本书是在中国科学技术大学“高等应用数学”课程讲义的基础上编写而成的，是研究生从事科学研究的入门阅读材料。本书主要介绍应用数学处理问题的思路，回顾大学数学基础并引出渐近分析方法；通过案例介绍应用数学的分析过程；介绍量纲分析和尺度化等数学问题的简化方法；介绍正则摄动、奇异摄动、多尺度摄动等摄动方法；介绍稳定性分析与调和分析方法。
本书可作为理工科专业研究生和高年级本科生的数学教材。

序
前言
第1章 绪论
1.1 应用数学的发展历程
1.1.1 萌芽发展时期
1.1.2 独立发展时期
1.1.3 蓬勃发展时期
1.2 应用数学的本质及其特征
1.2.1 应用数学处理问题的过程
1.2.2 应用数学与纯粹数学的关系
1.2.3 应用数学与自然科学的关系
附录数学公式的写作规范和建议
习题
第2章 数量、函数和方程
2.1 数与量
2.1.1 数的表示与比较
2.1.2 物理量及其量纲
2.1.3 坐标系和相空间
2.1.4 矢量、矩阵、张量及其运算
2.2 函数及其性质
2.2.1 初等函数和特殊函数
2.2.2 函数的极限和极值
2.2.3 函数的展开和拟合
2.2.4 函数的变换和简化
2.2.5 复变函数和解析函数
2.3 方程及其解法
2.3.1 代数方程和超越方程
2.3.2 线性、非线性方程(组)的解法
2.3.3 常微分方程(组)的解法
2.3.4 拟线性偏微分方程的解法
2.4 一阶微分方程的解法
2.4.1 一阶可分离变量的微分方程
2.4.2 一阶齐次型微分方程
2.4.3 一阶线性微分方程
2.4.4 伯努利方程
2.4.5 全微分方程(恰当方程)
2.5 二阶微分方程的解法
2.5.1 二阶线性齐次微分方程
2.5.2 二阶线性齐次常系数微分方程
2.5.3 二阶线性微分方程
2.5.4 二阶施图姆一刘维尔型微分方程
习题
第3章 渐近分析
3.1 函数的渐近表示
3.1.1 函数的等价量近似
3.1.2 函数的小0表示
3.1.3 函数的大0表示
3.1.4 函数的渐近展开
3.2 分部积分法
3.2.1 基本思路
3.2.2 由分部积分法获得渐近展开式
3.2.3 关于收敛性和渐近性的讨论
3.3 鞍点法
3.3.1 一个启发性例子
3.3.2 拉普拉斯方法
3.3.3 最陡下降法(负梯度法)
3.3.4 驻相法
习题
第4章 引力与物质模型
4.1 万有引力的发现
4.1.1 宇宙中心之争
4.1.2 行星运动定律及其数学表述
4.1.3 万有引力定律的导出
4.1.4 万有引力定律的应用
4.2 引力本质的诠释
4.2.1 时空观的演变
4.2.2 狭义相对论概略
4.2.3 广义相对论概略
4.2.4 万有引力定律的修正
4.3 热本质的认识
4.3.1 热的本质之争
4.3.2 分子运动论概略
4.3.3 非平衡态稀薄气体分子的分布
4.3.4 平衡态稀薄气体分子的分布
4.4 原子实在性的证据
4.4.1 无规运动之谜
4.4.2 随机走动模型
4.4.3 无规运动统计规律的导出
4.4.4 无规运动统计规律的检验
4.5 量子力学的发明
4.5.1 光的本性之争
4.5.2 能量量子化的提出
4.5.3 非相对论性量子力学概略
4.5.4 相对论性量子力学概略
附录张量分析基础
习题
第5章 连续介质模型
5.1 热传导模型
5.1.1 热传导现象
5.1.2 一维瞬态热传导模型
5.1.3 三维瞬态热传导模型
5.2 热对流模型
5.2.1 贝纳德对流
5.2.2 雷诺输运方程
5.2.3 萨尔茨曼模型
5.3 绝热剪切失稳模型
5.3.1 绝热剪切现象
5.3.2 一维简单剪切的白模型
5.3.3 含热软化和自由体积产生的一维简单剪切模型
5.4 多胞材料冲击压溃模型
5.4.1 多胞材料的动态压溃
5.4.2 一维塑性冲击波模型
5.4.3 多胞材料的动态应力一应变关系
5.5 爆轰物理模型
5.5.1 炸药爆轰现象
5.5.2 CJ模型
5.5.3 ZND模型
附录平衡态热力学理论
习题
第6章 量纲分析
6.1 函数的无量纲化
6.1.1 几个简单的例子
6.1.2 瑞利法
6.1.3 白金汉π定理
6.1.4 基本量纲的选择
6.1.5 相似模型的应用
6.2 方程的无量纲化
6.2.1 参考量的选择
6.2.2 方程无量纲化的基本步骤
6.2.3 关于内禀参考量不足的讨论
附录白金汉π定理的证明
习题
第7章 尺度分析
7.1 方程的近似简化
7.1.1 近似和自洽性检查
7.1.2 主项平衡原理
7.2 函数的尺度化
7.2.1 尺度化的定义
7.2.2 分区尺度化
7.3 方程的尺度化
7.3.1 基于方程解的尺度化
7.3.2 基于特征量的尺度化
习题
第8章 正则摄动理论
8.1 级数法
8.1.1 坐标摄动法
8.1.2 参数摄动法
8.1.3 小参数的选择
8.1.4 级数法的适用性
8.2 迭代法
8.2.1 迭代求解
8.2.2 关于迭代精度的讨论
8.2.3 迭代格式的构造
8.2.4 逐级近似法
8.3 庞加莱方法及其推广
8.3.1 基本思想
8.3.2 庞加莱方法
8.3.3 莱特希尔方法
习题
第9章 奇异摄动理论
9.1 匹配法
9.1.1 基本思路
9.1.2 首阶近似匹配法
9.1.3 边界层的存在性
9.1.4 高阶近似匹配法
9.1.5 边界层现象