人为什么学数学？
数学有什么用？
有用在哪里？
都说生活中充斥着数学，但又在哪里？
数学是科技进步的重要一环，但数学更是人类文明的重要部分。
大多数人认为数学很难，而我们要如何学好数学？
我们的方法是“先学唱歌，再学乐理”，先看图再看数学式，先看历史、人文、艺术、应用，再来讨论数学原理。进而减少背一大堆公式的过程及大量的机械式练习，重建人们对数学学习的信心和兴趣。
此方法已在我的教学实践中被证明是有效的。
本书说明数学影响及于哲学思想和推理方法，塑造了众多流派的绘画和音乐，为政治学说和经济理论提供了理性的依据。

吴作乐，台湾大学数学系学士，美国哥伦比亚大学数理统计博士，美国贝尔实验室卫星通讯部研究员。

第一章 数学与文明
为什么学数学（一）
数学学习中常见的问题
任何事情都不要相信直觉
加一成再打九折等于原价吗？
什么是逻辑
为什么不是分数
认识定义、公理、定理，不要用公式
要命的逻辑观
树状图的思维
不讲逻辑的国家无法进步
第二章 公元前
认识古文明的数字
符号的念法与用途
什么是黄金比例
永远跑不完的一百米
圆锥曲线（一）：抛物线I
三角函数的由来
毕氏定理与
音阶的由来
第一个重要的无理数─圆周率π
圆锥、球、圆柱的特殊关系
密度的前身─排水法
密度
第三章 中世纪
古时印度、阿拉伯地区、罗马的数字
中世纪的数学
神奇的河内塔游戏与棋盘放米
第四章 文艺复兴时期
小数点和千记号的由来
数学运算符号的由来
锥体是柱体体积的
内皮尔（Napier）的对数
笛卡尔的平面坐标
太极图是极坐标做图
认识地图─非洲比你想象的大很多
画家、数学家分不清楚
第五章 启蒙时期
曲线下与x轴之间的面积－积分
曲线上该点斜率─微分
微积分是什么意思
第二个重要的无理数：欧拉数
圆锥曲线（二）
特殊的曲线
为什么角度要改成弧度
神奇的帕斯卡（Pascal）三角形
数学与音乐
第六章 近代时期
数学、音乐与颜色
用电脑证明的定理：四色定理
神奇的莫比乌斯带与克莱因瓶
数学名词误用─平均所得
M型社会是什么？
期望值与保险费、核四安全性
统计学中重要的一条线：回归线
一定当选的票数怎么算
第七章 现代时期
扭曲的地铁线路图
优美的旋律都是精美的数学表达
分形中体现的数学之美
自然界中充满数学原理
特殊的贝塞尔曲线
数学的现代应用
几何与危险的转弯视线死角
几何与停车格、走道的大小
第八章 其他
神奇的数字
等周问题：一张牛皮能围的最大土地面积
夕阳为何会加速下落？
为什么入射角=反射角？
乘法、除法直式由来
为什么y=1/x是曲线？
光年的意义
时速与安全距离..
为什么三角形内角和都是180I度？
指数的威力
各种存钱方式的本息和算法
各种还钱方式的本息和算法

大多数人认为数学很难
，人为什么学数学？数学
有什么用？有用在哪里？
都说生活中充斥着数学，
但又在哪里？我们必须知
道数学是科技进步的重要
一环，但数学更是人类文
明的重要一环。而我们要
如何学好数学？从人类学
习的模式来看，以艺术领
域中最抽象的音乐为例，
我们到底是先学会唱歌，
还是先学会看、写五线谱
？毋庸置疑，我们当然是
先会唱歌。我们在学习其
他科目时都是先学该科目
的艺术面，再学学术面，
如语文是先赏析再解释、
历史是先听故事再研究。
但是我们的数学教育却是
顺序颠倒的：要学生花最
多的时间学会看、写“五线
谱”（列式子，背公式，解
考题），却很少给学生唱
歌或听音乐的时间（看到
数学，看到活生生的应用
）。因此我们的方法是“先
学唱歌，再学乐理”，先看
图再看数学式，先看历史
、人文、艺术、应用，再
来讨论数学原理。进而减
少背一大堆公式的过程及
大量的机械式练习，重建
人们对数学学习的信心和
兴趣。此方法已在我的教
学实践中被证明是有效的
。
本书是叙述数学之美的
书，而不是叙说数学多有
用的书。数学是一门最容
易被人们误解的学科，它
常被误人认为是自然科学
的一条分支。事实上，数
学固然是所有科学的语言
，但是数学的本质和内涵
比较接近艺术（尤其是音
乐），反而与自然科学的
本质相去较远。本书从人
类文明发展的脉络来说明
数学的本质：它像艺术一
样，是人类文化中深具想
象力及美感的一部分，是
理解民主的不二法门；是
培养逻辑思维的唯一道路
。在学习过程中，我们发
现数学史就是人类发展史
，数学发展到哪里，世界
就进步到哪里。为何会对
数学误解？其原因大致如
下，我们的数学教育只注
重快速解题，熟记题型以
应付考试的需求，造成学
生及家长对数学的刻印印
象就是：一大堆做不完的
试卷及背一大堆公式。在
这种环境下，如何能期待
学生对数学有学习的动力
和兴趣呢？其结果是，用
功的学生努力背题型、背
公式以得到好成绩。就业
后，除了在理工科系统内
就职的，其他人发现生活
上只要会加减乘除就够用
了，以往多年痛苦的学习
显然只是为了考试，数学
不但无趣也无用。至于没
那么用功的学生早在中学
阶段就放弃数学了。因为
就投资回报率而言，数学
要花太多时间，且考试成
绩未必和时间成正比，将
这些时间用在别的学科上
比较有效益。
更糟的是，我们的社会
谬误地将数学好不好和聪
不聪明划上等号。数学成
绩很好的学生表明他对抽
象概念掌握能力不错，仅
此而已。至于数学成绩不
好的学生也只能说明他的
抽象概念掌握能力有待加
强，与聪明程度无关。请
问，我们会认定一个五音
不全的人就是不聪明的吗
？
此外，我们的教材有很
大的改进空间。譬如说，
专为考试设计的“假”应用题
，最糟糕的是：为了在短
时间内塞给学生更多内容
，教材被简化成一系列的
解题技巧和公式。事实上
，数学绝对不是一系列的
技巧，这些技巧不过是一
小部分，它们远不能代表
数学，就好比调配颜色的
技巧不能当作绘画一样。
换言之，技巧就是将数学
这门学问的激情、推理、
美和深刻内涵抽离之后的
产物。从人类文明的发展
来看，数学如果脱离了其
丰富的文化内涵，就会被
简化成一系列的技巧，它
的真实面貌就被完全扭曲
了。其结果是：对于数学
这样一门基础性的，富有
生命力、想象力和美感的
学科，大多数人的认知是
数学既枯燥，又难学难懂
。
在这种恶劣的学习环境
及社会谬误的影响下，学
生及其家长或多或少都会
产生数学焦虑症
（Mathematics Anxiety）
。这些症状如下：
（1）考前准备这么多
，为何仍考不好？是不是
试卷做得不够多？
（2）数学成绩不好，
是否显示我不够聪明，以
后如何能出人头地？
（3）除了去补习班及
跟随名师之外，有没有其
他方法可以学好数学，不
再怕数学，甚至喜欢数学
？
数学焦虑症不是一天造
成的，因此它的“治疗”也要
循序渐进。首要是去除我
们对数学的误解和恐惧，
再服用“解药”（新且有效的
学习方法、教材）。本书
说明数学影响及于哲学思
想和推理方法，塑造了众
多流派的绘画和音乐，为
政治学说和经济理论提供
了理性的依据。作为人类
理性精神的化身，数学已
经渗透到以前由权威，习
惯，迷信所统治的领域，
而且取代它们成为思想和
行动的指南。然而，更重
要的是，数学在令人赏心
悦目和美感价值方面，足
以和任何艺术形式媲美。
因此，我深信应该将数学
的“非技巧”部分按历史发展
的脉络纳入教材，使学生
感受到这门学科之美，从
而启发学生的学习动机。
使得学生能大幅降低对数
学的恐惧，增加信心，进
而体会数学之美。因为学
生更有自信，才能更有效
率地学习“技巧”部分，大幅
减少机械式的技巧练习，
面对考试可以少背公式仍
能得高分，彻底消除学生
和家长的“数学焦虑症”。

本书具有以下特点：
1.作者为哥伦比亚大学理学博士，数学教学经验丰富。
吴作乐拥有长期的教学经验，擅长总结教学成果和经验分析，针对数学系和非数学系中很多学生对于数学的接受态度和思维习惯，他结合工作经验和专业知识，撰写本书。他出版的《这才是好看的数学》获台湾第38次中小学生优秀课外读物推介奖。
2.超实用！重建学数学的信心和乐趣。
从历史、生活中理解数学原理，如为什么Y=1/X是曲线？为什么太阳下山时会加速“掉落”？为什么三角形内角和是180度？地图中的数学奥秘；乐谱中的数学旋律；数学运算符号的由来；回归线、双曲线与抛物线都是怎么一回事？等。
2.剖析本质！学数学不再死记硬背公式。
先看图再看数学式，先看历史、人文、艺术、应用，再来讨论数学原理，进而减少背一大堆公式的过程及大量的机械式练习，重建人们对数学学习的信心和兴趣。
4.感受数学之美，消除数学恐惧症。
数学为哲学、绘画、音乐、经济学政治学提供强大的科学理论根基。音乐有多美，绘画有多美，数学就有多美！

大家都说数学很重要，但又不知道数学的重要性体现在哪里，好像学完加减乘除、单位换算、分数、小数，似乎就没有再学习的 必要，那我们学习那么多数学知识是为了什么？都说数学是科学的基础，但也无法说服大家继续学数学。先看图1，了解数学如何影响我们的生活。
数学的命名源自希腊文mathema，其意义是学习、学问、科学，而后其意义演变为利用符号语言研究数量、结构、变化、空间，再者使用语言表达事物之间的关系，并用抽象化与逻辑推理，拓展出逻辑学、天文学等学问，所以数学是一切学问的基础。它涵盖的范围很广，而非只有算术、图案研究、逻辑三者。数学是理性基础，重理解而非死记硬背，所以我个人非常反对学习珠心算。珠心算是训练人的反射动作，而非理解数学，它会消磨人学习数学的热情，甚至看到数字就害怕，所以轻易不要去学珠心算。
数学好的人大多是心思细腻、考虑周严、做事逻辑性强、学东西较快、理解事物也比较快，并且可以在整件事情的每一个步骤都提出疑问，不合理就不肯继续下一步，找出问题点，能提出相对应的解决方法，具备迎接挑战、充满自信的特质。数学是研究规律的科学，经过经验、观察及推论的逻辑思考之后，进而发现真理，数学是认识世界的方法，它不只是一种计算的工具，而是与所有事情都相关的学科，如算术、科学、民主、哲学、艺术(图形、声音)、美德、工作等，接下来将一一介绍它们之间的关系。我们先介绍数学与哲学的关系。
数学与哲学
为什么说数学与哲学有关？哲学家都是逻辑思维能力很强的人，早期的哲学家大多学习逻辑以利于研究天体等，得到知识后向 外宣讲得使人信服他，所以数学与哲学具有相当密切的关系。希腊的哲学家以苏格拉底、柏拉图、亚里士多德为代表。三人为师生关系，苏格拉底是柏拉图的老师，柏拉图是亚里士多德的老师。亚里 士多德创立了亚里士多德学派，由于教学方式常为一边散步一边授 课，又被称为逍遥学派。亚里士多德研究的领域有哲学、物理学、生物学、天文学、气象科学、心理学、逻辑学、伦理学、政治学、艺术美学，几乎涵盖了当时所有的学科。
逻辑与哲学问的关系，不同的人有不同的看法。斯多葛教派认为逻辑是哲学的一部分。而逍遥派认为逻辑是哲学的先修科目。在19世纪前，逻辑、文法、哲学、心理学是同--N学问。到19世纪后，罗素认为逻辑不是哲学，而是数学。而弗雷格宣称，逻辑就是算术，其法则不是自然法则，而是自然法则的法则。也就是说逻辑是一切规则中的基础。
以今天大多数人的感觉，逻辑只是数学的一部分，用来证明数学定理。但其实我们在对话时使用的文法，正是逻辑的延伸。逻辑可以分为两个方向，一个为数学方面，另一个为逻辑基础和逻辑基本观点的分析与探讨，．现在称逻辑哲学与形而上学，这两门可被归类为哲学。当我们不去看哲学问题时，可只讨论纯逻辑部分。但我们在厘清哲学的概念时，逻辑是不可或缺的工具，所以逻辑与哲学是密不可分的。希腊人认为，学哲学要先学逻辑，而且可通过学数学来学习逻辑。
为何说学数学会带来自信?学习数学是一个认识新东西的过程，需要冒险，挑战自己的怯弱，要勇敢踏出第一步，成功将会带来成就感，失败也可磨炼自己的抗压性，并且不断训练耐性、毅力，最后成为自信的人。自信的数学系学生不屑作弊，间接培养了诚实的品格。所以学习数学可以培养一个人的很多种美德。 数学与民主 学习数学是通往民主的唯一适路。
——古希瞄哲学家柏抽图
希腊人如何训练民主素养？他们靠学习数学。
数学的思维与辩论方式是孕育民主思想的基石，数学的本质隐含学生和教师是平等的概念。因为数学的推论过程和结论都是客观的，教师不能以权威的方式要求学生接受不合逻辑的推论，学生和教师都必须遵从相同的推论过程得出客观的结论。而且这一套逻辑推论的知识，并非由权势者独占，任何人都可学得。
希腊哲学家明确指出：正确的逻辑推论能力是民主社会的游戏规则。在别的学科，例如历史学，教师的权威见解不容挑战，因为历史学并不像数学具有一套客观的逻辑推论程序。良好的数学教育可以训练学生仔细倾听以及正确且有效地进行推论的素养，而这些长期建立起来的数学素养正是民主社会公民的必备能力。
英国教育学家柯林-汉福德曾写过：很少有历史学者知道，希腊时期的数学教育的主要目的，是为了促使公民经由逻辑推论的训练，而增强对民主制度的信念和实践，使得公民只接受经由正确逻辑推理得出的论点，而不致被政客与权势者的花言巧语牵着鼻子走。早在公元前500年，希腊文明就已深刻了解到逻辑推理是实践民主的必要条件，因而鼓励人们学习正确的逻辑推论，以对抗当权者及其律师们的修辞学(Rhetoric)的诡论。当时所谓的修辞学诡论和现代政客及媒体的语言相同，也就是以臆测、戏剧化手法、煽情的语言达到曲解事实、扭曲结论的效果。因此，当一个社会用修辞学取代逻辑推论时，民主精神就被摧毁了。