本书简要探讨了数学知识的兴起和作用，并分析了数学学科和物理科学之间的关系说明了数学与引力的奥秘，讨论了相对论和相对性的世界以及希腊人的天文学世界、物质的量子理论等数学界重要的研究课题。以一个数学家的睿智，探讨了自古希腊以来，尤其是自伽利略以来，数学在现代自然科学发展演化中的作用。

本书以一个数学家的睿智，探讨了自古希腊以来，尤其是自伽利略以来，数学在现代自然科学发展演化中的作用。  首章利用现代心理学生理学的错觉实验说明感官知觉之不可靠。其实古希腊人已领悟了这一点，因而求助于数学来研究自然现象成了古希腊的传统，这也是古希腊天文学兴起的原因(第2、3章)。无论是托勒密的地心说还是哥白尼开普勒的日心说，追求数学上的简单和完美成了探求自然知识的动力(第4章)。笛卡儿为科学建立了基于数学的严密方法论，而现代科学之父伽利略，其科学研究纲领的前提则是：自然之书是用数学这门语言撰写的(第5章)。本身就是伟大的数学家的牛顿，其科学巨著就冠以《自然哲学的数学原理》(第6章)。麦克斯韦方程组能揭示人的感官所不能及的电磁世界，充分显示了数学的穿透力(第7章)。20世纪的两项重大科学发现一一相对论和量子论一一其基本物理思想和数学工具之间有着奇妙的对应(第8-10章)。这就引发了这样的问题，数学知识本身又从何而来?数学与物理实在的关系是什么(第11、12章)?  书中没有铺陈数学知识，数学只是像一位垂帘听政的皇后一样若隐若现。因此，想了解古今自然观或科学方法论的人文社会科学研习者可以从中受到启发，而自然科学研习者读此书则可以引发对于其专业领域的反思。而这正是作者所孜孜以求的：在自然科学和人文社会科学之间搭起一座桥梁。

历史概观：外部世界存在吗? …………………1

第1章感官与直觉的失败…………………………21

第2章数学的兴起和作用…………………………39

第3章希腊人的天文学世界………………………53

第4章哥白尼和开普勒的日心说…………………72

第5章数学主导了物理科学………………………92

第6章数学与引力的奥秘 ………………………116

第7章数学和不可感知的电磁世界 ……………137

第8章相对论的序幕 ……………………………161

第9章相对性的世界 ……………………………178

第10章物质的分崩离析：量子理论 ………… 198

第11章数学物理学的实在 …………………… 216

第12章数学为什么奏效 ……………………… 231

第13章数学和大自然的运作 ………………… 252

参考书目 ……………………………………… 273

主编赘语………………………………………… 293

章感官与直觉的失败

感官知觉乃感官迷惑。

笛卡儿

关于外部世界我们能知道什么这个问题，尽管有贝克莱的否认，休谟的限制，以及赫拉克利特、柏拉图、康德和穆勒的保留态度，物理学家和数学家还是相信有一个外部世界存在。他们会论证说，即使人类突然被毁灭，外部的或物理的世界将继续存在。当森林中一棵树轰然倒地，即使无人在场听见，也有声音产生。我们有五种感觉--视觉、听觉、触觉、味觉和嗅觉--每一种都不断地从这外部世界接受信息。不管我们的感觉是否可靠，我们的确是从外部的源头获得信息的。

出于实用的理由，譬如说保持生存或可能改善在外部世界中的生活，关于这个世界我们当然想知道得尽可能地多。我们必须区分陆地和海洋，栽种食物，建筑避身处，保护自己免受野兽之害。为什么我们不能依赖于感官来达到这些目的?原始文明已做到了这一点。然而，正如对于心灵纯洁的人来说世界是P21纯洁的，对于头脑简单的人来说世界是简单的。

为力图改善我们的物质生活，我们被迫扩展关于外部世界的知识。这样我们必然将感官用到极限。不幸的是，对我们来说，感官不仅是有限的而且具有欺骗性。只相信感官甚至可导致灾难。我们来留意一下这些限制。

在五种感觉中，视觉也许是最有价值的。我们先来检验一下在多大程度上我们可依赖于视觉。我们以几个例子开始。多年来，许多具有欺骗性的图形被有意构造出来以显示眼睛的限度。事实上，19世纪的物理学家和天文学家对于视觉错觉非常有兴趣，因为他们担心视觉观察可能靠不住。威尔海姆·冯特(wilhelm Wundt)是著名生理学家、外科医生，而且是科学家赫尔曼·冯·赫尔姆霍兹(Hermann Von Helmholtz，1821-1894)的助手，他设计了图1。尽管竖直线和水平线等长，却会产生前者比后者长的错觉。这种错觉可颠倒过来。在图2中，高度与宽度看起来相等，实际上宽度更大。P22

我们如何获取关于外部世界的知识?人人都不得不依赖于自己的感官知觉——听觉、视觉、触觉、味觉和嗅觉——来进行日常事务并享受某些快感。这些知觉向我们显露关于外部世界 的很多信息，然而总的来说是粗糙的。如笛卡儿所言，感官知觉 乃感官迷惑，此言也许过重了。现代的仪器如望远镜确实大大 扩展了我们的知觉，然而这样的仪器之可用性是有限的。

重大物理现象根本就不是感官知觉到的。感官没有向我们显示地球绕其轴旋转并绕太阳公转，也没显示维持行星绕太阳公转的力之本性。电磁波能使我们收到几百甚至几千英里外发 射的广播和电视节目，而感官对于电磁波本身一无所知。

这本书对于数学的日常应用，如确定一座50层大楼的高度，不多涉及。读者将会悟到感官知觉之限度，不过我们的主要兴趣是，描述仅靠数学手段对于物理世界之实在知道些什么。 我将描述数学对于现代世界的重大现象披露了什么，而不是铺 陈数学知识。诚然，经验和实验在探究自然中也起了作用，不 过，本书将表明，这些手段在许多领域起了次要作用。

在17世纪，布莱泽·帕斯卡尔为人类之无助而悲哀。然而今天我们自己创造的一种极有力的武器——即数学——给予了我们关于物理世界巨大领域的知识并使我们掌握了控制权。大 卫·希尔伯特，现代首屈一指的数学家，1900年在国际数学大 会上的演讲中说道：“数学是一切关于自然现象的严格知识之基础。”我们有充分理由补充说，对于许多重要的现象，数学提供了 我们所能有的唯一的知识。事实上，一些科学分支只是由一套 数学理论组成，并饰以几个物理事实。

与学生在学校里所获得的印象相反，数学不只是一系列技巧。数学向我们显露关于某些我们还未知的，甚至从未臆度过的重要现象，在某些情况下甚至显露与知觉矛盾的道理。它是 我们关于物理世界的知识之精华。它不但超出了知觉之域而且 大大优于知觉。

又读克莱因，依然是那么令人兴奋、激动，恍如20年前，在图书馆的书架下阅读《古今数学思想》时的心境。一直有个宏愿，组织学者把克莱因的主要著作翻译过来，一定会嘉惠数 学教育界乃至整个知识界。能有克莱因的著作通过这套丛书 首次在国内翻译、面世，那么对此丛书的价值我就有起码的自 信。莫里斯·克莱因著作等身，或数学思想史或数学文化或 数学哲学，各有侧重，哪一本都是响当当的“硬通货”，《数学与 知识的探求》也不例外，这本书集中探讨了数学在探求知识方 面的作用。

克莱因认为，数学是人类创造的最有效的工具，但这个工具仍然是不完备的，其作用主要在于探求知识，而探求知识与揭示自然的奥秘、昭示自然界的真面目并非一回事。探求知识是人 类的认知活动，关于自然的知识——科学理论，只是我们对外部 世界的一种认识和解释，并非自然界本身。克莱因为这本书定 名为“数学与知识的探求”(The Mathematics and the Search of Knc)wledge)，是基于他对数学本体的基本立场(可参考《西方文 化中的数学》译者前言)，不能把knowledge与nature、o bject、 physical world等概念相混淆。粗读本书，会习惯性地以为本书 讲述的是数学如何揭示自然奥秘，在克莱因看来，数学是探索知 识的工具，是科学最重要的工具，却不是打开自然大门的钥匙。 区分纯粹数学与应用数学，区分数学与科学这两对概念，也是帮助理解本书所必需的。

这本书说浅也浅，按知识门类的历史顺序叙述，大都是我们熟悉的科学史实，可以当作高级科普读物；说深也深，会引发我们无限的思考，直至哲学的核心问题。如果参读克莱因的另一 本著作《数学：确定性的丧失》，一定会有更大的收获，而且还会 有过山车一般起伏跌宕的阅读快感。不过我要提醒非文科的年 轻学子，有节制有限度地思考可能不是一个糟糕的建议，赛壬的 歌声可能把那些定力不够的人拖离数学之船沉入深不可测的哲 学海底。

发稿前，照例都要填写读者对象一栏。每次都颇费踌躇，这本书是提供给谁读的?谁会读这本书?当然会有预想和期待的对象，理想的是从事基础数学教学的教师和人文学者能够关注 这本书，并推荐给他们的学生。但我知道大家都很忙，没有时间 也没有心情。如果有一个好奇心还没有完全被题海淹没的少年 无意中翻阅到，似懂非懂，却不忍释手，在心智上泛些涟漪，或者 起些激动的波澜，那么也不枉复旦大学出版社费力费时费钱出 这本书，也不枉译者和编辑的辛勤劳动，也不枉费了主编的一番 苦心。

汪 宇

2005年4月21日凌晨于京城宣南

这本书旨在表明： (这些)科学发现主要地一在某些领域中是完全地一依赖于数学。  莫里斯·克莱因是那种很罕见的科学家，他有能力用普通读者能懂的话传播其专业领域的复杂和丰富的知识。在此书中，克莱因考察了作为探索世界之最有力工具的数学之发展。自古希腊时代以来，科学家越来越背离知觉，而趋向于以数学的方式观察引力、电磁波和时空宇宙诸现象。从古希腊的数学开始，继之以伽利略和牛顿等早期现代科学家，随后是20世纪的相对论和量子论，克莱因追踪了作为科学工具的数学之兴起。他探究了我们现存的数学世界，并阐明了其运作方式：这是一门能使我们穿透自然现象之秘密的科学。    出人意外之作。 [数学和物理这]两个领域即使不是神秘莫测的，也常常是晦涩难解、令人困惑的，而……[克莱因]以惊人的明晰举重若轻地阐明了在两个探索领域所取得的非凡洞见和发现。    启迪良多……克莱因博士激赏于知识赖数学之助所获得的进展，写得热情洋溢。……他的成功尤其在于向非专业人士解说了，在探索自然本性中，数学分析之威力、洞察力不可或缺。  --华盛顿时报杂志  几十年以来，克莱因不仅是一位有创造力的数学家，而且是极有天赋的数学阐释者。他的特征是渊博且能深入浅出，这两种特质都表现在《数学与知识的探求》中。这本书精彩地叙述了在探索何为真实的搏斗中，数学、物理学和哲学的竭力合作，这种合作有时甚至近乎血亲结合。  --纽约书评