随着科学技术的发展，数学的应用已扩展到人口、经济、金融、生物、医学等领域，在日常生活和工作中，我们经常会遇到或用到各种模型，如飞机模型、水坝模型等。本书介绍了近百个实际问题的数学模型，内容丰富且具有启发性和实用性。它让你不仅拥有数学知识，更是学会应用数学来解决问题，创造财富。

本书共25章，分为四篇：第一篇讲运筹学模型，第二篇讲微分方程模型，第三篇讲概率统计模型，第四篇讲其他模型。全书介绍了近百个实际问题的数学模型，内容丰富且具有启发性。书中各章后还安排有一定数量的习题，并附有答案，便于读者自学。  本书可供理工科各专业及经济管理有关专业的大学生作为教材或参考书使用，也可供其他科技工作者学习和参考。

第1章数学模型概论…………………………………………………l

1．1数学模型的概念和分类…………………………………………………1

1．2数学建模的方法与步骤…………………………………………………3

1．3数学建模举例……………………………………………………………6

习题1……………………………………………………………………………9

第一篇运筹学模型

第2章线性规划模型…………………………………………………10

2．1拟订生产计划问题……………………………………………………10

2．2运输问题………………………………………………………………12

2．3食谱问题………………………………………………………………13

2．4作物布局问题…………………………………………………………14

2．5配料问题………………………………………………………………15

2．6 LP模型的一般形式与标准形式………………………………………15

2．7 LP模型的几何解释和图解法…………………………………………17

2．8解线性规划的一种常用方法——单纯形法…………………………19

习题2…………………………………………………………………………30

第3章整数规划模型……………………………………………………33

3．1投资决策问题…………………………………………………………33

3．2背包问题………………………………………………………………34

3．3合理下料问题…………………………………………………………34

3．4生产组织与计划问题…………………………………………………35

3．5工厂选址问题…………………………………………………………35

3．6设备购置和安装问题…………………………………………………36

3．7旅行商问题……………………………………………………………37

3．8系统可靠性问题………………………………………………………37

3．9整数线性规划解法概述………………………………………………38

3．10分支定界算法…………………………………………………………40

习题3……………………………………………………………………………45

第4章非线性规划模型………………………………………………………………49

4．1防洪优化问题…………………………………………………………49

4．2森林救火费用最小问题………………………………………………49

4．3曲线拟合问题…………………………………………………………5l

4．4砂石运输问题…………………………………………………………51

4．5抽水费用最小问题……………………………………………………52

4．6 7]k电站群装机容量的优化选择………………………………………53

4．7汽轮机叶片的优化设计………………………………………………54

4．8两杆平面桁架的优化设计……………………………………………55

4．9箱形剖面简支梁的优化设计…………………………………………55

4．10非线性规划问题及其解法简介………………………………………57

习题4……………………………………………………………………………62

 第5章网络模型……………………………………………………65

5．1运输问题………………………………………………………………65

5．2物资转运问题…………………………………………………………67

5．3最短路问题……………………………………………………………68

5．4网络最大流问题………………………………………………………72

5．5网络最小费用流问题…………………………………………………75

习题5…………………………………………………………………………76

 第6章多目标规划模型…………………………………………………78

6．1投资决策问题…………………………………………………………78

6．2光学系统的自动设计…………………………………………………79

6．3生产计划问题…………………………………………………………80

6．4橡胶配方问题…………………………………………………………8l

6．5种植方案的优选………………………………………………………81

  6．6多目标规划的基本概念与解法简介…………………………………82

习题6……………………………………………………………………………86

 第7章 目标规划模型…………………………………………………………88

7．1引言基本概念………………………………………………………88

7．2投资决策问题…………………………………………………………90

7．3物资调运问题…………………………………………………………91

7．4地区工业发展规划研究………………………………………………92

7．5目标规划解法简介……………………………………………………95

习题7……………………………………………………………………………98

 第8章库存模型………………………………………………………100

8．1引言基本概念………………………………………………………100

8．2瞬时送货的确定型库存问题(I)：不允许缺货情况………………………101

8．3非瞬时送货的确定型库存问题………………………………………102

8．4瞬时送货的确定型库存问题(Ⅱ)：允许缺货的情况………………………104

8．5变需求量的确定型库存问题…………………………………………105

习题8…………………………………………………………………………106

第9章对策模型………………………………………………………107

9．1对策现象及基本概念…………………………………………………107

9．2矩阵对策模型……………………………………………………109

9．3最优纯策略……………………………………………………………11I

9．4混合策略对策…………………………………………………………113

习题9 …………………………………………………………………………117

第10章随机规划模型……………………………………………118

10．1专用码头及有关概念简介…………………………………………118

10．2专用码头的最大通过能力问题……………………………………121

10．3车、船在港停留时间最小问题……………………………………122

10．4专用码头造价最小问题……………………………………………122

10．5求随机规划问题最优解的一个算法………………………………123

习题10………………………………………………………………………126

第ll章决策模型…………………………………………………127

11．1决策的概念和分类…………………………………………………127

11．2风险型决策问题……………………………………………………128

11．3不确定型决策问题…………………………………………………132

习题11 ………………………………………………………………………136

第12章投入产出模型…………………………………………………137

12．1投入产出分析的概念………………………………………………137

12．2静态价值型投入产出模型…………………………………………138

12．3动态投入产出模型…………………………………………………141

12．4多目标动态投入产出优化模型……………………………………143

习题12 ………………………………………………………………………145

第13章评价模型…………………………………………………147

13．1模糊综合评价模型…………………………………………………147

13．2 AHP模型……………………………………………………………150

13．3 DEA模型……………………………………………………………155

习题13………………………………………………………………………158

第二篇 微分方程模型

第14章一阶常微分方程模型……………………………………160

14．1 人口模型……………………………………………………………160

14．2新技术推广模型……………………………………………………163

14．3 Horrod—Domer经济增长模型………………………………………164

14，4 Van Meegeren的艺术伪造品………………………………………165

习题14………………………………………………………………………169

 第15章高阶常微分方程和方程组模型…………………………………171

15．1一个宏观经济模型…………………………………………………171

15．2饿狼追兔问题………………………………………………………173

15．3 LancIaester战争模型………………………………………………175

15．4传染病模型…………………………………………………………178

15．5药物动力学的房室模型……………………………………………180

习题15 ………………………………………………………………………182

第16章差分方程模型……………………………………………………184

16．1价格变动模型………………………………………………………184

16．2 Samuelson-Hicks宏观经济模型……………………………………187

16．3 Leslie模型…………………………………………………………189

习题16………………………………………………………………………190

第17章偏微分方程模型…………………………………………191

17．1连续人口发展方程…………………………………………………191

17．2香烟过滤嘴的作用…………………………………………………192

习题17 ………………………………………………………………………197

第三篇 概率统计模型

第18章预测模型……………………………………………………………………198

18．1 ItqJ间序列预测模型…………………………………………………198

18．2线性回归模型………………………………………………………205

习题18………………………………………………………………………213

第19章正交试验设计模型…………………………………………216

19．1试验设计的基本概念………………………………………………216

19．2无交互作用的正交试验设计模型…………………………………216

19．3常用的正交表………………………………………………………221

19．4有交互作用的正交设计模型………………………………………222

习题19 ………………………………………………………………………224

第20章经济计量模型………………………………………………………………226

20．1经济计量模型简介…………………………………………………226

20．2单方程经济计量学模型……………………………………………229

20．3联立方程组模型……………………………………………………235

习题20………………………………………………………………………237

第21章马尔可夫链模型……………………………………………………………238

21．1马尔可夫链模型简介………………………………………………238

21．2市场占有率预测……………………………………………………239

21．3最佳服务地点选择…………………………………………………241

习题21………………………………………………………………………242

第四篇其他模型

第22章神经网络模型………………………………………………………………244

22．1引言…………………………………………………………………244

22．2神经元………………………………………………………………245

22．3人工神经网络……………………………………………………245

22．4人工神经网络的基本功能…………………………………………249

22．5经济预测的神经网络模型…………………………………………250

习题22………………………………………………………………………252

第23章Penna模型………………………………………………253

23．1 Penna模型(无性繁殖机制)………………………………………253

23．2 Penna模型(有性繁殖机制)………………………………………256

23．3无变异时生物群体的演化…………………………………………257

23．4白头叶猴种群的模拟……………………………………………260

习题23………………………………………………………………………262

第24章Sznajd模型……………………………………………………2623

24．1 Sznaid模型…………………………………………………………263

24．2 S,znajlcl模型的扩展与改进…………………………………………265

24．3 S,znajd模型的应用…………………………………………………267

24．4网络上的Szna]’cl模型………………………………………………268

习题24………………………………………………………………………274

第25章MATLAB语言及其应用……………………………………275

25．1 MATLAB语言概述………………………………………………275

25.2 MATL,AB中常用的命令及函数…………………………………277

25．3语言结构……………………………………………………………288

25．4优化工具箱简介……………………………………………………292

习题25………………………………………………………………………301

附录综合练习题…………………………………………………………………………303

参考文献……………………………………………………………………………………312

部分习题答案……………………………………………………………………315

1．2 数学建模的方法与步骤

建立实际问题的数学模型，尤其是建立抽象程度较高的模型是一种创造性的劳动．因此有人把数学建模看成是一种艺术，而不是一种技术．我们不能期望找到一种一成不变的方法来建立各种实际问题的数学模型．现实世界中的实际问题是多种多样的，而且大多比较复杂，所以数学建模的方法也是多种多样的．但是，数学建模方法和过程也有一些共性的东西，掌握这些共同的规律，将有助于数学建模任务的完成．1．2．1对数学模型的一般要求

1．要有足够的精确度，就是要把本质的性质和关系反映进去，把非本质的东西去掉，而又不影响反映现实的本质的真实程度．

2．模型既要精确，又要尽可能的简单．因为太复杂的模型难以求解，而且如果一个简单的模型已经可以使某些实际问题得到满意的解决，那我们就没有必要再来建立一个复杂的模型．因为构造一个复杂的模型并求解它，往往要付出较高的代价．

3．要尽量借鉴已有的标准形式的模型．

4．构造模型的依据要充分，就是说要依据科学规律、经济规律来建立有关的公式和图表，并要注意使用这些规律的条件．1．2．2数学建模的方法 

数学建模的方法按大类来分，大体上可分为三类：

1．机理分析法

机理分析法就是根据人们对现实对象的了解和已有的知识、经验等，分析研究对象中各变量(因素)之间的因果关系，找出反映其内部机理的规律的一类方法．使用这种方法的前提是我们对研究对象的机理应有一定的了解． 2．测试分析法 当我们对研究对象的机理不清楚的时候，可以把研究对象视为一个"黑箱"系统，对系统的输入输出进行观测，并以这些实测数据为基础进行统计分析来建立模型，这样的一类方法称为测试分析法． 3．综合分析法 对于某些实际问题，人们常将上述两种建模方法结合起来使用，例如用机理分析法确定模型结构，再用测试分析法确定其中的参数，这类方法称为综合分析法．……（P3-4）

本书第二版受到广大读者欢迎，被近50所高校选用作为教材或主要参考书，重印之后又很快销售一空，我校和兄弟院校的师生提出了很好的意见，使编者既感到欣慰，更感到责任重大，不能辜负广大读者的期望，尽最大的努力把本书修订好．根据近几年来教学、科研实践和读者的意见，我们对原书第二版进行了认真的修改和增补，主要变动如下：

1．增写了第22～24章三章作为第四篇．

人工神经网络模型的研究和应用是近20年来国内外许多领域关注的一个热点，我们增写了第22章对人工神经网络模型及其应用作了简要介绍．Penna模型和Sznajd模型是近年来生命科学中颇受重视的模型，有广阔的应用前景，贺明峰教授根据自己与合作者的研究成果，增写了第23和24章，对这两类模型作了简要介绍．

2．增写了Matlab语言及其应用(第25章)和综合练习题(附录)．

鉴于学习数学模型、参加数学建模竞赛的同学，都需要在某种程度上学习、掌握和应用某些数学软件，根据我们的教学、科研实践和体会，在本书中，我们增写了第25章，对一种有广泛应用价值又易学、易用的语言--Matlab作了简要介绍，并增写了一个附录，选择了12个有一定难度和实用意义的综合练习题，希望这些努力有助于广大读者更好地学习、掌握数学模型，为参加数学建模竞赛奠定基础．

3．对原书中已发现的错漏和不当之处进行了订正；对部分论述欠佳的章节进行了改写；并增补了部分习题和答案．

本书第三版是在大家的共同努力下完成的．修订和增补工作分工如下：

唐焕文：第1～13章、第18章、第22章、第25章和附录；贺明峰：第14～17章、第23章和第24章；冯恩民：第10章；周东生：第18章、第20章、第21章；冯敬海：第19章；郭崇慧：第12章、第13章；李斌：第25章和附录．

赖炎连教授对本书第三版初稿进行了认真的审阅，提出了很好的修改意见，使本书更适应读者的需要，特在此表示衷心的感谢．

借此机会，作者还要向关心和帮助过本书第三版修订出版的专家和广大读者致谢，特别是李大潜院士、叶其孝、边馥萍、夏尊铨、孙丽华、张立卫等教授和高等教育出版社的多位编辑同志以及编者的多名研究生，没有大家的关心、支持和帮助，本书第三版的出版任务难以如期完成。

由于编者水平有限，虽作了很大努力，但疏漏和不当之处仍难以避免，恳请专家和广大读者继续提出宝贵意见。

唐焕文

2004年6月16日