章微积分问题简介1
1.1微积分学发展简史1
1.2本书的主要内容4
第2章函数与序列6
2.1函数与映射6
2.1.1函数的定义与描述6
2.1.2常用超越函数的MATLAB计算7
2.1.3一般函数的MATLAB表示7
2.1.4函数的曲线与曲面表示8
2.2不同函数的MATLAB表示9
2.2.1反函数9
2.2.2复合函数9
2.2.3分段函数的描述10
2.2.4隐函数12
2.2.5参数方程13
2.2.6极坐标函数16
2.3奇函数与偶函数17
2.4复变函数与映射18
2.4.1复数矩阵及其变换18
2.4.2复变函数的映射18
2.4.3Riemann曲面的绘制19
2.5序列与函数项序列22
本章习题23
第3章函数与序列的极限26
3.1单变量函数的极限27
3.1.1单变量函数极限的φ-α定义27
3.1.2函数极限的计算机求解29
3.1.3复合函数的极限31
3.1.4序列的极限31
3.1.5分段函数的极限32
3.1.6无穷小量与无穷大量33
3.2单边极限与函数连续性33
3.2.1左极限与右极限33
3.2.2函数的连续性35
3.2.3区间极限运算36
3.2.4函数连续性的应用方程解的判定37
3.3复函数的奇点、极点与留数38
3.3.1奇点与极点的计算38
3.3.2复变函数的留数39
3.4多元函数的极限41
3.4.1累极限41
3.4.2重极限及其计算42
本章习题44
第4章函数的导数与微分47
4.1函数的导数和高阶导数48
4.1.1函数的导数与微分48
4.1.2函数导数与高阶导数48
4.1.3复合函数的导数51
4.1.4分段函数的导数52
4.1.5矩阵的导数53
4.2参数方程的导数53
4.3多元函数的偏导数55
4.3.1偏导数55
4.3.2全微分58
4.3.3多元复合函数的导数58
4.4场的梯度、散度与旋度59
4.4.1标量场与向量场59
4.4.2梯度、散度与旋度59
4.4.3向量场的势61
4.5多元函数的导数矩阵61
4.5.1Jacobi矩阵61
4.5.2Hesse矩阵62
4.5.3标量函数的Laplace算子63
4.6隐函数的偏导数63
4.6.1单个隐函数的一阶导数63
4.6.2隐函数的高阶导数64
4.6.3隐函数方程组的偏导数计算66
4.7导数与微分的应用68
4.7.1极值问题68
4.7.2Newton-Raphson迭代方法71
4.7.3曲面的切面方程与法线方程72
本章习题73
第5章函数的积分75
5.1单变量函数的不定积分76
5.2定积分与反常积分79
5.2.1定积分79
5.2.2广义积分与反常积分81
5.3多重积分问题的MATLAB求解83
5.3.1多重不定积分84
5.3.2待定多项式的构造85
5.3.3多重定积分的计算86
5.3.4积分区域的处理与变换87
5.4定积分的应用88
5.4.1曲线弧长的计算88
5.4.2旋转体的体积计算89
5.4.3三维图形围成的体积与质量计算90
5.4.4概率密度与分布函数91
5.4.5积分变换入门92
5.5曲线积分92
5.5.1类曲线积分93
5.5.2第二类曲线积分95
5.6曲面积分96
5.6.1类曲面积分96
5.6.2第二类曲面积分98
本章习题100
第6章级数展开与函数逼近103
6.1级数求和103
6.1.1数项级数的求和104
6.1.2无穷级数求和计算106
6.1.3函数项级数的求和108
6.1.4特殊的无穷项问题109
6.2无穷级数的收敛性判定111
6.2.1正项级数的一般描述111
6.2.2正项级数的收敛性判定111
6.2.3交替级数的收敛性判定113
6.2.4函数项级数的收敛区间114
6.3序列求积问题115
6.3.1数项序列的乘积115
6.3.2函数项序列的乘积116
6.3.3正项序列求积的收敛性判定116
6.4Taylor幂级数展开117
6.4.1单变量函数的Taylor幂级数展开118
6.4.2多元函数的Taylor幂级数展开121
6.5Fourier级数展开122
6.5.1Fourier级数的数学描述122
6.5.2Fourier级数的MATLAB实现123
6.6单变量函数的有理函数近似126
6.6.1函数的连分式近似126
6.6.2函数的Padé近似130
6.7Laurent级数展开131
6.7.1复变函数的Laurent级数展开131
6.7.2有理函数的Laurent级数133
本章习题135
第7章数值导数与微分139
7.1数值导数算法139
7.1.1前向差分与后向差分算法140
7.1.2o(h2)精度中心差分算法140
7.1.3o(h4)精度中心差分算法141
7.1.4更高精度的中心差分公式141
7.1.5一般高阶差分公式的推导与计算142
7.1.6高精度前向与后向差分算法145
7.2数值导数计算的MATLAB实现146
7.2.1二阶精度算法的实现147
7.2.2七点中心算法的实现148
7.2.3前向差分数值导数算法的实现149
7.3已知样本点的任意阶数值导数的求解函数151
7.4二元函数的偏导数计算153
7.4.1梯度计算153
7.4.2针对单变量的高精度偏导数算法154
7.4.3混合偏导数的数值计算156
7.4.4高阶混合偏导数的数值计算157
7.5样条插值与数值导数计算158
7.5.1三次样条158
7.5.2B样条161
7.5.3基于样条的数值导数计算162
7.5.4不等间距样本散点的数值偏导数计算165
本章习题167
第8章数值积分169
8.1由给定样本点求数值积分169
8.1.1定积分的直接计算169
8.1.2积分函数的重建171
8.1.3等间距样本点的高精度数值积分方法172
8.2单变量数值积分问题求解175
8.2.1简单数值积分问题175
8.2.2数值积分问题的MATLAB求解176
8.2.3反常积分的数值计算180
8.2.4含参数函数的数值积分181
8.2.5积分函数的数值求解183
8.3双重积分问题的数值解184
8.3.1双重定积分的计算184
8.3.2双重积分曲面的计算185
8.3.3不同积分顺序的双重积分计算方法185
8.4多重积分数值求解186
8.4.1三重定积分的数值求解187
8.4.2含参数函数的三重积分188
8.4.3多重积分数值求解189
8.4.4某些变边界多重积分问题的数值求解方法191
8.5数值积分的其他计算方法191
8.5.1基于MonteCarlo方法的数值积分近似192
8.5.2基于样条插值的数值积分194
8.5.3多重积分的数值计算196
本章习题197
第9章积分变换200
9.1Laplace变换及其反变换200
9.1.1Laplace变换及反变换的定义与性质201
9.1.2Laplace变换的计算机求解202
9.1.3用Laplace变换求解微分方程204
9.2Laplace变换问题的数值求解206
9.2.1数值Laplace反变换206
9.2.2闭环系统响应的思想207
9.2.3数值Laplace变换208
9.2.4无理系统的响应计算211
9.3Fourier变换及其反变换211
9.3.1Fourier变换及反变换定义与性质212
9.3.2Fourier变换的计算机求解212
9.3.3Fourier正弦和余弦变换213
9.3.4离散Fourier正弦、余弦变换215
9.3.5快速Fourier变换216
9.4其他积分变换问题及求解217
9.4.1Mellin变换217
9.4.2Hankel变换及求解219
9.5z变换及其反变换220
9.5.1z变换及反变换定义与性质221
9.5.2z变换的计算机求解221
9.5.3双边z变换223
9.5.4有理函数z反变换的数值求解223
本章习题224
0章分数阶微积分228
10.1分数阶微积分的定义229
10.1.1为什么要引入分数阶微积分的概念229
10.1.2分数阶微积分的定义230
10.2不同分数阶微积分定义的关系与性质231
10.3Grünwald-Letnikov定义的数值实现232
10.3.1Grünwald-Letnikov定义232
10.3.2高精度算法与实现233
10.3.3不同精度算法的定量比较237
10.4Caputo微积分定义的数值计算239
10.5Oustaloup滤波算法及其应用241
10.5.1Oustaloup滤波器近似241
10.5.2Caputo导数的滤波器近似243
10.5.3基于Simulink的Caputo导数计算245
10.6更高阶导数与积分的数值计算246
本章习题248
参考文献249
MATLAB函数名索引251
术语索引255

本书按照一般的微积分学教材的编排方式，系统地论述了基于MATLAB语言编程的方法来实现微积分问题的求解。全书内容包括函数与序列的描述及图形绘制、极限问题的求解、导数与微分问题的求解、积分问题的求解、函数的逼近与级数求和、数值导数与数值积分等。此外，书中还概括性地介绍了积分变换、分数阶微积分等内容。本书可以作为高等学校理工科各类专业的本科生与研究生学习计算机数学语言（MATLAB）的教材，也可以作为一般读者学习微积分学的辅助教材，帮助读者从另一个角度认识微积分学问题的求解方法，并可以作为查询微积分数学问题求解方法的工具书。