所有人在日常生活中都会接触到数学问题，多数人却又对之心存畏惧。在这本极为易读又充满趣味的小书中，蒂莫西·高尔斯解释了高等数学与我们在中小学所学的数学知识之间的一些最为根本的、主要是哲学性的区别，让我们能更好地理解那些听起来带有悖论的概念，比如“无限”“弯曲空间”“虚数”等。从基本的观念，到哲学探究，再到与数学共同体相关的一般社会学问题，本书揭开了空间和数的神秘面纱之一角。

蒂莫西·高尔斯，剑桥大学劳斯·鲍尔数学教授，“数学界诺贝尔奖”——菲尔茨奖获得者，该奖专门授给“年轻数学家所作的最为大胆、最为深入、最有启示性的研究”。

前言
第一章 模型
第二章 数与抽象
第三章 证明
第四章 极限与无穷
第五章 维度
第六章 几何
第七章 估计与近似
第八章 常见问题
译名对照表
扩展阅读

数学是绝大多数人学
得最多的一门功课，但对
于“数学是什么？”这一看
来很普通的问题，却很难
一下子给出一个使公众满
意的回答。按照恩格斯的
说法，数学是以现实世界
的空间形式和数量关系为
研究对象的。尽管人们现
在对空间形式和数量关系
的理解已经大大深化和拓
展了，但作为一种哲学的
概括，恩格斯的这一论断
应该说并没有过时，也便
于向公众表述并为公众所
接受。然而，要真正深入
地回答“数学是什么？”这
个问题，不能仅仅从定义
出发，而必须涉及数学的
具体内涵，作一些比较深
入的解释和说明，才能达
到使人信服的效果。但是
，要这样做，会常常碰到
下面两个似乎难以克服的
技术上的困难。
第一，数学内涵的展
现离不开众多的术语、记
号和公式。在公众对有关
的数学内涵产生兴趣并开
始有所领悟之前，很可能
早已为这些术语、记号和
公式搞得晕头转向甚至望
而却步了。
第二，数学内涵的展
现同样离不开必要的逻辑
推理。推理若过分严密，
很难引起公众的兴趣；但
若过于粗疏，语焉不详，
则又易使人不得要领。
在现在的这一本书中
，看不到很多的术语、记
号和公式，对有关的数学
概念及内涵一律用简明而
生动的语言来介绍，看似
如数家珍，娓娓道来，但
举重若轻，高屋建瓴，反
而更好地揭示了本质。不
熟悉有关数学内容的读者
，会感到茅塞顿开、豁然
开朗；而已经熟悉有关内
容的读者，也会有如沐春
风、别开生面的感受。书
中在论述极限时，用有限
来刻画无限的生动而细致
的处理方式，虽然本质上
是经典的ε-N（或ε-δ）数
学描述的一套直观而通俗
的说法，但脱离了数学记
号和公式，更显得清楚和
亲切，就是一个典型的范
例。书中对黄金分割比是
一个无理数的证明、用地
图册来介绍微分流形的概
念等等，都同样独具匠心
，可圈可点。另一方面，
作者在不便于或不需要进
行严格数学推导的时候，
会巧妙地绕过去，但对于
必要的推导和论证，绝不
偷工减料，而是不遗余力
地以十分详尽的方式加以
说明，一步步地将读者引
向有关的结论，同时也加
深了读者对逻辑论证严密
性的理解。在这方面，关
于数系的扩张、关于√2
是无理数的证明、关于平
行公设的独立性等段落，
都是倾心着力撰写的。正
因为作者作了如此认真的
努力，这一本篇幅不大的
书显得出类拔萃，应该说
为现有众多的数学科普读
物提供了一个楷模。能够
做到这一点，而且做得如
此出色，不言而喻，归根
结底是和作者深厚的数学
功力、对数学内涵及其精
神实质的深刻理解和把握
分不开的。
本书一开始就讲了数
学建模，指出数学研究的
对象只是有关现实世界的
数学模型，同时，指出有
关的数学模型并不真正是
相应的现实世界，而只是
它的一个近似的代表与反
映。在书中作者反复强调
并解释的是他的一个基本
的观点：对于数学，不要
问它是什么，而只要问它
能做什么。这一抽象化的
思考方法，将重点放在数
学内部体系的相容性，强
调新的数学概念、方法与
内容和已有的数学体系应
自然地融为一体，强调要
将有关的数学内容脱离其
物理上的实在、变为符合
一些特定规则的记号，就
会更利于应用，更利于正
确地理解高等的数学。作
者在书中举出指数函数、
圆的面积、高维空间、分
数维的几何等一系列的例
子来阐明这一观点对攻克
难题，深入理解与拓展数
学概念所带来的好处。这
是很有启发性的，也是很
自然的，反映了抽象思维
的必要性和优越性。由于
有关的数学模型虽然只是
现实世界的一个近似的代
表，但毕竟是一个代表，
适应于它的一些规则一开
始并不是凭空而来的，而
是从现实世界中移植、挪
用或抽象过来的，对不同
的现实世界可能引入不同
的规则，也会造成不同的
数学对象（不满足乘法交
换律的矩阵，就是一个例
子）。数学与现实世界的
关系，套用一句文艺界的
术语，看来应该是源于生
活、高于生活的关系。如
果作者在强调他的上述观
点及做法的同时，也能够
强调，数学要真正得到原
创性的重大进展，除了要
密切关注及面对数学内部
的矛盾运动外，还要密切
关注现实世界(包括其他
科学技术)对数学提出的
问题和需求，努力从外部
世界中汲取生动活泼、丰
富多彩的营养，应努力使
二者相互促进、相得益彰
，是不是会更全面、更富
有启发性呢？
本书的作者蒂莫西·高
尔斯(Timothy Gowers)教
授是1998年获得菲尔兹
奖（Fields Medal）的著
名数学家。2000年当我
在法国巴黎访问时，因美
国克雷数学研究所（Clay
MathematicsInstitute）
给法国科学院院士阿兰·
科纳（Alain Conne）教授
颁发一个大奖，曾在法兰
西学院（Collège de
France）的讲演大厅里召
开过颁奖会。会上获菲尔
兹奖不久的蒂莫西·高尔
斯教授应邀作了一个公众
讲演。他在强调数学是一
个整体的时候，曾说，如
果把所有的数学分支按是
否有联系组成一个网络，
一定是一个连通的网络，
而不会有一些学科，由于
它们看来与其他分支联系
很少，而游离于整个