经以日心论者参加这种辩论会，但是他当时主修的是往后作新教的传教士的学位（也拿着攻读这种学位的奖学金）。也许是“天意”或者是命运的安排，1594—1595年的两件偶发事件使得开普勒踏上毕生致力于天文学的征程，数十年如一日，锲而不舍，百折不挠地探索太阳系的千古之谜。

其一是在1594年，新教区域的格拉兹的一所高中的一位数学老师突然病故，迫切地向当时新教的学术中心杜宾根大学的教授团求助，希望为该校推荐一位能胜任的替补者，大家一致认为青年才俊开普勒是适当人选。因此当年原本想以传教士为职志的开普勒就改行到格拉兹去做数学教师，而在当时，他还得兼教天文课程。

其二是在1595年7月19日的天文课课堂上，他突发异想，发现一个正三角形的内切圆半径和外接圆半径之间的比值，大致等同于当年哥白尼《天体运行论》之中木星和土星的均轮半径之比。此事使得开普勒大为兴奋，进而探讨当年的六个行星（即地球和金星、木星、水星、火星、土星）之轨道大小关系之间的规律何在？对于笃信基督教又是哥白尼学说的鼓吹者，此事着实耐人寻味。当年年少气盛的开普勒还认定整个太阳系乃是天主的杰出创造，所以包括行星个数为什么恰好是6个（当年所知者只有6个，后来又发现了天王星、海王星和冥王星等）也一定有其“道理”，究竟其理何在呢？据开普勒自己的日记，在那些时日的沉思狂想，突然“顿悟”到其中的“奥秘和天意”：为什么行星的个数不多不少，恰恰是6个呢？那是因为立体几何中恰恰有5个正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正廿面体（图4—2）。

而上述立体几何的“5”和行星个数的“6”又有何关联呢？他说他可以清楚地想到6个行星绕日运行的轨道可以看成是位于6个有些厚度的同心球壳之内者，而在它们之间，恰恰可以妥加安置5个不同的正多面体，每个正多面体和其内的球壳外切而和其外者内接。他觉得此事实在太奇妙了！他不但解释了行星个数恰好是6个，而且也确定了上述同心球壳的大小、厚度！年少的开普勒认定这是天主的“启示”（revelation），让他得窥宇宙的奥秘，问题只是在如何妥加配置5个正多面体于6个轨球薄壳之间（可说是一种几何的植树问题）。因此，他狂热地投身于哥白尼天体运行体系之中，6个行星各别的轨道所“属于”的球壳之大小、厚度和正多面体的妥为配置，其结果就是开普勒的处女作《宇宙的奥秘》。

下述图解所展现者，就是他的少年狂想曲的要点。按照他本人的自述，这就是驱策他终其一生，探索太阳系永恒之舞的规律的原动力！也是这位新天文学的创建者的奇妙启蒙（图4—3）。

从西方文明发展史来看，16世纪后半叶到17世纪前半叶，业已是文艺复兴的后期。古希腊文明的硕果，终于熬过了漫长的黯淡岁月，首先在意大利复苏，然后逐渐扩散到欧洲各地的大学，蔚为风尚。经过了近1世纪的播种耕耘，萌芽孕育，业已扎根茁壮，到了开花结果，突飞猛进的时期了。例如我们在下一小节中所要讨论的三位科学巨人哥白尼、第谷、开普勒所完成的世代相承，代数学的新兴到解析几何学的产生，1608年望远镜的发明导致伽利略（G．Galileo，1564—1642）的天象发现，以及伽利略开展的落体实验，都是其中伟大辉煌、影响深远之首要。

（2）科学史上伟大的巨棒三接力：哥白尼、第谷、开普勒

古希腊几何、天文学家们世代相承长达五六个世纪量天、研讨的成果，在托勒密所著的《至大论》中集其大成。其基本架构是以地球为中心，运用均轮、本轮、小本轮的想法，将好几个妥为选用的等速圆运动叠加组合而成者，来描述各行星相对于地球的“视运动”。基本上可以达成天文现象的中期可预测性，而且大体上与实测的方位差约在10’（即1／6度）之内。如今回看，“地心”架构在本质上实乃“迷途”，但是它却盛行千年，奉为天文学的经典，主要是它具有上述可预测性。

总之，在文艺复兴的早期，天文学方面自然就以学习《至大论》为主，但是这种纯几何的描述法，本质上乃是一种将错就错的体系：一来相当繁复，二来也很难用多加小本轮来增进精度。此事往往会愈来愈繁复，事倍而功半，而且也会顾此失彼，因此使得某些有识之士感到有改弦更张的必要。

当年哥白尼在大学求学时，就醉心于天文学，由下述他在《天体运行论》的一段话，可见其志趣：

“最美好的、值得理解者，就是探索宇宙中神奇的运转、星体的运动……，以及天际中其他现象成因的学科。……难道还有什么比起包括一切美好事物的穹苍更加美丽者？”

所以他当然先行苦学《至大论》，但愈学愈见其繁冗，和他向往的美妙穹苍很不相称，因而萌生改弦更张，探求精简的念头。长话短说，当时哥白尼在希腊古籍中读到公元前3世纪阿利斯塔克的“日心论”使他深受启发，拨云见日，豁然开朗。古希腊在天文学上当年被认定为大悖常理而被弃置、冷冻了1700年的种子，终于又在哥白尼的理念和工作中得到文艺复兴，大放异彩，造福人类。这也就是在上一章所介绍的哥白尼《天体运行论》。天文学上走了千年的迷途，终于知返了。

从纯几何的观点来看，“日心论”和原先的“地心论”乃是“原点”选取上的差异，并没有本质性的差别。但是对于理解大自然（此处是太阳系永恒之舞），“日心”还是“地心”乃是天差地别的。唯有正确的原点，才可能展现其精简的规律，所以正确的观点是探索自然规律的至关重要的起步。

且让我们不妨设身处地，设想当年哥白尼有了改用“日心”的新观点之后，他是如何去逐步构造其“日心运行体系”呢？首先，各行星的“视运动”在托勒密体系中业已有相当不错的描述，因此他所要建构的“日心体系”当然也要具有同样的“地一星”视运动。不论是“日心”还是“地心”，我们的天文台只能位于地球之上，所以“地一星”的视运动必然是唯一的实测事物。由此可见，哥白尼当年所要逐步构造的“日心体系”其实是对于原本的托勒密地心体系作庞大的“几何变换”，是一种体系庞大而且艰巨的温故知新，此事一直到1543年，在瑞提克斯（G．Rheticus，1514—1574）的大力协助之下方得以完成其《天体运行论》，而哥白尼直至仙逝之年才得见其印本。

在《天体运行论》中的体系，哥白尼依然采用均轮和本轮的描述法，对此可说还是别无更多新意的老套，所以和日心论的全面贯彻，千古之谜的真正得解，还相去尚远，仍有待第谷、开普勒各穷其毕生之力的巨棒接力，才克竟其功。在此第谷的天文人生和尽其毕生之力所累积的天文宝库，达成了天文巨棒三接力的第二棒。此事一如开普勒的感慨：

“他是神的恩惠，赐予我们一位最勤勉的天文观测家”

当年开普勒当然把他的少年狂想曲《宇宙的奥秘》寄赠给当时的天文学大师第谷，请他指正。想必第谷也只把它看成少年狂一想曲，但是对于这位少年的才气和冲劲则留有深刻印象。而开普勒则一直狂热地要证实他伟大的“猜想”，但是凑来凑去还是不如他所想象那样完美无缺。他当时的想法是：这种缺失不可能在于他伟大的猜想有问题，而是当代对于行星轨道的大小测算有误，需要用更加精确的实测数据去重新计算，他当然知道当时精确的天文宝库乃是第谷所拥有者。总之，第谷和开普勒都逐渐意识到彼此的互补性，携手合作才是能有所进展的迫切需要。由此看来，这两位一老一少、互补互需的天文学家的合作理当是天作之合，但是他们在1600年初到1601年10月24日第谷逝世的共处却远非融洽，所以只能说是天作之遇，冥冥之中，似有天意，要他们达成天文巨棒的交接，其中某些细节难明也无关文明之发展，在此略过不谈。重要的是，第谷毕生累积的天文宝库由旷世奇才开普勒传承，千古之谜得以真相大白，人类的理性文明得以突飞猛进，唯有天意，才可能有此天作之遇和奇突的巨棒交接。

由于第谷的突然逝世，开普勒被任命为皇家数学家，继承第谷的职位和其天文宝库之使用权，从此开普勒运用他超群的几何分析能力探索第谷宝库所蕴含的行星运行规律，艰苦卓绝，百折不馁，廿年有成，终于由第谷的实测数据总结出其所隐含的实验性定律：开普勒行星运动三定律，太阳系永恒之舞，行星运行的千古之谜得以真相大白。开普勒自1596年到1627年所完成重要的天文学著作有：《宇宙的奥秘》、《新天文学》（图4—4）、《哥白尼天文学概要》、《世界之和谐》及《鲁道夫星表》。我们将在下一节，概述他在行星三定律的探索历程中所展现的思想、方法及其主要突破点。

P66-72

纵观理性文明从公元前5世纪到17世纪2 000多年的发展史，其中几何学、天文学和物理学三者紧密相联，而且扮演着其中的主角与主轴。在诸多古文明中，如中国、埃及、巴比伦、希腊、玛雅等，天文、星象一直是令人神往、发人深思者；而且也都注意到天际有五颗与众不同、奇特独行的星体，即金、木、水、火、土五大行星。它们漫游于黄道十二宫，其行踪独特，令人难解其怪。因此这也就自然成为古天文学之中心课题：众说纷纭，百思不得其解的“千古之谜”（参看第二章）。此事一直到整整400年前之1609年开普勒行星运行定律之发现才得以真相大白。可以说，上述千古之谜乃是贯穿几何学、天文学与物理学这2000年研究的核心议题。

自古以来，量天、理解天象一直是研究几何学的主要原动力和向往的崇高目标。古希腊几何学家们，体认到量天在精准上的极高要求，因而这促使他们在定量几何基础论上力求严格、明确：首先他们在长度的度量上提出“可公度性”，但是在其初论中“误判”可公度性是普遍成立的并以此为其头号公设。此事一直到希伯萨斯发现不可公度性之存在才迷途知返；其后希腊几何学界经历了大半世纪的危机、挑战与“炼狱”，才由欧多克斯创逼近论而得以重建其几何基础论，此乃是理性文明史上第一个伟大的基石与里程碑（参看第一章）。如今回顾反思，我们可以认识到几何学是由于天文学的需求而立论严谨，虽经挫折，但终能浴火重建，脱胎换骨，为理性文明奠定了极为基本、重要之几何与分析基础论。

古希腊的几何学大师，如欧多克斯、阿波罗尼斯，也都以“量天”为其志趣；而天文学大师如阿利斯塔克、希帕克斯和托勒密，也都精通几何学（其实，他们可以说都是两栖、双修的几何学、天文学大师）。古希腊文明在天文学上世代相承的成果在托勒密的《至大论》中集其大成。大体上《至大论》乃是一种纯几何的试图对于行星、太阳、月亮的“视运动”作一系统描述，而当年所采用者乃是“地心”体系而不是“日心”体系。如今反思，此事实乃误入歧途。试问当年为什么会误入歧途呢？而且还会在这件事上有长达千年的迷途“不”知返呢？此事着实令人费解！其实，远在公元前3世纪，阿利斯塔克即已提出“日心”之主张，但是因为“日心”说和当时的“物理观”全然相悖而被弃置，一直被冷冻到16世纪才由哥白尼给以“文艺复兴”。大致上，上述迷途千年难返的原因大概可以归结到下述两点：其一是长期以来奉为经典的亚里士多德物理学论述，其实它乃是一种形而上的似是而非之论；其二是托勒密体系对于行星的“视运动”基本上具有相当不错的可预测性[一般约在10’，亦即（1／6度）左右]。这种将错就错，还能把相当复杂的周期平面“视运动”用均轮、本轮、小本轮（亦即多个等速圆周运动之妥加组合）描述得差不离，相当程度地反映着希腊几何天文学家世代相承地钻研行星“视运动”上，用力之深和高度的几何技巧。

但是这种本质上和事实极为不符的“地心”体系，业已到了愈来愈繁复、左支右绌、难以为继的状况。使得有识之天文学家们觉得有改弦更张之必要。及至文艺复兴后期，幸有哥白尼、第谷和开普勒三位天文学大师，各尽其毕生之力完成了天文学巨棒的“三接力”。迷途知返，千古之谜得以真相大白；几何学量天之梦想终于在开普勒的超人奋斗下得以圆满达成。400年前是整个理性文明史上无比辉煌的时刻。开普勒行星运行三大定律是理性文明中第二个光芒万丈的里程碑，它不但全面革新了天文学，也使得物理学迷途知返，全面更新。由开普勒定律，伽利略的重力实验，笛卡儿的解析几何与惯性定律，一直到牛顿的万有引力定律的发现，可以说是水到渠成，顺理成章。由开普勒的新天文学到牛顿的新物理学，起承转合进展之神速，比之于两千年的进化历程，简直可以说是一气呵成！牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》则是理性文明中第三个伟大的里程碑。

千古之谜在几何、天文、物理长达2000年的发展史中，贯穿全局。其间引人入胜、发人深思、富有启发的思想、方法和重大突破比比皆是。我们试写这本小册子，概述其要并且试着让读者能身历共境，重访某些重大突破的精要所在。师法先贤，高山仰止、心向往之。希望此书能有助于有智、有志之青年能够踏着巨人的脚印，迈步奋进，投身于理性文明之世代相承，承先启后，继往开来之长河。