本书从几个著名数学问题出发，深入浅出地讲解了与我国初高中的教学实际紧密联系的数学知识，并把知识内容与数学核心素养结合起来。在这条知识主线的周边，穿插介绍知识内容的历史发展过程，对相关数学分支在数学史上的地位进行深入思考，并辅之以数学文化、趣味知识、数学游戏、数学悖论等茂盛枝叶。
本书根据中学生的实际需要，并结合500多幅精美的插图进行讲解，全书讲解清晰自然、特色鲜明，非常适合初高中学生、初高中数学教师、数学爱好者阅读。

邵勇
1985年毕业于北京大学，高等教育出版社编审、数学首席编辑。2014年创建“数学教学研究”微信公众号，近10年已推送高质量数学精品文章近1400篇，深受读者喜爱。长期专注数学和数学教育，着眼数学知识的普及与提高，传播数学文化，弘扬数学思想。著作：《魔法数学》（电子书），《数学教师信息技术能力手册》（合著）。译著：《数学软件Mathematica入门》（独自翻译），《交互式数学课程》（独自翻译），《莫斯科大学列宁格勒大学剑桥大学牛津大学数学计算数学应用数学教学大纲》（合译），《微积分》（合译），《多元微积分》（合译）等。

第1章 无处不在的杨辉三角
一、杨辉三角简史
二、杨辉三角、二项式定理、组合数
三、三角形数和四面体数
四、杨辉三角之高尔夫球杆定理
五、杨辉三角与概率
六、杨辉三角中的斐波那契数列
七、分离系数法构造杨辉三角
八、杨辉三角行列式
九、杨辉三角与素数判定
十、杨辉三角与费马小定理
十一、魔术般的数学公式
十二、杨辉三角与高阶等差数列
十三、数学探究活动（完全图）
十四、容斥原理与杨辉三角
十五、杨辉三角中的分形、杨辉三角中的完全数
十六、杨辉三角与卡塔兰数
第2章 当我们谈论正方体时，我们能够谈论些什么？
一、正方体与其他正多面体的关系
二、切割正方体所得截面是什么？
三、欧拉示性数
四、画正方体的截面图形及空间作图问题
五、空间解析几何解题很有效
六、如何作出球内接正方体？
七、在空间中解决平面问题
八、正方体可以从同样大小正方体上的洞中穿过
九、数学探究活动（共有多少种六色正方体）
十、蜂房结构与菱形十二面体
十一、从中国古代对正方体的切割想到完全数
十二、三个视图都一样的立体
十三、超立方体与完全幻方
十四、在正方体内构造正八面体
第3章 从□（特殊符号）2说开来
一、□（特殊符号）2矩形
二、神秘的对角线
三、任何小数形式的有理数都可以化为分数
四、□（特殊符号）2的连分数表示及四年一闰是怎么回事？
五、□（特殊符号）2的近似计算
六、从□（特殊符号）2引出的几个趣味题
七、对称多项式、一元二次方程、二元一次方程组
八、趣味数学——神奇的数学餐桌
九、有趣的“幂塔”
十、超越数π的表达式的最内层是代数数□（特殊符号）2
十一、数学表达式的严谨之美
十二、数学对称美与带饰
十三、用几何方法解决代数问题（花剌子米的成就）
十四、用几何方法研究代数问题（海亚姆的成就）
第4章 斐波那契数列与黄金分割
一、面积少了1个单位——这个数学谬误是怎么产生的？
二、兔子繁殖问题与斐波那契数列
三、斐波那契数列与蛙跳问题及多个有趣的生活实例
四、斐波那契数列的通项公式竟然是用无理数表示的！
五、连分数、斐波那契数列、黄金数
六、斐波那契点与斐波那契双曲线
七、正五边形中的黄金分割
八、数学探究活动（星状多边形）
九、游戏与黄金数与斐波那契数（两例）
十、有趣的斐波那契数列的数论性质
十一、斐波那契数列与几何图形和三角公式
十二、类角谷猜想
十三、[5]的近似计算
十四、黄金分割的三种作图方法及黄金矩形
十五、菠萝中的斐波那契数
第5章 圆锥曲线面面观
一、圆锥曲线的定义和基本性质
二、丰富多彩的椭圆作图法及其背后的理论依据
三、用离心率的统一观点讲述椭圆、抛物线和双曲线
四、准圆、准线、动圆（椭圆、抛物线、双曲线）
五、圆锥曲线与圆锥的关系
六、与椭圆切线相关的丰富知识
七、与椭圆相关的平面几何证明题（逻辑思维训练）
八、圆柱、椭圆周长、正弦曲线
九、斜二测画法画圆，你画对了吗（椭圆的仿射几何学画法）
十、等轴双曲线内接三角形的垂心轨迹、九点圆相关知识
十一、借助圆锥曲线及其他特殊曲线解决三大作图不能问题
十二、阿基米德计算抛物线弓形区域面积与穷竭法
十三、安全抛物线（包络线）
十四、抛物线、反演、心脏线，太神奇了！
十五、抛物线与蔓叶线
十六、解题思路可以明确一些——每一步在做什么
第6章 感悟数学的魅力与威力
一、圆周率π竟然隐藏在不等式的变形中
二、圆周率π的无穷级数表示、无穷乘积表示及连分数表示
三、复利与欧拉数e
四、eπ与πe谁大？
五、两个重要极限与两个重要常数
六、求球体积的牟合方盖方法、阿基米德方法和微积分方法
七、数学让人精细——从正三角形到正方形的剖分
八、神奇的骰子
九、神奇的复数
十、费马数与正多边形的尺规作图
十一、正多边形的平面密铺问题与单位分数
参考文献 （我的数学书单——100部）

从小孩子到老人，从街
边小贩到研究员，在我们所
有人的认知里，数学都有一
种深邃而神秘的魅力，让每
一个人敬仰却又想要亲近它
。它不仅存在于我们日常生
活中的各个角落，更是贯穿
于整个宇宙的运行之中。在
数学的世界里，每一个公式
、每一条定理都蕴含着无限
的智慧和美感。
邵勇所著的《数学之美
》，用相互关联而又独立的
章节，带我们进入了数学的
世界，我们会发现复杂世界
的奥妙之处却在于它的简洁
性和精确性。邵勇通过简单
的符号和规则、精美的绘图
，构建了复杂而美妙的数学
结构。这些结构不仅可以解
释自然界中的各种现象和解
决各种实际问题，还可以体
现图形与公式的对称之美、
推理过程的逻辑之美、表达
形式的简洁之美、不同对象
之间的联系之美。亲爱的同
学们，无论你是喜欢逻辑推
理的人，还是热爱几何图形
的人，我相信每个人都能够
从这本书中发现属于数学的
美，都可以在这本书里找到
乐趣和满足感。
让我们一起走进这个神
秘而美丽的领域吧！

知识的阐述逻辑严谨，对问题的把握准确，思路清晰。对学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养的培养有一定的帮助作用。
本书从人的认知规律出发，通过观察、实验、抽象、探索、猜测、分析、论证、应用等一系列步骤，引导学生有条理地思维，从而自然而然、水到渠成地学好数学。

数学教学需要从人的认
知规律出发，通过观察、实
验、抽象、探索、猜测、分
析、论证、应用等一系列步
骤，引导学生有条理地思维
，从而自然而然、水到渠成
地学好数学。经过这种数学
思维方式的熏陶，内化为一
种数学素养，这将使学生终
身受益，能够把今后的工作
做得更好。《数学之美》一
书就体现了这种科学的思维
方式，值得一读。
——邱维声 北京大学教
授、博士生导师、教育部第
一届高等学校国家级教学名
师
书的内容很好，是对课
内数学知识的有益补充，可
拓宽学生的视野。知识的阐
述逻辑严谨，对问题的把握
准确，思路清晰。对学生数
学抽象、逻辑推理、数学建
模、直观想象、数学运算、
数据分析等数学学科核心素
养的培养有一定的帮助作用
。
——王尚志 高中数学课
标修订组组长、教授、博士
生导师
本书用简洁易懂的语言
把数学知识娓娓道来，让你
能够在不知不觉中放下数学
高深难懂的人云亦云偏见，
引领你进入博大精深的数学
大海，寻找美丽的数学贝壳
。本书不仅适用于初等数学
，还适用于高等数学以及很
多数学分支，这种数学普及
工作功德无量。
——周青 清华大学教授
、美国麻省理工学院博士、
《国际冲击工程学报》副主
编

本章讲解与杨辉三角相关的内容，涉及二项式定理、组合数、形数、高尔夫球杆定理、多项式乘积、概率、斐波那契数列、行列式、数论中的素数判定和费马小定理、高阶等差数列、容斥原理、分形、完全数、卡塔兰数等内容，极为丰富。这些知识内容与中学数学知识有着千丝万缕的联系。
杨辉三角简史
杨辉三角的名字是因为这个“三角”图形出现在杨辉所著《详解九章算法》一书中。反倒是杨辉三角的先驱贾宪三角不常被人们提及。北宋数学家贾宪，他于公元1050年写成《黄帝九章算法细草》一书，但可惜这本书后来失传了。好在南宋数学家杨辉在1261年所著《详解九章算法》一书中摘录了《黄帝九章算法细草》的主要内容，其中就有后来以“杨辉”命名的杨辉三角。不管是称为杨辉三角还是贾宪三角，它们其实都是一张最早被称为“开方作法本源图”的图形。贾宪在他的著作《黄帝九章算法细草》中研究高次开方法时用到了这张“开方作法本源图”。杨辉在他的著作《详解九章算法》中说到这个“开方作法本源图”时注明“贾宪用此术”（见图1-1）。后来也有人称这个图形为“乘方求廉图”。朱世杰所著《四元玉鉴》卷首也有一幅杨辉三角（见图1-2），名叫“古法七栾方图”（“棄”同“乘”）。
拓展阅读
杨辉
杨辉，中国南宋末年数学家，字谦光，钱塘（今杭州）人。其生卒年及生平无从详考。杨辉的数学著作甚多，虽经散佚，流传至今的尚有多种。据记载，杨辉编著的数学书共五种二十一卷。其中以《详解九章算法》十二卷（1261）最为著名。在《乘除通变本末》（又称《乘除通变算宝》）三卷（1274）中列有“九归”口诀介绍筹算乘、除的各种简捷算法。《续古摘奇算法》二卷（1275）是杨辉收集“诸家算法奇题及旧刊遗忘之文”编辑成书，其中保存了许多珍贵的数学史料，卷上论纵横图，卷下说《海岛》，都有很高的科学价值。杨辉编写的算书广泛引证古代数学典籍，除汉唐以来的《算经十书》外，还引用了《应用算法》《议古根源》《辩古通源》《指南算法》《谢经算术》等许多宋代算书。这些著作现俱不传，幸得杨辉引用，后世方得知其只鳞片甲。其中如刘益的“正负开方术”，贾宪的“增乘开方法”和“开方作法本源图”等都是中国算学史上极其宝贵的资料。纵横图，即现今所谓的幻方。早在《数术记遗》（东汉时期徐岳编撰的一本数学专著）就记载有古法“九宫”。杨辉创“纵横图”之名，其《续古摘奇算法》上卷作纵横图十三幅，并对纵横图的构成规律已有所发现和概括，是前代的数术所未有的。自此以后，明清两代中算学家关于纵横图的研究相继不绝。“垛积术”是杨辉继沈括“隙积术”后，关于高阶等差级数的研究。《详解九章算法》及《算法通变本末》（《乘除通变本末》三卷之上卷）记叙级数求和公式，除附于“乌童”之后的“果子垛”与沈括刍童垛相同外，尚有三角垛、四隅垛、方垛三式。杨辉不仅是中算史上一位著述甚丰的数学家，还是一位杰出的数学教育家。他特别重视数学的普及，其著作多为普及教育而编写的数学教科书。在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的一项重要文献。杨辉继承古代数学密切联系实际的优良传统，主张数学教育贯彻“须责实用”的思想。在教学方法上，他主张循序渐进，精讲多练；提倡“循循诱入”，而又要求“自动触类而考，何必尽传”。在学习方法上，他提倡熟读精思，融会贯通；主张在广博的基础上深入，着重于消化，掌握要领。杨辉特别重视计算能力的培养，他说：“夫学算者题从法取，法将题验，，凡欲明一法，必设一题。”又说：“题繁难见法理，定撰小题验法理，义既通虽用繁题了然可见也。”他还要求习题具有典型性，起到“举一反三”的作用。杨辉的先进教育思想和教学方法对后世有深刻的影响。
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